辛几何&李代数

康威常数

康威常数

一、无聊的序列,奇特的理论在介绍主题以前,我们先来做一件看似无聊的事情。我写下一个数:1然后问你看见了什么。你回答道:&1个1。&我把你的回答中的数字依次写下:11然后问你看见了什么。你回答道:&2个1。&我把你的回答中的数字依次写下:21然后问你看见了什么。你回答道:&1个2,1个1。&我把你的回答中的数字依次写下:1211然后问你看见了什么。你回答道:&... 阅读全文

一、无聊的序列,奇特的理论

在介绍主题以前,我们先来做一件看似无聊的事情。我写下一个数:

1

然后问你看见了什么。你回答道:“11。”我把你的回答中的数字依次写下:

11

然后问你看见了什么。你回答道:“21。”我把你的回答中的数字依次写下:

21

然后问你看见了什么。你回答道:“1211。”我把你的回答中的数字依次写下:

1211

然后问你看见了什么。你回答道:“111221。”我把你的回答中的数字依次写下:

111221

然后问你看见了什么。你回答道:“312211。”我把你的回答中的数字依次写下:

312211

我们可以一直这样下去,得到一个序列,序列里的每一项都是一个数字串。这个数字串序列被称为“边看边说序列”(Look-and-say sequence),也有人翻译成“外观数列”。注意到其实这并不是一个数列,因为其中的每一项并不是一个数,比如第三项21并不代表数字二十一,而是2和1这两个数字构成的字符串(本文称之为数字串)。

咋一看这个序列很枯燥,生成的过程一点技术含量都没有,大概只适合做脑筋急转弯的素材:“请问:1, 11, 21, 1211, 111221, 312211接下去一项是什么?”

1977年在贝尔格莱德举行国际奥林匹克数学竞赛的闲暇时刻,荷兰队向英国队提出的挑战,似乎是这道脑筋急转弯题的最初记载,不过也许它还有更早的历史。赛后,英国参赛队员将它带回英国,辗转相传。到了1983年11月,轮到在英国剑桥大学教书的著名数学家J·H·康威(John Horton Conway)做这道题了。

康威是一位在代数、几何、数论等领域都有相当大贡献的数学家。群论中的魔群月光猜想(一种拥有极其众多元素的被称作“怪兽”的群和模形式之间有意想不到的联系,猜想名字中的“月光”是“疯狂”的意思)由他和Simon P. Norton提出和命名;1998年英国数学家Richard Borcherds因证明此猜想而获菲尔兹奖。康威最为数学爱好者们乐道的则是他在组合游戏理论中的巨大成就,以一系列奇思妙想而闻名。他建立了超实数理论(这是一个把游戏和数结合在一起的理论,其中每个数都是一个游戏局面),并创作了以此理论为基础来分析大量经典(以及自创的)游戏的数学科普书籍《稳操胜劵》。他提出的“生命游戏”更是脍炙人口,让元胞自动机理论广为人知。科普大师马丁·加德纳将《数学嘉年华》一书题辞献给康威,感谢他在趣味数学领域作出了“深刻、优雅和幽默相结合的独特贡献”。

不过要比脑筋急转弯,象康威这样出色的数学家似乎也不比一个小学生更厉害。当他的学生抱着点恶作剧的心理拿这题给他做时,康威平时智计百出的脑子不好使了,阴沟里翻船,最终无奈地让学生告知他答案。

但和一般人听到答案后呵呵一笑了之不同,直到那年的圣诞节期间,康威还在不断研究——按照他的说法,是“把玩”——这个序列,并从中发展出一个怪异而美妙的理论来。在这个理论中有一个小小的宇宙,这个宇宙由92或94种元素组成。这些元素在衰变中互相演化,让这个小小宇宙以每天增长大约30%的速度膨胀。

 

二、分割、元素、化学定理和算术定理

在具体介绍这个理论的内容以前,先让我们也来把玩一番前面这个序列,以便对它的演化有一些直观的了解。

把这个序列多写出几项来:

康威常数

注意到从第8项起在数字串中多写了一个“.”,它将数字串分成了前后两个子串,而这两部分接下去在互不影响地独立演化:

康威常数

 

前子串总是以2结束;这是一个很容易证明的一般规律的特例:如果一个序列以某数字x结尾,那么它的所有后代也总以x结尾。而后子串的开头则以
1321…… →1113……→3113……→1321……
的形式循环,所以永远不可能以2开始。于是前后这两部分不会再交缠在一起。

另一个简单的例子是,如果一个数字串恰好以两个2结尾:……s22(其中s是不为2的数字),那么它可以分割成……s.22的形式。因为如上所说,前子串的后代总以s结尾,而后子串的后代永远是它本身:22。

从上面的例子里我们看到了这个理论中最重要的现象——数字串的分割:一个数字串可以分割成若干子串,使得它的演化结果是由这些子串的独立演化结果拼接而成。这样,对一个数字串的演化的研究可以转化成对它的子串的演化的研究。可以把这个现象和正整数的乘法分解作对比。我们知道,每一个大于1的正整数都可以唯一地分解成素数的乘积。素数犹如构建正整数的基本砖块,这个结论因极其重要而被称为算术基本定理,它确定了素数在数论研究中的核心地位。在康威的边看边说序列理论中,和素数的地位相当的是无法再分割得更小的数字串,康威称之为元素原子。比如说从1开始演化的这个序列的前七项,都是无法分割的元素,而它的第8项则可分割成两个元素:11132和13211。这些不可分割的元素就是构建数字串的基本砖块。由元素拼接起来的数字串则被称为化合物

毫无疑问,这种命名方式是一种暗喻,将边看边说序列理论中的对象和化学理论联系起来(当然这绝不是在暗示边看边说序列理论真的是研究现实世界中化学元素和化合物的理论)。在后面大家会看到这种暗喻是相当巧妙和贴切的。因此我们也将相当自由地使用一些很容易直观理解的术语,比如前面谈论数字串的“演化”以及它的“后代”。我们会谈论元素的“衰变”,也就是它的演化过程。数字串每演化一项,我们会说“一天后”数字串如何如何。康威把序列的第一项称为“第0天”,然后依次为“第1天”、“第2天”等等,在本文后续章节中我们甚至会看到“一天引理”和“两天引理”。

边看边说序列理论中的元素有许多种,确切地说,有无数种。比如将“13”重复n次的数字串1313……13就是无法分割的:假设它在某个1和3之间可以分割:

……1.3……

下一步是

……11.13……

出现了跨越分割号的连续三个1,这就是说前面假设中的分割是错误的。假设它在某个3和1之间可以分割:

……13.13……

下面两步是

……1113.1113……

……3113.3113……

出现了跨越分割号的连续两个3,这同样是错误的分割。

 

康威的重要发现是:存在着一族共有92种特殊的元素,它们之间会互相演化。这92种元素被他称为“普通元素”,并分别以化学元素表中1号(氢)到92号(铀)元素命名。对于普通元素,有如下的结论:

  • 存在92种普通元素(具体的元素列表和它们的性质将在稍后给出)。可以分割成普通元素的化合物称为“普通化合物”(为了简化叙述起见,我们也把普通元素看作是仅由一个元素组成的普通化合物)。
  • 化学定理)任何一种普通元素的后代都是普通化合物。普通化合物的后代也是普通化合物。除了第1号元素氢(即数字串22)外,从任意一种普通化合物开始,演化足够多天后,得到的化合物将由所有92种元素组成。
  • 算术定理)从任何一个普通化合物开始,每一步演化得到的数字串的长度和上一步相比,越来越趋近于一个固定常数λ。在此过程中,每种元素在这些数字串中的比例越来越趋近一个(仅和此元素本身相关,而与初始普通化合物的选择无关的)大于0的常数值,称为这种元素的丰度。上述固定常数λ是以下71次多项式的唯一的正实数根(也是所有根中模最大的):

康威常数

它约等于1.303577269034,称作康威常数

 

在整个边看边说序列理论中,最令人吃惊的大概就是上面这个多项式了,乍一看真可谓从天而降,莫名其妙。欲知其妙,则需懂得一些线性代数的知识。我们将在本文后续章节中比较详细地讨论这件事情,并通过在康威发表论文之后线性代数的新成果,得到比以上算术定理中叙述的更好的结果。

化学定理指出,普通化合物是一个封闭的圈子,普通化合物只能演化成普通化合物。但是还有一些本不是普通化合物的数字串,它们可以在若干天内演化成普通化合物,掉进这个圈子里去。对这样的数字串来说,上面的结论绝大部分也同样成立,因为考虑的是“演化足够多天后”的事情。比如本文最开始讲到的从1开始的序列,数字串1本身不是普通化合物,但在第八天演化成可以分割为72号元素铪(11132)和50号元素锡(13211)的普通化合物。所以演化足够多天后,得到的化合物也将由所有92种元素组成,数字串的长度和前一天长度之比也将越来越接近康威常数,每种元素在化合物中的比例也越来越接近于此元素的丰度。

下面是完整的92种普通元素列表。本文中元素名称前通常以前下标形式注明相应的原子序数以便查询,毕竟不是每个人都能熟练地说出某元素的原子序数;笔者就无法做到这点,所以阅读康威的论文时对此有痛苦感。如果不是要自己动手验证的话,读者大可不必仔细阅读这个表格。这个表里值得注意的有几点:

  • 1号元素氢所代表的数字串22是唯一的衰变到自己的元素。
  • 92号元素铀所代表的数字串3是最短的元素。
  • 除氢外,第n号元素“一天后衰变物”一栏中都有一个加粗的第n-1号元素成份。康威基于这个性质给这92种元素排序,此性质将在后面的论证中用到。这个“第n号元素一天后会衰变出第n-1号元素”的次序并不是唯一的,康威只是挑选了其中一种。
  • 两种元素并不是可以随意拼合在一起的。比如92号元素铀(3)和20号元素钙(12)顺次拼合在一起的结果“312”应看作是另一种元素——30号元素锌,而非可分割的。而铀(3)和91号元素镤(13)顺次拼合在一起的结果“313”既不是普通化合物,又不可分割,是一种不稳定的元素。判定一个数字串是否可被分割和如何分割的准则,称为“分割定理”,是比较技术性的内容,留在本文下篇介绍。
  • 一个31号元素镓会在下一天衰变出两个20号元素钙。这是唯一的某个元素会在下一天衰变出超过一个的同一种元素的情况。

康威常数

下面是元素的丰度表,和康威的原始论文中一样,数据被乘以了一百万,以使长度固定;也就是说,一个普通化合物演化足够长时间后得到的数字串被分割成普通元素后,每一百万个元素里大约会有91790个1号元素氢,3237个2号元素氦,4220个3号元素锂等等。注重细节和有耐心的读者可以将下表这些数据和康威论文中的数据相对比,就会发现小数最后一位往往会有一点不同,比如2号元素氦的丰度是3237.2968587而原始论文中是3237.2968588。下表的数据我使用了两种不同的计算软件库得到,结果相同,所以应该没有错误。原始论文数据的差异应当是上世纪80年代时康威使用的计算软件的浮点精度不够的缘故,当然这完全没有什么大碍。有兴趣和能力的朋友也可自行计算验证,计算方法将在本文后续章节中介绍。

康威常数

我们讨论了普通元素(以及普通化合物)的性质。但我们知道,存在着无数不同于普通元素的元素,这些元素的演化结果会是什么?象1这样的元素,最终会演化成普通化合物,从而掉进普通化合物的圈子,那么有不同于普通化合物的封闭圈子吗?这是上节中的化学定理和算术定理没有回答的问题。

作为数学家,把理论推广是一种本能。康威也考虑以其他的有限数字串作为起始的演化序列的情况。比如从55555开始,然后得到

55

25

1215

11121115

等等;字符串中也可以含有其他不是十进制数字的符号(但为了方便我们仍称之为数字串),比如从%5##开始,得到

1%152#

111%1115121#

311%31151112111#

13211%1321153112311#

等等。对这样的边看边说序列,它们又会有什么样的演化性质?

 

这里有一个技术细节要处理。如果我们从1000个1组成的数字串出发,序列的第二项是1000 1(我特意在1000和1中间加了一个空格),问题是第三项应该是什么?第一种选择是,把前面这个1000看作是1130,那么第三项就是113011。而第二种选择是,把前面这个1000看作是一整个不可分割的符号,那么此时我们看第二项时会说那是1100011,那么第三项就应该是1(1000)11,这里1000被括号括起,表示这是整一个不可分割的符号。我们完全可以为1000引入一个特别的符号,比如“M”,那么就没有歧义了:看见第一项1000个1组成的数字串,我们会说那是M1,于是第二项是M1,第三项则是1M11,等等。这种另引入符号的方法其实早就有了,十六进制里我们为了表示十进制的10,11,12,13,14,15,往往用“A”,“B”,“C”,“D”,“E”,“F”来表示它们。上面的第二种选择无非就是使用了“无穷进制”,为每一个自然数单独引入一个不同的符号。

 

其实采用第一种选择还是第二种选择,对于下面要叙述的结论影响并不大。只是采取第二种选择能够让我们在演化时间上得到一个更为精细的结论,这也是康威原始论文中的选择,所以我们也同样采取这个选择。而对于不愿意在细节方面纠缠的读者来说,完全可以把初始的数字串限定为只由0-9这十个符号组成,而且其中没有超过九个连续的相同数字。你不会因此少欣赏到多少这个理论的有趣之处。

对于这样的推广情况,前面针对普通化合物的结论显然需要修改,因为那些不是“1”、“2”、“3”的符号在演化过程中永远也不会消失,所以演化过程再长,演化结果也不会仅由普通元素组成。但是令人吃惊的是,前面第二节中的结论并不需要修改很多:

  • 除了92种普通元素外,还有两类被称为“超铀元素”的镎和钚的同位素(具体形式在后面给出);
  • 从任意数字串(可以包括除“1”、“2”、“3”以外的符号)出发,在有限天内它就会演化成为普通元素和超铀元素拼接而成的化合物。如果对个数的解释采用前面的第二种选择的话,则我们可以找到这个“有限天”的上限:在24天后(也即从第25项起),任意数字串都会演化成为普通元素和超铀元素拼接而成的化合物;
  • 除了1号元素氢(即数字串22)外,从任意数字串出发,演化足够多天后,得到的化合物将由所有92种普通元素和一些超铀元素组成。每种普通元素在这些化合物中的比例越来越趋近于它的丰度,而超铀元素的比例则趋近于0;
  • 从任意数字串出发,每一步演化得到的数字串的长度和上一步相比,越来越趋近于前面所说的康威常数。

上面关于任意数字串的结论被称为“宇宙学定理”,是本理论中的基本定理。宇宙学定理要比化学定理强得多,它说明了普通元素加上超铀元素组成的化合物是终极圈子,无论从什么数字串出发,最多过24天,都会掉进这个圈子中。尽管元素有无穷多种,但是能够长期存在的,却只有普通元素和超铀元素,它们被称为稳定元素。所有其他的元素都是不稳定的。

两类超铀元素如下,其中n是任何一个除“1”、“2”、“3”以外的符号:

康威常数

 

每选取一个不同的n,就会有相应的不同的93号元素镎和94号元素钚,它们被称作镎和钚的同位素。注意到两类超铀元素是彼此的衰变产物。

“24天”这个下限不可能再缩短了,因为我们可以找到寿命恰为24天的不稳定元素2233322211n,其中n是不为“1”的数字(可以是“2”或“3”或其他符号)。下面是它的衰变过程(为了简短起见,一旦产生了稳定元素,我们就在后续项中忽略掉这一部分的后代):

康威常数

康威将这种寿命最长的达到24天的形如2233322211n的不稳定元素命名为鎷(Methuselum)。这用的是《旧约》中玛土撒拉的典故,因为传说他活了969年,是活得最长的人。

在后续章节中我们将讨论一些技术性比较强的问题,如化学定理、算术定理和宇宙学定理的证明,以及关于元素丰度的计算,和那个神秘的多项式的来历,并利用这些定理做一些具体的计算。

为后面的定理证明作技术性的准备,大概是本文最没有意思的一节。因为它的内容从难度来说,可能高年级的小学生也能理解,但却相当琐碎,都是些考虑各种可能性的叙述和论证。一般的读者大可只阅读几个命题的内容而跳过论证。对于想自己编程验证的读者,则请特别注意分割引理的内容和我在后面的算法建议。

在康威的论文中,所有单独列出来的命题都叫“定理”。下面将介绍的“一天引理”、“分割引理”等等在他的论文中叫“一天定理”和“分割定理”等等。但是这些命题基本上用来证明过其他结论后就可以丢在一边,或展示的是技术性细节,所以我改称“引理”以示它们和在上篇里介绍的三个主要定理在重要性上有区别。

我们最终要考虑以任意数字串开始的边看边说序列,故本节中提到的数字串都不排除含有除了“1”“2”和“3”以外的符号——我们也称其为“数字”,并把它们称为“大于3的数字”(如果其中选用了符号“0”,那么它在上述意义下也是个大于3的数字)。对个数的解释我们则采用上篇中提到的第二种选择,也就是说,如果有连续1000个1的话,我们就替1000引入一个新的符号如“M”,称这是M个1。

下面的“一天引理”说,其实你只需在第一天里为引入新符号头痛一下。

 

一天引理)任何一个年纪至少为1天的数字串里,不可能含有这样的子串:

1) 从奇数位置开始的baca,其中a,b,c是相同或不同的数字;

2) aaaa,或aaabbb,其中a,b是相同或不同的数字。

这个引理的证明可以用“显而易见”来形容。所谓的“年纪至少为1天的数字串”无非是说,它不是任意给出的,而是对着某个数字串边看边说出来的。要是在奇数位置开始出现了baca这样的子串,相当于在说看到的那个数字串里有“baca”,这是不允许的,令d=b+c,你得说是“da”。不允许出现aaaa也一样,因为即便它在偶数位置开始,那也是在说“……个aaaa个……”。aaabbb形式的子串也一样证明。

因为连续4个相同的字符不可能出现在一个年纪至少为1天的数字串里,那么连续4个以上相同的字符也不可能。所以所有大于3的数字,要么是最初(第0天)就有的,要么是第1天产生的(比如最初字符串里有连续1000个1,会在第1天被描述成M个1,从而引入数字M),从第2天开始就不会再有新的了。而对年纪至少为2天的数字串,我们还可以排除掉更多的子串的可能性:

 

两天引理)在第2天和以后都不可能产生新的除了“1”“2”和“3”以外的符号。任何一个年纪至少为2天的数字串里,不可能含有这样的子串:

1) 3a3(特别地,不可能有333这样的子串);

2) ab,其中a和b都是大于3的数字。

3a3这样的子串如果是在奇数位置开始出现的,那是边看前一天的数字串边说“3a3个……”,也就是aaabbb这样的子串,可根据一天引理这是不可能的;如果是在偶数位置开始出现的,那则是在讲“……个3a3”,这是不允许的。

如果有ab这样的子串,其中a和b都是大于3的数字,那么意味着前一天有“ab”或是“b个……”形式的子串,一天引理也排除了这种可能性。

顺便说一句,从第3天起,数字串中大于3的数字的数量当然不会增加,但也不会再减少了,它们最终会产生出超铀元素的同位素。比如第0天的数字串如果是4444,第1天变成44,第2天变成24,“4”的数目一直在减少,但从第3天起,序列中的每个数字串都有且仅有一个4。

一个数字串中如果没有一天引理中的2)和两天引理中1)和2)提到的那些子串,它就是个好数字串。一天引理和两天引理说的就是,如果一个数字串是一个年纪至少2天的数字串的子串,它一定是个好数字串。好数字串总是演化出好数字串来。我们接下来要考虑的数字串都是好数字串。

下面介绍三种数字串模式,都是规定它是怎么开始的。这些模式在后面的引理中很重要:

  • A型:1a……的形式,其中a是不同于1的数字,而省略号部分或者是空的(也就是整个数字串就是1a),或者是一个不以a开头的数字串。
  • B型:111……的形式,其中省略号部分或者是空的(也就是整个数字串就是111),或者是一个不以1开头的数字串。
  • C型:3……的形式,其中省略号部分或者是空的(也就是整个数字串就是3),或者是一个不以3开头的数字串,而且前3个数字不都相同(如果这部分的长度至少是3的话)。

容易证明,任何A型好数字串过一天会变B型好数字串,任何B型好数字串过一天会变C型好数字串,任何C型好数字串过一天会变A型好数字串。这3型数字串都不以2开头,以2开头则有三种引申出来的数字串模式:

  • A'型:22……的形式,其中省略号部分是个A型数字串。
  • B'型:22……的形式,其中省略号部分是个B型数字串。
  • C'型:22……的形式,其中省略号部分是个C型数字串。

这样我们就得到了3种循环模式,而下面的引理则更进一步:

 

起首引理):一个数字串的演化最终总会进入下面三种循环之一:

1) ……→A型→B型→C型→……

2) ……→A'型→B'型→C'型→……

3) ……→22→22→……

如果它还没有进入循环,那么“1”“2”和“3”将均会出现在它后面演化过程中各项的首个数字中。

命题的最后一句话其实是说,如果一个数字串最终会进入ABC循环可是却还没进(也就是它还不是ABC型中的一种),那么它迟早会演化出一项以2开头的数字串来,然后再进入循环(那时不断地以1或3开头);而如果一个数字串最终会进入A'B'C'循环可是却还没进,那么它迟早会演化出一项以1开头的数字串,和一项以3开头的字符串,然后再进入循环(那时总以2开头)。循环3)则是数字串22独有的。

起首定理的具体证明就不多说了,完全是力气活,把所有可能性都考虑一遍;多亏一天和两天引理,可以少考虑不少可能性。这证明小学生也能看得懂,可就是太啰哩吧嗦,真想看就只好请读者直接读原论文了。为了叙述方便起见我们再引入两个数字串开始的类型:

  • X型:以大于3的数字开始。
  • X'型:22……的形式,其中省略号部分或者是空的(也就是整个数字串就是22),或者是个X型数字串。

 

现在我们终于可以引入下面这个重要的引理,也就是分割的准则:

分割引理)一个好数字串可以在某处分割成前后两个子串,当且仅当在满足以下某种情况时:

康威常数

有了起首引理,分割引理“当”部分的证明很容易。第一种情况很简单,以“1”,“2”或“3”开始的后数字串总还是演化成以“1”,“2”或“3”开始的数字串,不会和永远以大于3的数字结尾的前数字串混起来。第二种情况,前数字串永远以“2”结尾,后数字串永远以“1”或“3”或是大于3的数字开始,也不会混起来。第三种情况,前数字串永远不以“2”结尾,后数字串永远以“2”开始,也不会混起来。注意到如果结合第二种情况,在第三种情况下我们其实总能将数字串分割成3段:前数字串,22,以及一个A型或B型或C型或X型的数字串——除非原本的后数字串就是22本身。

还要证明“且仅当”部分,即除上述情况之外就不能分割。这个留给读者证明,去读康威的论文也没用,他同样也留给读者证明。证明过程的关键是起首引理结论的最后一部分。

如果读者要自己编一个分割数字串的程序,我建议采用如下方法:

首先验证那是个好字符串。然后找到所有不是“1”“2”“3”的数字,在它后面分割,将数字串分割成若干段。对每段分割好的子串进行如下操作:找到所有2,验证它后面的子串是否A、B、C、X型,如是则在这个2后面分割。对每段分割好的子串进行如下操作:验证它是否以恰好2个2结尾,如是,则将这2个2分割。

容易看出,这个算法能够将好数字串作完全的分割,既不会分割错,也不会有该分割却没有分割的地方。

 

最后相应于起首引理还有个结尾引理,没什么太大用处,为了完整起见也叙述一下:

结尾引理):经过足够长时间后,

1) 任何一个以“1”结尾的数字串在演化过程中,序列的数字串末尾总会进入4步循环:
康威常数

2) 任何一个以“2”结尾的数字串在演化过程中,序列的数字串末尾总会进入2步循环:
康威常数

3) 任何一个以“3”结尾的数字串在演化过程中,序列的数字串末尾总会进入2步循环:
康威常数

4) 任何一个以大于3的数字“n”结尾的数字串在演化过程中,序列的数字串末尾总会进入2步循环:
康威常数

五、化学定理和宇宙学定理的证明

在此重新叙述一下化学定理的内容:

化学定理) 任何一种普通元素的后代都是普通化合物,普通化合物的后代也是普通化合物。除了1氢外,从任意一种普通化合物开始,演化足够多天后,得到的化合物将由所有92种普通元素组成。

第二节的元素列表具体地拿出来后,定理前面一句的证明就差不多完成了:无非是验证一下元素所代表的数字串一天后的产物的确就是“一天后衰变物”一栏中化合物所代表的数字串,而且其中的分割是正确的。

定理后面一句如果可以用算术定理的话,证明也很简单:因为经过足够多的时间后,除了1氢外的任何普通化合物演化出的数字串中各普通元素的比例会趋近于丰度,而每种普通元素的丰度都严格大于0,所以我们自然能得出每种普通元素都在这些数字串中存在的结论。不过如果不用算术定理,只通过元素列表,我们也同样能证明这一点。

首先,通过元素列表的重要特性,即对任何大于1的自然数n,第n号元素一天后会衰变出第n-1号元素这点可知,任选一种除了1氢外的普通元素,从它出发都能衰变出任何一种普通元素。因为所有原子序数较大的都能衰变出原子序数较小的,而衰变到2氦时则能回头衰变出91镤,然后能衰变出39钇,最终衰变出92铀来,从而进一步衰变出任何普通元素。

其次,容易看出两种元素间通过固定的衰变途径,从一种元素演化到另一种元素的时间间隔是固定的。比如通过6碳→5硼→4铍→32锗→67钬这条衰变途径,从6碳到67钬用了4天,那么我们可以肯定,如果在第d天化合物中有6碳元素,那么第d+4天化合物里一定有67钬元素。

注意到2氦→3锂→2氦这条途径,从2氦出发,每隔一天能产生出一个2氦来。如果第一个2氦出现在第h天,那么后面所有和h间隔偶数天的日子里也会有2氦。再看2氦→20钙→19钾→18氩→……→4铍→3锂→2氦这条途径,如果第h天有2氦,那么第h+19天也会有2氦,然后从那以后每隔一天都会有2氦。也就是说,如果第h天有2氦,那么从第h+19天起,每天都有2氦。所以我们有了第三个结论:任选一种除了1氢外的普通元素,从它出发,在足够长时间后,每天产生的化合物中都有2氦。

上面这三点结合起来的推断出的结论自然就是,任选一种除了1氢外的普通元素,从它出发,在足够长时间后,每天产生的化合物中都有92种普通元素中的任何一种。这就完成了化学定理的证明。

至于宇宙学定理,按照康威的说法,那是非常非常难的,写出来会很长。他和Richard Parker花了一个月搞出来过一个证明,但是稿子遗失了。Mike Guy也曾证明了这个定理,比前面这个短一些可还是很长,而且他的稿子也遗失了。基于以上理由,在论文里他干脆就什么证明都没放,只问“你能找到一个几页就能写下的证明吗?拜求!”

康威常数

康威的宇宙学定理的“证明”

这大概是自费马在《算术》一书的书边对他的“大定理”写下“我确信已发现了一种美妙的证法,可惜这里空白的地方太小,写不下”后最拽的“此定理已证”的声明吧。

直到2003年,美国路易斯安那州立大学的数学家R. A. Litherland才给出了一个完整的宇宙学定理的证明。这个证明是由计算机辅助完成的,也就是说,先使用人工的推理将定理的证明转化成对一些特殊的有限的情况的验证,然后再使用程序来验证这些情况,因为使用人力来验证太困难。史上最著名的采用计算机辅助方式的证明大概是四色定理的证明。

宇宙学定理中和普通化合物算术定理并行的部分很容易通过后者证得:因为超铀元素的数目从第二天开始就固定,而普通元素的数量则随着演化趋向于无穷,所以超铀元素对化合物长度和成分的贡献可以忽略不计。

本文对宇宙学定理的证明的介绍就到此为止。接下去应该介绍算术定理的证明了,这是本文最有意思的一部分,但是了解它需要线性代数的知识。所以在此之前,我打算先讨论一下边看边说序列理论中的这几个定理的应用,这一部分不需要线性代数的知识。

 

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辛几何&李代数

阶级与秩序

阶级与秩序

圣谛尚不为,何阶级之有! &&青原行思禅师 Order without liberty and liberty without order are equally destructive. &&Theodore Roosevelt   1 引子 笔者来自穷乡僻壤,因此家乡话里就保有一些化石级的文化... 阅读全文

 

圣谛尚不为,何阶级之有!

——青原行思禅师

Order without liberty and liberty without order are equally destructive.

——Theodore Roosevelt

  1 引子

笔者来自穷乡僻壤,因此家乡话里就保有一些化石级的文化痕迹。旧时待客,主人会根据客人的阶级层次决定接待规格,俗谓看人下菜碟。对于拥有这种自觉的人,文化点的表述是具有较高的阶级觉悟,俺们老家的土话就说这人“长就一对阶级眼”,属于天赋异禀的一类。阶级繁杂且森严,是中国文化的精髓。历史上不仅是对官员,就连嫔妃、奴才、太监和教授都分成三六九等,都有系统科学的标识和具体而微的待遇安排。比如,汉朝是个有文化的朝代,帝妇初分为皇后、夫人、美人、良人、八子、七子、长使、少使八等,后又引入婕妤、妌娥、容华、充依、五官、顺常和无涓(共和、娱灵、保林、良使和夜者)共十五等。清朝帝妇则分为皇后、皇贵妃、贵妃、妃、嫔、贵人、常在和答应,从命名上就能看到文化的缺乏。不同阶级之间,有递补、提拔、贬谪与自甘堕落,但平时一般各以本分,这正应了原子中电子的隧穿、受激向上跃迁、受激向下跃迁和自发向下跃迁,以及大多时间在稳定状态上的无所事事。

用来区分人或物之不同等级的汉语词包括阶-级、秩-序、品(秩)、次(幂)等词,用这些词加以翻译的英文词有level,order,degree,grade,rank,等等。这些词在数学物理中频繁出现,且意义多有不同甚至混淆, 中西文皆然。中文的阶级,其中的阶(堦)见于台阶,庭阶寂寂,是实体,而级,见于拾(shè) 级而上,由计数(enumeration)而来,有抽象的内容。容易理解,台阶是一种实用的、但也被故意符号化了的存在,许多建筑在面前都筑起多层次的台阶,陡然而出威严(图1)。阶-级、秩-序这种得自自然和日常生活的词必然散布于数学物理的表述,弄不清level,order,degree,grade,rank 这些词的用法,看数学物理和看宫斗剧一样有点稀里糊涂。学物理者,将一双阶级眼用在这里,正得其宜也。

   2 Level

谈到汉译为阶级的词,容易想到的一个便是level, 见于energy level (能级),但这可能是误解。英语的level,来自拉丁语的libra,与平、衡有关。水平的线或者面,即为level,如sea level (海平面),on a level line (水平线上)。牛顿流体在重力场下的静止状态,其表面的法向应该是重力的方向,此即waterseeks its level 之意。利用这个事实,可以制作水平仪(level,见图2),这是工程中必不可少的工具。Level 不是级,而是阶、阶之面。在日常用法中,level 不仅表示层面,还暗含平衡之意, 如high-leveltalk,不仅是说会谈的层次高,而且是对等的。Level 还有equally advanced in development & even or uniform in some characters (等间距的、均匀分布的),因此level暗含“equal in importance, rank, degree, etc.”的意思,这也可能是我们愿意拿级来翻译level 的原因。但是,把energy level 翻译成能级还好,习惯性地把atomic level,sub-levels 中的level也翻译成“ 能级”这就麻烦了,它掩盖了轨道(也许就是个数学的函数)自身的排列问题,这里的level强调的也许只是轨道可分辨这个事实。在象levels of consciousness,levels of difficulty 这样的概念中,谈论的都是抽象概念的分层次,没有定量的成分。许多时候,把level 译成层次、层面也许是更合适的,哪怕是energy level。比如加速器的energylevel,如在例句LHC experiments run at the highest energy level 中,就应该译成“能量水平”, 目前欧洲大型强子对撞机就运行在13 TeV 的能量水平上。此外,象the macroscopic level of quantum mechanics一文,显然讨论的是量子力学的宏观层次。

  3 Degree

Degree, 来自拉丁语动词degradare,就是英文的degrade,是一串台阶(steps or stages)的意思,注意它更多强调了降序的排列,这一点从a cousin in the second degree (二度表亲,拥有同一个太爷爷、太奶奶辈分的前辈)一词中很容易看出来。Degree 和grade (gradus) 意义相同,两者可连用。我们在学校里学习的难易程度也是分级的(同学,你物理是第几grade 的?)。如果是沿着不易觉察的台阶或者刻度一点一点向前(向上)推进,这就是一个gradual(逐渐的)过程。达到一定程度就能graduate (毕业、爬到头了), 就可以receive a degree (获得一个学位,拿到一个刻度标记)了。常用的摄氏温标(temperature scale)的量度名称为degree Celsius (摄氏度),也称degree centrigrade (100 刻度制),后一词透露了其是如何被定义的。将标准大气压(维也纳夏季的气压)下冰—水混合物的温度定为0 ℃,把水的沸点定为100 ℃。利用稀薄空气在等压条件下体积随温度线性变换的假设,可以根据稀薄气体体积相较于0 ℃下的增量给0 ℃到100 ℃间的任意温度赋值。这就是摄氏温标的定义。注意,对于稀薄空气,在0 ℃到100 ℃之间温度每增加1 ℃,体积增加约1/267。明白了这一点,也就明白了作为对摄氏温标之拓展的绝对温标,其唯一的定标点,水的三相点,为什么会定为273.16 K了。一般中文教科书中论及摄氏温标,只含含糊糊地来一句“标准大气压下冰水混合物的温度定为0 ℃,水的沸点定为100 ℃,此为摄氏温标”,显然漏掉了太多的信息。编书者当年囿于条件不能知道细节可以理解,但根本没注意到定义的不完整就让人不能理解了。早期的来自物质体积变化的、直观的一排刻度,那真是degree,如今的电子式的温度计,显示的就是“一个”数值,则需要符号℃,°F 的提醒才会想起degree来(图3)。

有可视标度的是真degree,纯数字的就靠外加符号的提醒了

Degree 可用作对一般程度的或者干脆就是直观存在的度量。一个圆, 其上可以划上刻度, 分为360°,那是对每年天数的取整,不具有绝对的意义。在反射光的degree of polarization(偏振度)概念中,degree 反映的是程度,其取值在0到100%之间。Degree 或者grade 还被用来衡量抽象概念的程度,如马克思的《政治经济学批判》一书中有句云:“Der Tauschwert der Waren,so als allgemeine Äquivalenz und zugleich als Grad dieser Äquivalenz in einer spezifischen Ware,oder in einer einzigen Gleichung der Waren mit einer spezifischen Ware ausgedrückt,ist Preis (商品的交换价值,作为一般等价以及在某特定商品中此等价的程度值,或者表达为该商品同某一特定商品的等值关系,是价格)”。在degrees of degeneracy(简并度),degrees of freedom (自由度)等概念中,degree 是个正整数。简并度,即对应同一能量之不同状态的数目,在德语中简并度的说法为Entartungsgrad,可见degree 就是grade。自由度就是描述体系所需的独立变量数。仔细体会这个定义,“ 描述体系所需的独立变量数”,则自由度的多少取决于如何描述。描述一个粒子在三维空间中的位置需要3个变量,则描述由N(N≥3)个粒子组成的刚体的构型就需要6个独立变量,或者说刚体运动的自由度为6。在热力学—统计力学中有所谓的能量均分定理,谓每一个自由度对比热的贡献都是一个R/2,R是气体普适常数。如果不深入了解这个能量均分定理成立的条件,许多人都难以理解水分子H2O何以有18个自由度,而水(蒸汽)的比热也一直是温度的函数。就比热问题而言,自由度是能量表示涉及的自由度,这包括动能涉及的动量自由度和势能涉及的位置自由度。有趣的是,某些晶体的晶格可看作是两套或多套亚格子(sublattice)套构而成的,这也可以看成是一类自由度。炭单层的六角晶格是由两套三角格子构成的,其中电子的波函数可以比照电子自旋写成两分量的形式。

  Degree 作为函数或者方程的指标, 汉译为次( 次幂) 或者阶。比如 , 函 数

  阶级与秩序

  是? th-degree Legendre polynomial,汉译? - 阶勒让德多项式。The degree of a monomial,汉译单项式的次幂,是变量指数的和,比如项x2y3的degree 是5。单变量的代数方程(univariate polynomial equation),以变量的最高次幂命名,简称为一元二次方程(a second degree monic polynomial equation)、三次(third degree)方程等等。当然了,这类方程有专门的、简单的称谓quadratic,cubic,quartic,quintic,sextic polynomial equations,分别为二次、三次、四次、五次和六次代数方程。五次以上的多项式方程不存在代数解(unsolvable by radicals),对这个问题的理解带来了群论的诞生。群论对物理学的影响,怎样高度评价都不为过。物理学最深刻的学问,所谓的the fearful symmetry(了不起的对称性),来自对一元代数方程的摆弄。对一元多项式解的探索,是一场惊心动魄的天才的游戏。与解方程有关的还有topological degree theory。如果方程有某个容易得到的解,degree theory 可用来证明其它非平凡解的存在。Degree theory看起来和fixed-point theory(固定点理论), knot theory( 纽结理论) 有关,具体内容笔者不懂,此处不论。

  4 Order

Order 简直就是一个充斥数学和物理学领域的一个词汇。Order 的西语本意也是“放成一溜儿(straightrow,regular series)”的意思,可作为名字和动词使用。Order frequently refers to orderliness, a desire for organization。存在总是表现出某种意义上的order,这让认识世界成为可能。Objects should be ordered in order to bring in some order and clarity(为了有序和明晰,应该为对象排序),这几乎成了科学家的共识。排序、分类是研究的前期准备。

Order 是个用得太多的词,可以想见它的汉译会花样繁多。Order 在物理语境中一般被译成序,如orderparameter (序参量),topological order(拓扑序),off-diagonal long-rangeorder (非对角长程有序),等等。过去分词形式ordered 用作形容词,如晶体就是ordered structure (有序结构)。Order 的对立面是disorder,formless,最无序的存在是chaos (混沌),指the disorder of formless matter and infinite space (由无形的物质和无限的空间一起构成的无序)。混沌被当作有序之宇宙出现之前的状态,也就是说当前的有序状态是自完全无序中发生的,order out of chaos,哈,多哲学。

Order 出现的语境,更多的还是和排序有关,比如lexicographical ordering (字典编纂采用的排序),electrons are always added in order of increasing energy(电子按照能量递增的顺序被加进来),the order of differentiation or integration( 微分、积分的次序),等。微分、积分以及乘积的顺序有时候没关系(immaterial),有时候关系重大,结果依赖于顺序的就意味着别样的数学结构和物理,比如非交换代数或者物理里的非对易算符。有时候,有些源自order 的词从我们的角度来看,会以为排序的意思不明显,比如coordinates和ordinate 就给译成了坐标和纵坐标(vertical ordinate),但请记住这里的关键是这些数值具有排序的含义在里边。有些地方把笛卡尔坐标系的x-轴称为horizontal ordinate(水平坐标),但其实有时候x-轴的对象不是可排序的量,如职工工资分布图,工资是可排序的,职工则无所谓序。当我们把y-轴理解为ordinate时x-轴有专有名词abscissa,是个标记(锯痕?)而已。此外,如lineardimensions are of the order of L,汉译为线性尺度在L的量级,字面上可看到的意思是若排列的话,该尺度应该可与L 等量齐观的。Order of magnitude,量之大小在序列中的位置,汉译干脆就是数量级。

数字的用法分为ordinal numbers( 序数) 和cardinal number ( 基数),前者明显与order有关,而后者也不免和order 有关。一个集合的元素数目,是集合的cardinality (集合的势),而群的元素数,当然也是cardinality, 又被称为order of group,汉译“群阶”。与此同时,群元素g 的period (周期),即使得gm=1 成立的最小整数m,也称为该群元素的order。群阶和元素的阶反映了群的内在结构。大致说来,一个群,其群阶的因子分解越复杂,这个群的结构就越复杂。不仅群和群元素有order 的概念,群的特征标(character)也有order的说法。

Order 在许多场合下有排序的意思,与其连用的数词应是序数词,如second-order differential equation(二阶微分方程),third-order recurring sequences (二阶递归序列),first-order approximation (一阶近似),等等。物理学的方程被限制在(第)二阶(偏)微分方程的层面,学会了解二阶(偏)微分方程,一个纯数学家也许比许多物理学家更象物理学家。量子力学以及后继的发展被有些人频繁以革命誉之,属不通之论,其governing equations 模样可以变得复杂可怕,但属于二阶微分方程却是不变的。

  5 Rank

中文的秩,序也,次也,可连用为秩序、秩次(官阶的高下),还有秩叙(次序)、秩然(秩序井然)、秩如等词。秩既然用来表示官阶的高下,相应的标识就有秩服(区别官阶的服饰)、秩俸(分级别的俸禄)等委婉语。秩被用来翻译英文数理概念中的rank,日常表述的rank,如military rank (军阶)还是用阶级加以翻译。中国古代的官员有华丽花哨的秩服,今天各国军队的military rank 则用华丽花哨的徽章(insignia)加以标识。

Rank,与range,arrange 同源,意为to arrange in order,特别是排成行。作为及物和非及物动词用,rank 一般是排序的意思,如to rank third on a list ( 位列第三), qualitative ranking of various ions toward their ability to precipitate a mixture of hen egg white proteins (根据使得鸡蛋白沉淀的能力把离子定性地加以排序), Alfred Nobel 在设立诺贝尔奖时将物理学排在第一位(ranked physics as the first one), 等等。Rank 作为名词表示次序,汉语的翻译比较随意, 比如people from allranks of life (各阶层人民),a poet of the first rank ( 一流诗人), 等等。Rank 作为排序的意思强调是排成行,国际象棋棋盘上空格的行与列,英文用的即是rank 与file;相应地,对于矩阵的行与列,英文用的是row与column。

Rank 作为科学概念我们知道有rank of a matrix 矩阵的秩的说法。Rank 是矩阵的一个基本特征。把矩阵的行(列)看成一组矢量,这组矢量中线性无关的矢量的数量即是所谓的rank,也即行(列)矢量所张空间的维度。对于一个矩阵,行和列具有相同的秩,也就是矩阵的秩。考虑到矩阵同线性方程组和线性变换(算符)相联系,因此矩阵A 的秩是线性方程组A·x=c 非简并性的度量,也是线性变换y=A·x 之像空间的维度。

在物理上,我们知道能量是标量(scalar),动量、位置是矢量(vector),而角动量L= r? ×p?是贋矢量等等,这些可以用张量(tensor)的语言统一处理。张量是描述张量之间线性关系的几何对象(有点循环定义的味道哈),张量的rank (也叫order或者degree)就是用来表示张量的数列的维度,也即所需指标的个数。由此可知,能量,动量(位置)和角动量分别是rank-0,rank-1 和rank-2张量。针对某个标量(质量,电荷)的空间分布定义的四极矩张量, Q=∫Ωρ(3rirj - |r|2δij)d3r , 就是无迹的rank-2 张量。电位移D (矢量)对应力张量σ(rank-2张量)的响应,或者应变张量ε(rank-2 张量)对电场E (矢量)的响应,相应的系数就是rank-3张量。

涉及线性行为的代数、变换和算符等概念都会有rank 这个特征,因此有(李)代数的秩,(不可约)张量算符的秩等说法。Module (模式)概念也有秩的说法,比如rank 2 的自由Z-module 不过是Ok = Z ?ωZ 的一种装酷的说法而已,其中ω ∈Ok ,Ok 为一代数整数集合。对椭圆曲线y2=x3+Ax+B 也有rank 这么一个量,比如椭圆曲线y2=x3-2 和y2=x3-4, 其Mordell—Weil rank 就是1。这种秩有什么意思,怎么计算,笔者不懂。

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V设计

空间设计简论

空间设计简论

一个好的空间的重点并非是表现手段。构成.颜色.材质(不局限于此列比)都是手段基调,而非一个空间的主题基调。通过结合运用手段的设计人可以类比为三国的杨修,识事确不识人(人指空间的元体即决定该空间存在意义的根本),况且多数是无杨修之才的,更像街头摊贩声高的吆喝罢了。我想对这一纸白页倾说一下,我理解的空间,然后再说设计的事。空间是承载物事的载体,物强调的是特定空间... 阅读全文

空间设计简论

 

一个好的空间的重点并非是表现手段。

构成.颜色.材质(不局限于此列比)都是手段基调,而非一个空间的主题基调。

通过结合运用手段的设计人可以类比为三国的杨修,识事确不识人(人指空间的元体即决定该空间存在意义的根本),

况且多数是无杨修之才的,更像街头摊贩声高的吆喝罢了。

我想对这一纸白页倾说一下,我理解的空间,然后再说设计的事。

空间是承载物事的载体,物强调的是特定空间既定的功能性,事是特定空间的可能性。50年代出, 华北无线电联合器材 联合厂在京郊毫无工业基础的酒仙桥地区筹建时,

谁能想到50年后这座 新中国“一五”期间的工业厂区变成了中国乃至亚洲的艺术核心。798的再利用是时间的产物更是时代的产物,同样谁也不会知道这座艺术区下一个多少年后的所扮演的身份会是什么,

这也是空间吸引我的重要原因。

我想,在空间面前我们不是执刀的屠户.掌墨的画家,因为每一个空间的可能性是高于或等于我们存在的,双方的契约首先是对彼此的尊重,

所以我认为空间的第一元体应该留给空间本身,其次是人是物。

作者:David Zhang

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★·°遇見、堇色年華 ﹏

【十里桃花】温柔

【十里桃花】温柔

阿信在演唱会上唱《温柔》,他说:&你们带电话了吗?拿出来,打给你们喜欢的人,我唱温柔给他听。& 全世界都暗了,只剩下全场观众手机屏幕发出的微弱亮光,那些亮光链接着自己和喜欢的人,然后他站在一束光中,他说:&如果你对我说你想要一朵花,那么我就会给你一朵花,如果你对我说你想要一颗星星,那么我就会给你一颗星星,如果有一天,你对我说,你要离开我,我想,... 阅读全文

【十里桃花】温柔

阿信在演唱会上唱《温柔》,他说:“你们带电话了吗?拿出来,打给你们喜欢的人,我唱温柔给他听。” 

 

全世界都暗了,只剩下全场观众手机屏幕发出的微弱亮光,那些亮光链接着自己和喜欢的人,然后他站在一束光中,他说:“如果你对我说你想要一朵花,那么我就会给你一朵花,如果你对我说你想要一颗星星,那么我就会给你一颗星星,如果有一天,你对我说,你要离开我,我想,我不会强求,也不会再挽留,只因为我能给你最好最美也是最后的温柔。 你会听到我对你说,我给你自由,我给你自由,我给你自由,我给你自由,我给你全部全部全部自由……” 

 

接通电话那头无声的感动捂着嘴巴早已经泪流满面,有多少人的电话是没有打通的呢,会好遗憾吧……还有在漫长等待中在嘟嘟嘟的忙音里终于清醒了他不会回来了他是真的不再喜欢我了。多残忍,你死心的瞬间和你喜欢他的这些年。

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