辛几何&李代数

康威常数2

康威常数2

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六、具体的应用:“1”,“2”和“3”的比例

先解释一下这里“应用”的意思。许多读者看到这个理论的第一个(或第二个第三个……)反应也许会是“那这个理论在实际中有什么用途呢“?

边说边看理论中的“说”“看”过程其实是一种被称为“游程编码”的编码方式。这种编码方式有时被用作数据压缩的方式,如在一些图像格式中。也许因为是这个原因,康威的论文在第二次发表时,刊登在一本和通信有关的学术论文集上。(第一次发表在剑桥大学数学学会的会刊Eureka上。)如果要强调边看边说理论有什么实际应用,也许这是个好的切入点。

不过我觉得这理论其实并没有什么实际用途,至少到目前为止没看见它有。它的价值在于它的美,而它的美源于它起源的质朴和内容的(相对)深刻以及形式的奇诡之间的强烈对比。一个数学理论,它是美的,这就是很好的价值了。

本节和后面所说的“应用”,是用康威的理论去回答一些问题。这些问题并不依赖于理论而存在;从原则上说,以直接产生边看边说序列再作观察的方式也能回答这些问题;但从现实上这样做非常困难,或根本不可能。本节想问的问题就是,从1开始的边看边说序列,它的第100,或是第1000000项有多少个数字,其中分别有多少“1”,“2”和“3”?

用直接写出每一项的方法,我们很容易计算出这个序列的前面几项的长度:

 

1, 2, 2, 4, 6, 6, 8, 10, 14, 20, 26, 34, 46, 62, 78, ……

 

但是这个直接生成数字串并作统计的方法会变得越来越困难,所需要的计算量和储存空间越来越大。根据算术定理,序列长度以指数增长。取康威常数为1.3,以非常粗略的方式估计,它的第100项的长度大约会是1.3100≈2×1011,也就是千亿这个数量级,生成新数字串的计算量变得非常大。而它的第1000项的长度则要超过10100,此时光是储存数字串也变得不可能,因为可观测宇宙内的原子总量据估计也仅有1080个。如果我们想知道第1000000项数字串有多长,其中分别有多少“1”,“2”和“3”,靠直接生成数字串的方法是完全不可行的。

但通过康威理论,这个问题就容易解决了。

我们知道,从数字串1开始的边看边说序列在第8项演化成由一个72铪元素和一个50锡元素组成的化合物。从这一天起,通过查询元素列表中的“一天后衰变物”一栏,每天演化出来的化合物中的各元素数量都可以通过前一天化合物中各元素的数量来计算:比如说,如果前一天的化合物中有100个31镓元素,那么次日的化合物中就会因此产生100个1氢元素,200个20钙元素,100个30锌元素,100个63铕元素和100个89锕元素。由分割的原理,化合物中的每一个元素都可以看作是在独立演化而不和化合物中其他(同种或不同种的)元素的演化过程相互干扰。92种元素中的每一种都可如此算出次日产生的元素数量,求和后就可得出次日产生的化合物中每种元素的含量。下面给出了第8项到第20项以及第99和第100项的结果:

康威常数2

接下来当然就很简单了,统计一下每种元素里“1”,“2”和“3”的数量,乘以化合物中此种元素的数量,再分别相加,就得到了化合物中“1”,“2”和“3”的数量。计算的结果是,第100项有511247092564个数字,其中有253103530928个"1",63796211233个"2"和94347350403个"3"。“1”,“2”和“3”在此项中的比例大约分别是49.507084658%,32.038560926%和18.454354416%。(上面这三个百分比相加不严格等于100%,因为分别有尾数的四舍五入。下同。) 注意到这个结果和我们上面粗略的估计千亿这个数量级是相符的。

对第100项可以这样算,对第1000000项也同样可以这样算,没有什么原则上的不同。只是对第1000000项来说,其中所含的元素数量实在太多,如果在编程时使用普通的32位或64位甚至128位的整数类形来表示是远远不够的,必须使用支持任意长度整数的数据类型,比如Java语言中的BigInteger。不过在此无法将这些数字具体写出来:第1000000项的长度以十进制数表示出来的话会有115137位,写出来将是一本中篇小说的篇幅。“1”,“2”和“3”的数量也一样无法具体写出,它们在此项中的比例分别约为49.507077868%,32.038585700%和18.454336321%。

看来当项数比较大时,“1”,“2”和“3”在数字串中的比例会趋向定值。这其实是算术引理的推论。因为随着项数趋于无穷,各元素在数字串中的比例趋近于它的丰度。以每种元素中“1”,“2”和“3”的数目乘以它的丰度,再分别相加能得到三个数字a,b和c,将它们归一化操作(即分别除以a+b+c)后就得到了当项数趋于无穷时“1”,“2”和“3”的比例的理论值,结果是约49.507077857%,32.038585734%和18.454336411%,和上面的结果相符。

我们可以问,为什么上面使用的计算长度的方法要比直接产生此项数字串再统计其长度的暴力法的计算速度快得多。因为在这种方法中,元素之间的顺序这个信息被省略而不参与计算。在前面的表中,我们只知道每一项化合物中每种元素有多少,但不知道它们分别处于化合物的什么位置。依照化学中表示物质组成的化学式来作比方的话,直接产生某项数字串类似于要知道物质的结构式,而上面的计算则只是得到了物质的实验式。而我们要知道数字串的长度或是其中“1”,“2”和“3”的数量,却恰恰并不需要知道元素之间的顺序。

 

七、具体的应用:第1000000项的某位数字

前面一节中的计算因省略计算元素之间的信息而变得迅速,但康威的理论也同样能帮助我们快速地知道,以1开始的边说边看序列的某项数字串的某个具体位置的数字是什么。

比如我们可以计算出,序列的第1000000项是以“132113213221133112”开始的。这我们甚至可以用手算:它的第8项以72铪开头,于是第9项以71镥开头,然后依次以70镱,69铥,68铒,67钬,66镝,65铽开头,第16项又以67钬开头,我们发现了67钬→66镝→65铽→67钬……这个循环,所以此后所有3n的项都以65铽开头,3n+1的项都以67钬开头,3n+2的项都以66镝开头,于是第999999项以65铽开头,而第1000000项以65铽一天后的衰变物,也就是6764钆开头。要计算第1000000项是以什么结尾的可用类似办法。这其实是起首引理和结尾引理的推论。

任意给定自然数n,要计算第1000000项数字串的第n位是什么数字则比较麻烦一点,但原则上来说也不难,当然一般不能用手算。序列在第8项演化成7250锡。而按照前面的方法,我们可以精确计算72铪演化1000000-8=999992天后产生的化合物的长度d;如果d大于等于n,那么原问题就转化为72铪演化999992天后数字串第n位是什么数字,反之则转化为50锡演化999992天后数字串第n-d位数字是什么。这种方法可以一直继续下去直到求出结果:当化合物中有超过一个元素时,我们求出第一个元素最终产物的长度,以便知道我们感兴趣的那一位数字是否由它产生,如果不是,则可以抛弃这个元素(并修正所求数字所在的位数);当化合物中只有一个元素,则将其代换为它一天后的衰变物,再重复这个步骤。

上面的算法的具体实现则需要一点技巧,因为单独一次计算某元素在若干天后产物的长度虽然并不耗时,但如果每次使用都需要重新计算的话,所用的总时间也是惊人的。所以可以预先计算,要用时再查表。可是如果所有计算结果都储存的话,需要的空间相当大(大概超过2To)。笔者采用折衷的方式,储存每隔1000天的结果,将所需空间削减为原需的千分之一,中间结果则在需要时再当场计算填充。具体的程序实现属于编程和算法问题,在此就不详细介绍了。在一台并不很新的个人电脑上,笔者的程序用大约20分钟生成上面所说的元素产物长度表格,每回答一个“第1000000项数字串中间第n位是什么”的问题则需要大约10分钟。计算结果:序列从第1040000位开始的几个数字是3222112,它其实是一个3锂元素的结尾部分;第1090000位开始的几个数字是312,它其实是一个23钒元素的结尾部分。

八、线性代数的语言

现在我们来讨论本文最有意思的部分,关于算术定理的证明。这部分证明必须用到线性代数的知识,所以从现在起我假设读者了解线性代数的一般知识。

根据元素列表中的“一天后衰变物”一栏,我们定义一个92×92的矩阵M,它在第i行第j列处的值为第j号普通元素一天后衰变物中的第i号普通元素的数量。比如说1氢的一天后衰变物仍是1氢,于是矩阵的第1列只有在第1行处的值为0,其余均为0;而31镓的一天后衰变物是63208912030锌,于是M的第31列在第1、30、63和89行处的值为1,在第20行处的值为2,在其余行处的值为0。我们把这个矩阵称为边看边说矩阵

矩阵M的规模比较大,在网页上不容易完整地表示出来。好在它的元素很简单,大多数是0,其余的基本都是1,只有一个值是2,所以我们可以用下图中点阵的方式来表示这个矩阵,其中每个白点表示此处值为0,黑点表示1,红点表示2。

康威常数2

M的点阵表示

矩阵M包含了普通化合物演化的几乎所有信息。说“几乎”是因为它和第六节中的计算一样,忽略了演化过程中各元素间顺序的信息。对任意一个普通化合物C,我们都可以写出一个有92个分量的列向量u来,它的第i个分量是C中第i号普通元素的数量,我们称它为普通化合物C对应的向量

任何一个普通化合物C,如果它在次日演化成C',那么容易看出,C'对应的向量u'=Mu,也就是说“左乘M”代表了“演化1天”的操作(但是忽略了元素次序)。想知道C'再过一天的演化结果所对应的向量,只要在u'左边再乘以一个M,所以是M2u,这是C演化2天后所得化合物对应的向量。如此下去,C在第n天的演化结果所对应的向量就是Mnu这就把(忽略了元素顺序的)普通化合物演化过程完全地用线性代数的语言表述出来

比如第六节中那个表格现在就可以用矩阵的语言相当简明地表达。令u是第50、72分量为1,其余分量为0的列向量(对应于第8天的普通化合物7250锡),“化合物中元素个数”一栏表述的其实就是向量Mn-8u的各个分量,其中n是以1开始的边看边说序列的项数。

于是我们可以用线性代数的语言和工具来表述和研究边看边说序列的演化问题。算术定理叙述的,实际上就是当n趋向于无穷时,矩阵Mn的性质。康威在论文中提到的Perron–Frobenius定理,就是这样一个阐述矩阵的幂的极限性质的定理。我们先来看一下它的经典形式。

 

九、Perron–Frobenius定理

如果A是一个其中元素都是正实数的m阶正方矩阵。Perron–Frobenius定理断言,A的特征多项式必定有一个单的正实根μ,而且它严格大于所有其他的根的绝对值(其他的根有可能是复数)。我们知道这个根μ是A的一个特征值,Perron–Frobenius定理说,它必定有一个所有分量都是正实数的特征向量v。因为μ是单根,所以它的特征空间是1维的,就是由v生成的。

当我们说一个矩阵的“特征向量”时,我们通常指的是它的特征向量,也就是说Avvv是一个列向量(或可以说是一个m×1的矩阵)。但A同样也有关于μ的特征向量w,它可以看作是A的转置矩阵tA的(右)特征向量的转置,是一个行向量(或可以说是一个1×m的矩阵),满足wAww当然也可取成其中分量都是正实数的,而且我们还增加一个要求,要求wv=1(行向量乘以列向量的结果可以看作是一个数,也叫这两个向量的内积),这可以通过将w乘以合适的系数做到。

 

Perron–Frobenius定理进一步说,当自然数n趋向于无限时,矩阵序列{(1/μn)An}的极限是矩阵vw(不要和上面的wv=1的要求搞混了,列向量乘以行向量的结果是m阶正方矩阵)。

这实在是一个非常漂亮的定理!要是它适用于边看边说矩阵M的话,Mn在n趋于无穷时的性质就可以通过计算M的特征值和特征向量得到,算术定理也就唾手可得了。

很遗憾,至少是在康威写作论文的那个时代,Perron–Frobenius定理对M并不适用——它的系数充满了不是正数的0。Perron–Frobenius定理也存在着其他一些形式。在某些形式里,条件被放宽为矩阵的元素可以是大于或等于0的实数,但矩阵必须是不可约的或是对称的,或是存在某个k使得Mk的元素都严格大于0,这些也是M所不能满足的——因为M显然不对称,而由于1氢元素的性质,M的第一列除了第一项外都等于0,这使得它是可约的,而且对任何自然数n,Mn的第一列除了第一项外也都等于0。

在这里岔开去说一点,Perron–Frobenius定理是相当有用的一个定理。在实际当中我们常会碰到元素均大于0或是均大于等于0的矩阵,最常见的有马尔科夫链的状态转移矩阵和图论中的邻接矩阵。Google公司搜索引擎的核心技术PageRank(网页排名)就是基于转移矩阵理论和对上面所说的那个特征值的计算,而Perron–Frobenius定理则保证了这个特征值的存在性。从理论上来说,Google要对付的那个矩阵的行和列数,和它搜集的网页数相等,是当之无愧的巨无霸矩阵。如何对它作特征值计算,大概是Google最重要的商业秘密之一,当然这是本文的题外话了。

十、加强版算术定理

因为前面所说的那些形式的Perron–Frobenius定理都不能应用于边看边说矩阵M,于是康威就在论文中用直观的方法证明了一个猴版的结论,也就是前面介绍的算术定理。之所以称它是“猴版”,是因为其结论是不完全的。它只是说,从任何一个普通化合物开始,每一步演化得到的数字串的长度和上一步相比,越来越趋近于康威常数λ,却没有对演化n天后的数字串的长度作直接的估算。下面这幅11钠,29铜和62钐开始演化后30天内序列中数字串长度的统计图很直观地显示了这个定理的正确性。注意到图中纵轴是对数坐标轴,指数函数在这样的坐标系中的图像是直线。随着项数的增长,图中的三条曲线很快都近似直线。三条直线的斜率都一样,通过算术定理我们知道这斜率就是康威常数λ。

康威常数2

长度的增长

但是算术定理无法说明的是,三条直线高低不同的位置是由什么决定的。如果把三条直线所对应的指数函数写成y=cλn的形式,我们就要问:对于每种不同的普通化合物,它所对应的c是由什么决定的,如何计算呢?下面的表中,我们对若干项n计算了以上述三种普通元素开始的边看边说序列的“演化n天后数字串的长度/λn”的值,也即上述c的经验值:

演化天数112962
09.00000006.00000006.0000000
19.20543826.13695886.1369588
28.23862014.70778299.4155658
38.12572596.32000909.0285843
48.31120756.92600638.3112075
57.43830765.313076910.094846
66.92880356.521226810.596994
76.56586336.87852359.3798047
86.23604325.756347510.553304
95.51976066.255728710.855529
105.22232546.77490879.5977873
205.29914806.12589489.9309221
505.29850206.050634010.037356
1005.29939126.050388710.035343
10005.29939036.050390710.035341
100005.29939036.050390710.035341
1000005.29939036.050390710.035341

看来,与11钠,29铜,62钐相对应的c值应该分别大约是5.2993903,6.0503907和10.035341。29铜和62钐的长度都是6,可是对应的c值却差许多;11钠的长度是9,可是对应的c值却反而小于29铜和62钐的。也就是说,从两个初始长度相同的化合物出发,接着用相同时间演化出来的化合物长度可以差许多,甚至有可能初始长度长的化合物,接下去演化出来的化合物的长度反而短。算术定理无法告诉我们这是为什么,更不能对每种化合物预言和它对应的c值。

康威的论文写于1980年代。二十多年后,代数学家们对Perron–Frobenius定理的研究更加深入,与其说现在我们有Perron–Frobenius定理,不如说我们有Perron–Frobenius理论,我们拥有了当年康威所没有的工具。文献[2]中的定理2.4简直就是为边看边说矩阵M量身定造的。它说,如果一个n阶实系数正方矩阵A有一个绝对值最大的正特征值,而且和它相关的左右特征向量都可以取分量非负的话,那么前面Perron–Frobenius定理中所叙述的“当自然数n趋向于无限时,矩阵序列{(1/μn)An}的极限是矩阵vw”的结论同样成立。

注意到在原版Perron–Frobenius定理中,关于存在绝对值最大的正特征值以及正分量的左右特征向量的命题,是结论的一部分,在上面的定理中则成了条件的一部分。对于矩阵M,这个条件是可以独立计算和验证的。关于矩阵的特征多项式、特征值和特征向量的理论,是线性代数的基础知识,在此我就不重复了。

康威证明了,M的92次的特征多项式可以被因式分解,去掉那些根为0或±1的因子,剩下的就是我们在算术定理中看到的那个71次多项式。下图是这个多项式的解的图示,最右方红点即康威常数λ。

康威常数2

71次多项式的解。图中心为原点,每一小格边长为0.5

在这里值得一提的是幂法求特征值的迭代算法(具体方法可以以“幂法 特征值”为关键词在网上查询)。本来这个算法有点鸡肋,因为它只能求绝对值最大的特征值(如果改变一下也可求绝对值最小的特征值,称为反幂法),所以如果要求所有的特征值就不适用了。可是这里我们恰恰只需要求绝对值最大的特征值,用求所有特征值的算法求出一堆特征值来到反而还得另去筛选出绝对值最大的来,反而麻烦。而且幂法能同时求出这个特征值和相关的特征向量。这简直是要睡觉就有人送上了枕头!笔者用这个方法轻松地就求出了M这个绝对值最大的特征值小数点后三百位的值和精确程度类似的相应的特征向量,虽然这么精确的数据其实没什么大用处。

于是我们就有了比原版算术定理更强的
加强版算术定理
1) 边看边说矩阵M有一个在其所有特征值中绝对值最大的特征值λ。λ为正实数,是M的特征多项式的单根。
2) M有一个关于λ的,分量都是正实数的,分量之和为1的(右)特征向量v,我们称v丰度向量
3) M有一个关于λ的,分量都是正实数的左特征向量w,满足wv=1。我们称w富度向量
4) 当自然数n趋向于无限时,矩阵序列{(1/λn)Mn}的极限为矩阵vw

事实上定理中的λ就是康威常数λ。在原版定理中它是一个神秘的71次多项式的根;而在加强版定理中,它被明确为边看边说矩阵的唯一的绝对值最大的特征值。下面我们来看看如何由上述加强版定理推导出原版算术定理。

注意到在文献[2]定理2.4中,v并不是被唯一确定的,而是可以被乘以任意一个正实数,而在上述加强版定理中,对丰度向量v有一个“分量之和为1”的附加要求,v就被唯一确定了。正如它的名字所暗示的,v的各个分量就是各普通元素的丰度:第1个分量对应着1氢的丰度,第2个分量对应着2氦的丰度,等等。

富度向量w因此也被唯一确定,我们可以定义第n号普通元素的富度w的第n个分量。从线性代数的观点来看,wv是相对于同一个特征值的左右特征向量,是对偶的数学对象,所以我们可以把丰度和富度看作是对偶的概念。丰度的英文为abundance,于是和它对偶的富度可以反译回去称作coabundance。

我们不仅可以对普通元素定义其富度,而且可以对一般的普通化合物定义它的富度:普通化合物的富度就是组成它的普通元素的富度之和(同一种元素多次出现则对其富度多次求和)。比如化合物63208912030锌的富度就等于63铕、89锕、1氢、30锌的富度加上两倍20钙的富度。上述定义可以用线性代数的语言简单地写为:令C是一种普通化合物,设它所对应的列向量是u,那么它的富度就是富度向量wu的内积wu

在讨论富度的实际意义前,我们先列出所有普通元素的长度、丰度和富度:

元素长度丰度富度
120.09179038325.6080827086
2320.00323729693.2519030758
3270.00422006662.4945994020
4420.00226388604.4173991800
5340.00295115043.3886745994
6280.00384705252.5995195528
7240.00501493021.9941430512
8180.00653734911.5297467197
9140.00852193971.1734990753
10120.01110900680.9002144354
1190.01448144880.6905723633
12100.01885044121.0642759581
13100.02457300670.8164272141
1470.03203281300.6262975226
15120.01489588671.5173799538
16100.01941793921.1640122836
1760.02531278420.8929369292
1840.03299717010.6849896438
1940.04301436090.5254691533
2020.05607254310.4030978184
21160.00930209742.2191977577
22140.01212600281.7023906526
2380.01580718161.3059376632
2450.02060588261.0018107052
25120.02686136021.2489541407
2680.03501585850.9580975139
2750.04564587730.7349756218
2880.01387112421.0277878559
2960.01808208220.7884364666
3030.02357139130.6048252645
31170.00144789062.3774502059
32230.00188743722.8607239388
33262.72462160762.7242698891
34203.55175479442.0898415106
35164.62998681521.6031589076
36146.03554556821.2298150218
37107.86780000890.9434155159
3871.02562852490.7237127697
3971.33698603150.7923865601
40231.74286459972.2353942193
41282.27195867522.9203125825
42202.96167368522.2402297523
43153.86077049431.7185247131
44213.28994805762.3970976690
45244.28870150422.8757958978
46185.59065379452.2060801198
47127.28784920561.6923278521
48109.50027456451.2982182892
4980.00123843420.9958890202
5050.00161439470.7639662365
5170.00210448821.1205778552
52130.00274336301.9384007646
53180.00357618562.5239203970
54140.00466183431.9361494381
5580.00607706121.4852586679
5660.00792191881.1393714076
5750.01032683330.8740344241
58100.01346182521.5435278845
5980.01754852931.1840708803
6060.02287586390.9083242769
6130.02982045620.6967935837
6260.01540811521.3077219948
6370.02008566871.0031795014
64110.02166297281.6425976370
65160.02823935892.2970039458
66120.03681218641.7620773240
6770.04798752941.3517244937
6890.00109859561.5714588817
69140.00120490842.0785360303
70100.00157069121.5944862492
7160.00204751731.2231620535
7250.00266909700.9383118918
73322.42077366663.2519030758
74273.15566552522.4945994020
75421.69288018084.4173991800
76342.20680012293.3886745994
77282.87673447752.5995195528
78243.75004567391.9941430512
79184.88847429831.5297467197
80146.37250397551.1734990753
81128.30705132930.9002144354
8290.00108288830.6905723633
83100.00141162861.0642759581
84100.00184016700.8164272141
8570.00239879980.6262975226
86120.00312702091.5173799538
87100.00407631341.1640122836
8860.00531378950.8929369292
8940.00692693520.6849896438
9040.00758190470.5254691533
9120.00988359860.4030978184
9211.02562852490.3092243383

任取一种普通化合物C,设它所对应的列向量是u,那么n天后C演化成的化合物所对应的列向量就是Mnu。根据加强版算术定理的3),我们知道当n趋于无穷时,(1/λn)Mnu会趋于vwu。所以对Mnu在n充分大时的性质的研究可以转化为对vwu的性质的研究。

因为矩阵的乘法满足结合律,所以vwu=v(wu),而上面我们已经知道,wuwu的内积,即化合物C的富度,它是一个实数,令它为d,则vwu=dv。这证明了从任何一种普通化合物出发,Mnu在n充分大时和λndv差不多;也就是说,经过足够长时间后,它里面的各元素的百分比就会趋近于丰度向量的各分量。这就是原版算术定理中“每种元素在这些数字串中的比例越来越趋近一个大于0的常数值”这一部分。

我们定义量长向量是这样的行向量,它的各分量分别为各普通元素长度:(2, 32, 27, 42, ……),记它为r。那么容易看出u所对应的化合物的数字串长度就是ru。所以量长向量有测量化合物长度的功能。r和丰度向量v的内积则是一个常量,记它为L,我们可称其为量长常数。(如果滥用一下术语,我们可以说L是丰度向量v所对应的化合物的数字串长度。当然不可能真有哪种化合物所对应的向量会是v,因为v的分量都不是整数,甚至不是有理数。)根据上面的表格容易计算出L≈7.6739102369。对应于Mnu的化合物的长度为rMnu,它约等于rvwuλn=drvλn=dLλn。换句话说,当n相当大时,dLλn是C在n天后演化结果的长度的很好的估计。

这下我们看出来了,dL就是对本节开始想求的c,即化合物的富度乘以量长常数。对11钠,29铜和62钐来说,其富度乘以量长常数的值分别约为5.2993903280,6.0503906721和10.0353412031。这三个数字和前面计算的经验值完全符合。

严格地写成命题的话就有:
量长推论)令普通化合物C的富度为d,它在第n天后演化结果的长度为hn,那么当n趋向于无穷时,dLλn/hn趋向于1,其中L为量长常数。

从这个结论很容易推出原版算术定理中“从任何一个普通化合物开始,每一步演化得到的数字串的长度和上一步相比,越来越趋近于固定常数λ”这部分。于是原版算术定理完全得证。

十一、更多的推论

一件有趣的事情是,如果我们将上面的r由量长向量换成每个分量都是1的行向量(1, 1, 1, 1, ……),那么ru就是u所对应的化合物中的元素个数(于是这个向量我们可以类似地称为计件向量,即以“件数”来称呼化合物中元素的个数),而rv精确地等于1(可称其为计件常数,滥用一下术语的话,丰度向量v所对应的化合物中恰好有1件元素)。对应于Mnu的化合物中的元素件数为rMnu,它约等于rvwuλn=drvλn=dλn。即在n相当大时,dλn是C在n天后演化结果中元素件数的很好的估计。

严格地写成命题的话就有:
计件推论)令普通化合物C的富度为d,它在第n天后演化结果中的元素件数为sn,那么当n趋向于无穷时,dλn/sn趋向于1。

如果再翻译回原版定理的说法,那就是“从任何一个普通化合物开始,每一步演化得到的元素个数和上一步相比,越来越趋近于固定常数λ。”事实上,这才是原版中的原版。康威的论文中的算术定理就是以化合物中元素个数为对象论证的,而不是象在本文上篇中那样,以化合物长度为对象。

这下我们达到了思路广的境界——量长和计件向量只是两个特定的向量而已,而每给定一个92个分量的行向量,上面的论证都可以被照葫芦画瓢地小小改编一下得到一个相应的推论。当然,这个行向量如果随便给就太没意思了,我在下面提几个有某种实际意义的例子。

令C是一个普通化合物,我们定义它的重量是它的所有数字之和。比如1氢的重量是2+2=4,11钠的重量是1+2+3+2+2+2+1+1+2=16。那么我们可以定义称重向量为各分量是各元素重量的行向量(4, 56, 47, 72, ……),定义称重常数则是称重向量和丰度向量v的内积,约等于12.964860969。我们有
称重推论)令普通化合物C的富度为d,它在第n天后演化结果的重量为wn,那么当n趋向于无穷时,dLλn/hn趋向于1,其中L为称重常数。

类似地我们可以引入“计1向量”、“计2向量”和“计3向量”,其分量分别是各元素中的“1”、“2”和“3”的个数,同样可定义“计1常数”、“计2常数”和“计3常数”,得到类似上面推论的“计1推论”、“计2推论”和“计3推论”。

十二、附记

如果对照康威原论文和本文内容的话,读者会发现在定理和引理的叙述方面有一些不同,最明显的是本文的化学定理变成是完全关于普通化合物的命题了,原本其中关于包含任意字符的数字串的部分,被移动到宇宙学定理中。这样的改动主要是出于科普文介绍的方便,康威从文章一开始就考虑包含任意字符的数字串,而笔者则需要注意循序渐进,以及将不同难度的问题分开。



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西装

60岁的你,记忆中依旧眉目如画

60岁的你,记忆中依旧眉目如画

不朽的哥哥&&张国荣 13年前的3月31日,我还在读书,那晚刚好写完假期前要交的最后一篇论文,把电脑一关,和自己说&终于可以好好睡一觉&。几个小时过后,电话响了,是同学打给我说:&哥哥跳楼了。&我非常严肃地告诉她:&我已经熬了好几个通宵,愚人节不要这样玩。&然... 阅读全文

 

 

不朽的哥哥——张国荣

60岁的你,记忆中依旧眉目如画                                                                           

13年前的3月31日,我还在读书,那晚刚好写完假期前要交的最后一篇论文,把电脑一关,和自己说“终于可以好好睡一觉”。几个小时过后,电话响了,是同学打给我说:“哥哥跳楼了。”我非常严肃地告诉她:“我已经熬了好几个通宵,愚人节不要这样玩。”然后把电话挂了。但是,电话接连地响,我终于爬起床打开电脑。那一瞬间的感觉,感觉整个世界一片空白,不知道如何形容。

 

2012年,环球唱片出了哥哥的纪念合集唱片,陈奕迅翻唱了哥哥的《最冷一天》,是的,就是那种感觉,尽管宿舍暖气还开着,依旧是最冷一天。

 

今年,哥哥当年的旧作《缘分》重新放映,这么多年过去了,我们都老了,只有他,依旧眉目如画。

60岁的你,记忆中依旧眉目如画

那是个没有医学美容、没有美图秀秀、没有高光磨皮的时代,那时候明星的好看,是真的好看。但即使在星光熠熠的那个时代,张国荣依旧是最出色最好看的一个人。


哥哥的好看,不只是那种五官玲珑剔透的好看,他的一颦一笑,他的举手投足,都带有慑人的魅力。

那个年代没有那么多社交网络没有那么多狗仔文化,粉丝了解偶像的方式,只有看电影和演唱会。有时候因为他演得太好,甚至分不清《纵横四海》《春光乍泄》《霸王别姬》还是《东邪西毒》里哪个才是他?

60岁的你,记忆中依旧眉目如画

60岁的你,记忆中依旧眉目如画

抑或是红馆演唱会里,一袭白衬衣的他,才是真正的张国荣。但这又有什么关系,中学时代,一群女生去唱卡拉OK,会有人点《左右手》,然后静静地看完MV。这是他留给我们青春最美好的记忆。

60岁的你,记忆中依旧眉目如画

哥哥演过很多角色、拍过很多电视剧和电影,以及很多写真集。他是我记忆中,至今穿西服最好看的华人男明星,只有他,确实配得上“官仔骨骨”四个字。


张国荣能把西装穿出很多截然不同的韵味:

 

穿燕尾服的时候,他是亦舒笔下那个叫做家明的贵族少爷。

60岁的你,记忆中依旧眉目如画

西服搭毛衣的时候,他是外冷内热的暖男。

60岁的你,记忆中依旧眉目如画

哪怕是整套大地色系的西服,我从来没想过有人能穿出俏皮感和书卷味。

60岁的你,记忆中依旧眉目如画

张国荣穿西服好看,除了颜正身材好,和他留学英国历练的气质有关,但更重要的是,他是真真正正出自裁缝世家、幼承庭训。张国荣的爸爸张活海先生,是香港著名的洋服裁缝大王,早在上世纪三十年代已于香港的中环德己立街开设洋服店。售卖的款式都是当时好莱坞最新的时尚著名导演希区柯克、演员加里·格兰特、马龙·白兰度、威廉·霍尔登等好莱坞巨星也曾专程光顾。


 60岁的你,记忆中依旧眉目如画

他在大家族中排行第十,所以昵称“十仔”,有时候我会觉得,《胭脂扣》里的十二少,就是他的侧影。

60岁的你,记忆中依旧眉目如画

赖师傅,偶然提及哥哥曾找他定做西服,经不住我死缠烂打,才透露一些关于哥哥的小故事。


“大部分明星都是上镜比真人好看,但Leslie是真人上镜都好看。穿随随便便的家居服不化妆,都好看。”

 60岁的你,记忆中依旧眉目如画

60岁的你,记忆中依旧眉目如画

“在《上海滩》时代前后,去他家给他量身做西服,他人特别好。或者也是和他爸爸是裁缝有关,他对裁缝师傅很尊敬,有礼貌,丝毫没有明星的派头。他很懂服装,家里是做这行的,自己读书也是读这个(张国荣曾就读英国利兹大学纺织管理系),会提很多具体的很内行的要求,是我们裁缝所能遇到最好的客户了。”

60岁的你,记忆中依旧眉目如画

有时候我会想,如果当年哥哥把大学读完,现在的他,会是蛮声国际的华人设计师,还是一个中年发福子承父业的老派裁缝。但是,一切都没有但是,我依旧感谢他,给我们带来那么多美好的回忆。


不需要记住那些离别的眼泪,不需要无谓的猜测和如果,哥哥很早就以一首歌告诉过我们,他从来没有后悔过自己的选择。“I am what I am 我是我 多么特别的我”。

60岁的你,记忆中依旧眉目如画

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日本设计,驻足细节。

海报 | 十九款日本海报 刷新你的视觉高度

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每日正午十二点,和站长说一句:&设计说&三个字,站长会为您推送一条设计物语,或文字,或图片,或声音。感受设计的力量,体会生命的艺术,365天,365句经典,我们相约每日正午时分,不见不散。 本文转自微信公众号:LOGO大师(logods), 转载请标明出处。 都知道日本的设计很棒,尽管最近标志设计出了点事,但... 阅读全文

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每日正午十二点,和站长说一句:“设计说”三个字,站长会为您推送一条设计物语,或文字,或图片,或声音。感受设计的力量,体会生命的艺术,365天,365句经典,我们相约每日正午时分,不见不散。

 

本文转自微信公众号:LOGO大师(logods),

转载请标明出处。


 

都知道日本的设计很棒,尽管最近标志设计出了点事,但是没法抹去整个设计行业的强势,看多了logo设计,今天给各位分享下优秀的海报设计,日本的海报设计从形式,从结构和元素的细节处理都是非常细腻的,能把大家平时生活中的小元素排列的很有整体又不失活跃,一起来看看吧!

 

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如果您想把自己与日本&设计&艺术&游记

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★·°遇見、堇色年華 ﹏

【十里桃花】我有颠沛和你

【十里桃花】我有颠沛和你

〈一〉 我有萍和嫩绿 回忆是失去重力的情绪 有些事只能是心里美丽 〈二〉 我有略和四季 我学会了季节的沉寂 也学会了用皱纹养鱼 〈三〉 我有符和咒语 谁说欺人者自欺 我一点也不想你 〈四〉 我有纸和芙渠 晚雁驮着夕阳沉进我的笔 等莲开并蒂风满楼宇... 阅读全文

【十里桃花】我有颠沛和你

〈一〉

我有萍和嫩绿

回忆是失去重力的情绪

有些事只能是心里美丽 

 

〈二〉 

我有略和四季

我学会了季节的沉寂

也学会了用皱纹养鱼

 

〈三〉

我有符和咒语

谁说欺人者自欺

我一点也不想你

 

〈四〉

我有纸和芙渠

晚雁驮着夕阳沉进我的笔

等莲开并蒂风满楼宇

 

〈五〉

我有贝和潮汐

飞鸟衔走的秘密

藏在我心里最深的海域

 

〈六〉

我有颠沛和你

虽我四下流离

 但我有枝可依 

 

 〈七〉

可是

我没有你

 


- 没有你,我颠沛流离,无枝可依。-

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辛几何&李代数

分子动力学“四大方程”之间的详细推导过程

分子动力学“四大方程”之间的详细推导过程

在学习系统动力学的时候,尤其遇到类似于物理学的分子热运动体系或者生化反应体系时,不可避免地就会遇到标题所指的&四大方程&:切普曼-科尔莫格洛夫方程(Chapman-Kolmogorov equation, C-K equation),主方程(Master equation),福克-普朗克方程(Fokker-Planck equation, F-P equat... 阅读全文

在学习系统动力学的时候,尤其遇到类似于物理学的分子热运动体系或者生化反应体系时,不可避免地就会遇到标题所指的“四大方程”:切普曼-科尔莫格洛夫方程(Chapman-Kolmogorov equation, C-K equation),主方程(Master equation),福克-普朗克方程(Fokker-Planck equation, F-P equation),朗之万方程(Langevin equation)。今天花了点时间,把这四个方程之间的相互关系推导了一遍;主要参考资料为:N.G. van Kampen, Stochastic Processes in Physics and Chemistry. 3rd edition, 2007. Elsevier Publisher. 由于科学网博客数学公式编辑功能有限,所以我在iWork上编写好后贴图到这里。

分子动力学“四大方程”之间的详细推导过程

 

分子动力学“四大方程”之间的详细推导过程

分子动力学“四大方程”之间的详细推导过程

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辛几何&李代数

曲面扭结

曲面扭结

1、极小曲面(Minimal surface) 简而言之,极小曲面就是平均曲率为零的曲面。给定一条闭曲线,可以设想蒙在这条闭曲线上的所有曲面中,有一个面积最小者,这个具有最小面积的曲面正是极小曲面。平面是仅有的极小可展曲面。除平面外,旋转极小曲面都是悬链面,直纹极小曲面都是正螺面。下图,螺旋面(Gyroid)是典型的三重周期极小曲面,由Alan Schoen... 阅读全文

曲面扭结 

 

 

1、极小曲面(Minimal surface)

    简而言之,极小曲面就是平均曲率为零的曲面。给定一条闭曲线,可以设想蒙在这条闭曲线上的所有曲面中,有一个面积最小者,这个具有最小面积的曲面正是极小曲面。平面是仅有的极小可展曲面。除平面外,旋转极小曲面都是悬链面,直纹极小曲面都是正螺面。

下图,螺旋面(Gyroid)是典型的三重周期极小曲面,由Alan Schoen于1970年发现,它可近似定义为一个简单的等曲面方程cos(x)sin(y) + cos(y)sin(z) + cos(z)sin(x) = 0.

曲面扭结

Richmond的极小曲面(作者Paul Nylander)

曲面扭结

2、超复数分形(hypercomplex fractals)

    超复数类似于通常的二维复数,只不过它们扩充到三维空间甚至更高维空间。超复数分形就是n>=3维的分形,想必高维分形神奇得更令人惊叹吧。

   下图这个超复数分形基于Daniel White富有创造性的三维超复数(三重)公式,通过在球坐标系内作两次连续旋转而成。生成的图像,如星云一般。

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下图,是一个三维的Julia集,根据Daniel White的四维超复数开平方。

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下图为彩色的四维Julia集,即四元数分形。

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下图,采用逆Julia集方法。Dominic Rochon 采用寻找二重复数的平方根公式帮助作者绘制该图,该公式有四个根,所以在每次迭代后,点总数增加了四倍。

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 3、分形

克莱因1/15双尖群分形。一个异彩纷呈的多元宇宙大花园。

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克莱因1/15双尖群逆分形。

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 克莱因拟福克斯极限集(Kleinian Quasifuchsian Limit Set)。

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围绕十二面体的三维树分形。树木繁盛的生态星球。

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递归(7,3)庞加莱超双曲盘。圆盘内盛满更小的庞加莱双曲盘,盘内又有盘。小盘呈超双曲多边形,采用一种共形映射技术。

曲面扭结

周围镶嵌神马图的曼德布罗集(Mandelbrot Set Tessellation)。周围镶嵌的图案呈扭曲状,因为它不是超双曲瓷砖。

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黄金比螺旋轨道(Golden Ratio Spiral Orbit Trap )分形

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辛几何&李代数

科学家首度发现人类灵魂,人类的灵魂就是超弦

科学家首度发现人类灵魂,人类的灵魂就是超弦

     人类真的有灵魂?千百年来,这是人们一直都在争论的问题。科技发展到今天,我们已经由看得见的物质研究到了看不见的原子、质子、夸克到中微子。现在又发现了比中微子更小物质&&超弦。科学家说,人类的灵魂就是超弦。   一批来自世界各国的科学家对一个死人进行实验,结果发现一个惊人的秘密,他们对死人通电…… ... 阅读全文


  科学家首度发现人类灵魂,人类的灵魂就是超弦
 
  人类真的有灵魂?千百年来,这是人们一直都在争论的问题。科技发展到今天,我们已经由看得见的物质研究到了看不见的原子、质子、夸克到中微子。现在又发现了比中微子更小物质——超弦。科学家说,人类的灵魂就是超弦。
 
  一批来自世界各国的科学家对一个死人进行实验,结果发现一个惊人的秘密,他们对死人通电……
 
  死后有鬼魂的存在,鬼魂是一种什么东西呢?其实,鬼魂和身体的关系就象电磁波和对讲机的关系。鬼魂也就是一种磁场,有记忆的磁场。鬼魂和肉体是这样的关系:人分肉体和鬼魂两部分,身体为鬼魂服务,鬼魂又依赖于身体,器官的存在是为了身体健康保留,这样才使鬼魂不消失。


 
 
  鬼魂的形成--当胎儿在母体的时候,开始的前三个月是很弱的,甚至可以说没有的,它的来源取决于大脑活动和体液(最主要的是血液,体液都是带有电离子的)的流动而形成的。对所有的动物死后都有鬼魂,也就是只要有电离子流动的生物个体都会形成电流,有电流就有磁场。当胎儿三个月后,大脑逐渐的发育并且于母体的血液流动增多,渐渐形成了鬼魂。初生婴儿的身体接近于原始,所以很多的小孩(6岁)以下会看到鬼魂,他们不是在用眼睛看,而是自己的鬼魂和鬼魂的交流(3岁以下的小孩的视力范围是很近的),这时的小孩的身体和鬼魂的结合不是很融洽,容易受惊吓等原因而分离,这就是俗语的“丢魂儿”。
 
  鬼魂的成长和成熟:随着人身体的增长,鬼魂逐渐的和身体紧密结合,人所有的记忆由鬼魂储存,大脑起介质的作用,就好像磁盘上的信息和磁盘上的磁粉的关系,但又不完全相同,鬼魂又不完全依赖大脑而存在,它有自己**的磁场记忆方式。就好比磁盘上的信息以电磁波的方式发送出去了,它们任何时候都可以被自己的大脑接收显示。需要说明的是磁场记忆依赖大脑的构造(磁盘上的磁粉位置和排列),如果不恰当就产生了白痴。如果记忆只是单纯的象某些科学家说的“大脑褶皱”起作用的话,有报道说白痴的大脑褶皱为什么不比正常人少呢?有科学家试验说,人每天摄取食物所应该产生的能量远远大于人每天发热所消耗的能量,那么相差的能量去哪儿了呢?就是被大脑以电磁波的形式发送出去了。有人可能要问,那电磁波为什么我没有接收到呢?带着这个问题,请您继续往下看。
 
  鬼魂与身体的分离--当人的器官损坏或身体虚弱衰老的不能产生足够的能量时,鬼魂便与身体脱离了,确切的说,是身体先死亡,鬼魂才离开身体,而不是鬼魂离开身体后人才死亡。鬼魂才离开身体后会继续的存在,它们可能会被与它们原先身体有相同属性的个人身体接收,这就是人们说的鬼魂附体,所以这些被鬼魂附体的人会知道很多鬼魂原身体个人的秘密。有人会担心鬼魂会不离开所附的身体,这是多余的,虽然它是暂时附体了,但是它所附的身体和原来的毕竟没有完全相同,所以不会提供给它能量使它延续,它在附体后也就会消失了,能量被耗尽。还有人会疑惑,那从古到今,世界上该有很多鬼魂了吧,到处都是啊?回答是“不是的”,鬼魂是一种磁场,当遇到强大的其他磁场的打击后会被打碎,譬如遇到雷电所产生的强大磁场。所以很多的鬼魂被消灭了。这就是人在“丢魂儿”后如果没有遇到雷电的天气还可以找回来的原因。


  世界就是由物质组成,其中也包括时间、鬼魂,时间、鬼魂只是我们没有完全认识的的一种的物质形式。
 
  鬼魂也是物质的,它是一种跟磁场差不多的场,我姑且叫它“鬼魂场”,跟两个磁石之间有磁场是一样的。而这种场一旦被我们人类认识和利用后将产生历史上的重大变革。
 
  鬼魂有自己的活动。当我们的身体休息的时候,有时它们不休息,到处乱逛,并模糊的存储下来,但是它没有借助身体的帮助,所以是模糊的。不知道你有这种感觉没有:某天你到某个地方或发生某件事情时你会惊奇:咦!这个地方(这个经历)我好像经历过啊!
 
  科学家发现微中子即灵魂。当今世界最惊人的发现 , 科学家发现微中子即灵魂、即佛家的中阴身. 世界上这些诸多的不可思议的现象,怎么解释呢?全世界尖端的科学家,多年来一直在努力,从七十年代到八十年代,根据相对论与量子力学而发展的新物理学,在各方面都有卓越的成就,例如:宇宙大爆炸源起学说及证据的发现;粒子的发现:四度至十一度空间的发现:超光速的发现:无限多元超级宇宙的发现;医学进入四度空间,太空探险船探测土星木星:生命起源之迷揭晓———各种成就美不胜收,而这许多新科学的发现,几乎每一件都可以成为佛经奥秘的解释和旁证!
 
  几十年前,物理学家发现了微中子,微中子比电子小二十至八百倍不等,它是一种无形无体的虚无的一种能,它能穿透任何物质,美国科学家观测了三十多年,发现没有一粒微中子衰变,不衰变就是不死亡,人体全身每个细胞都有微中子,如果将这些微中子连接起来,自然也构成一个物质躯体的形象,这就是佛经中讲到的中阴身,中阴身就是微中子等类非物质的能。在电影聊斋中,我们看到鬼魂对有形的物质来去自如,实质就是这种可以任意穿透一切物质的微中子所特有的物理现象,从那时起,世界尖端科学终于找到了众生都有一个永生不死的可以转位的能量——灵识。佛门中有修行的人,懂得怎样使脑波集中,使中阴身不散不乱,可以穿越三界或多度时空。但一般人利欲熏心,迷了本性,脑波不会集中,也因拼命吃肉吃荤,甚至酒色无度,肉体疾病丛生,死后中阴身散尽,但是有些心愿未了的人,可能挂念子孙或伴侣,他的中阴身就不会立时散尽,可能仍有那一点未了的心愿,维持微中子不散,所以会有鬼魂来看亲人的事发生。我的老师讲过这样一件事:“我现在的住宅,刚搬来时,白天也能见到一个瘦小老年男人,不停吐口沫,晚上见到—个肥胖的妇女,笑容满面,到我的房中,亲热地称我为儿子。我知道他是异物,但没有害怕,于是就念佛、念咒,这异物并无恶意,说是来看看故居,又说很喜欢我能照顾这房子,以后就再也没出现了,我记下了他们的面貌和衣着打扮,访问附近的老人,一提邻居就知道,说那是房子从前的主人,夫妇都是医生,已经死了十多年了。也有些人因悲苦和冤屈、冤魂也会不散,直到申冤后才散去,中阴身能维持很久远的年代,世人大多数不学佛、不懂佛理,不知如何保护自己的中阴身,他们不守戒,不能定慧见性,没有孝行贤德,也没有慈善之举,庸庸碌碌,在名利酒肉和色欲中享受,有些人杀生无数以牟利或饱口腹,更有害人及罪犯,平时做事奸诈阴险、不相信佛说宇宙中有因果报应的规律,这些人的肉体死亡之后,他们身上的微中子没有心力的维系,很快就散了,佛经说随风飘荡,依草附木,任何一个人,不管他地位有多高,物质有多少,破了佛说的根本戒,微中子就破碎,这是佛的智慧,说破了宇宙运动法则的天机,世人不识宝!

  宇宙中的自然规律是决不会因为你不信而减少惩罚
 
  这些罪业深重的人,微中子有—种被污染的场质相近的空间立刻吸过去,因而这些中阴身有的到了黑洞,有的到了冰山,有的到了火山,有的因受业力的反弹而感觉到报应的痛苦,有些屠户死后,感觉到被千刀剐万刀剁,有的象被投身于油锅炸酥般的痛苦,种种痛苦都是自己恶业幻化,阎罗天子是维持宇宙中一切平衡的超自然力量,他以—种能量形式存在于另一时空。凡是恶人无非就是自我心太重、自我越重识力越无明,不能选择前途,死后随恶业力的反弹,转猪狗牛羊、鸡鸭鱼虫而不知。
 
  修行人识力光明清楚,念佛不辍,使自己的中阴身的微中子聚会不散,再加多善行功德,获得宇宙中善果的报应,得佛菩萨超级大愿力能量接引,于是进入光明永恒的极乐世界!大家应知佛学是至善圆满的教育,佛学中的一切学问,建基于无上的智慧,佛学对宇宙的认识是非常深入独到了,它是符合超级宇宙原理的,世界著名的物理学家威斯柯夫说过:“在科学上几乎每一件事都是超过你直接经验的”今天活在世上的每个人,都不应该以主观经验去看待宇宙,对待人生,否则你将面临六道轮尘的选择,千年铁树花开易,一失人身再复难!我们应该认真至诚的去研究和接受佛学的教育,要搞清佛理,反对迷信,有些人每天烧香拜佛,但做事还少不了缺德,这些人不懂得佛学道理,更不了解因果规律是宇宙的重要法则,这些人以我为中心,以自私自利为人生的准则,他们是在搞迷信,他们不懂命由我立,这些人死后,是难逃恶报的!著名科学实验再次证明佛菩萨的存在
 
  万物皆有佛性的科学证明
 
  藏传佛教的修行者,主要通过观想和念咒来获得成就,数以十万计的修行者即身成佛(肉身化作彩虹飞去)。很多修行者都体验了很多修行者都体验了佛菩萨亲临身边传法这样不可思议的事情。很多还没有什么修为的佛弟子有过这样的体验:遇到极度危险时立即念某个咒语,或者念观世音菩萨的名号,立即化险为夷。在普通学人特别是普通百姓看来,这完全违反科学规律,除非是密切注意科学进展的物理学家,很多搞科学的人是断然接受不了的,于是就斥为迷信。
 
  其实,在现实生活中,有很多类似的远距感应并相互作用的事情让大家感到不可思议。
 
  在孪生兄弟之间,当一个人经历痛苦的时候,另外一个人立即就有感应,甚至会有一模一样的痛苦。有的夫妻或者父子之间,当一方经历极大痛苦时,另外一方也能迅速感应到。我以前一位男同事,某日早上身体极度难受,内心翻腾不已,几次呕心欲吐,无法集中精力工作,很快,其母亲从老家来电话告诉他父亲刚刚跌倒去世。
 
  所有这些,究竟是怎么回事?
 
  其实,对这些奇怪的事情,理论物理学已经从理论和实践上获得了确切的证明和解释,只是,众多生命科学学者不了解这样的巨大进展,普通百姓更无从知晓,而佛教当然更是不屑于科学来证明的。
 
  那么,科学究竟发现了什么呢?
 
  一九八二年,法国物理学家艾伦钒?古煽颂兀?lainAspect)和他的小组成功地完成了一项实验,证实了微观粒子之间存在着一种叫作“量子纠缠”(quantumentanglement)的关系。在量子力学中,有共同来源的两个微观粒子之间存在着某种纠缠关系,不管它们被分开多远,都一直保持着纠缠的关系,对一个粒子扰动,另一个粒子(不管相距多远)立即就知道了。量子纠缠已经被世界上许多实验室证实,许多科学家认为量子纠缠的实验证实是近几十年来科学最重要的发现之一,虽然人们对其确切的含义目前还不太清楚,但是对哲学界、科学界和宗教界已经产生了深远的影响,对西方科学的主流世界观产生了重大的冲击。不管两个粒子(有共同来源)距离多么遥远,一个粒子的变化立即就影响到另外一个粒子,这就是量子纠缠。准确来说,所谓量子纠缠指的是两个或多个量子系统之间存在非定域、非经典的强关联。量子纠缠涉及实在性、定域性、隐变量以及测量理论等量子力学的基本问题,并在量子计算和量子通信的研究中起着重要的作用。
  以两个以相反方向、同样速率等速运动的电子为例,即使一颗行至太阳边,一颗行至冥王星,如此遥远的距离下,它们仍保有特别的关联性;亦即当其中一颗被操作(例如量子测量)而状态发生变化,另一颗也会即刻发生相应的状态变化。如此现象导致了“鬼魅似的远距作用”(spookyaction-at-a-distance)之猜疑,彷佛两颗电子拥有超光速的秘密通信(就像念动咒语)一般。“鬼魅”(spooky)一词出自爱因斯坦之口,他曾经发现,这种“鬼魅般的超距作用”(spookyaction at adistance)在众多实验中一再出现,似与狭义相对论中所谓的局域性(locality)相违背。因此直到过世前他都没有完全接受量子力学是一个真实而完备的理论,一直尝试找到一种更加合理的诠释。这也是当初爱因斯坦与玻理斯凡ǘ嗨够?⒛缮?罗森于1935年提出以其姓氏字首为名的爱波罗悖论(EPRparadox)来质疑量子力学完备性的原因。

 
  量子纠缠证实了爱因斯坦不喜欢的“超距作用”(spooky action inadistance)是存在的。量子纠缠超越了我们人生活的四维时空,不受四维时空的约束,是非局域的(nonlocal),宇宙在冥冥之中存在深层次的内在联系。量子非局域性表明物体具有整体性。简单地说,量子非局域性是指,属于一个系统中的两个物体(在物理模型中称为“粒子”),如果你把它们分开了,有一个粒子甲在这里,另一个粒子乙在非常非常遥远(比如说相距几千、几万光年)的地方。如果你对任何一个粒子扰动(假设粒子甲),那么瞬间粒子乙就能知道,就有相应的反应。这种反应是瞬时的,超越了我们的四维时空,不需要等到很久信号传递到那边。这边一动,那边不管有多遥远,立即就知道了,即一个地方发生的事情立即影响到很远的地方。这说明,看起来互不相干的、相距遥远的粒子甲和乙在冥冥之中存在着联系。这与我们人的意识作用非常相似!
 
  实证科学在研究意识中遇到的困难是,无法用我们人类熟悉的时间、空间、质量、能量等来测量意识,但是我们每一个头脑清醒的人都知道自己的意识是存在的。如何来研究无法用常规方法测量而又存在的意识呢?
 
  目前有些学科在神经和大脑上对意识进行了广泛而深入的研究,虽然对大脑的许多功能有了不少的了解,但是对于意识本身仍然是个迷,仍然无法解释“意识的难题”(the hard problem of consciousness)。“意识的难题”是指体验与感受的问题(the problemofexperience),例如对颜色、味道、明暗等等的感受,对价值观的判断等等。“意识的难题”近年来重新触发了哲学上长期解决不了的争论,即意识是从物质中突然出现的,还是万物皆有意识(中国古代叫万物皆有灵性)?
 
  自笛卡儿以来的西方主流世界观认为物质决定意识,意识是在物质中产生的副产品。然而,这种唯物论观点遇到了难以克服的困难与挑战。例如,(1)许多科学家认识到,要从没有意识的物质中产生意识,这需要奇迹的发生,而唯物论是不承认有超自然现象的,换句话说,这是不可能的。(2)在长期研究大脑工作中,神经科学对大脑的功能等等方面已经有了很多的认识,但是许多人怀疑唯物论能够解决“意识难题”。(3)现在有科学研究者从量子测量的角度分析,认为意识不能够被进一步简化,也不是在物质运动中突然出现的,因为如果意识只是物质的副产品,那么这无法解决量子力学中的“测量难题”。量子力学认为物体在没有测量之前,都是几率波,测量使得物体的几率波“倒塌”(collapse)成为观测到的现实。那么问题就出来了:如果意识是从物质中产生的,那么从根本上讲大脑也只是由原子、电子、质子、中子等微观粒子组成的几率波,大脑的几率波如何能够使得被观察物体的几率波“倒塌”呢?对于更大的宇宙的现实来说,这是不是意味着存在宇宙之外的具有意识的观察者?这就是量子力学中的“测量佯谬”。为了解决这个量子测量佯谬,物理学家们提出了许多解决方案,但是从根本上仍然无法绕开意识的问题。诺贝尔物理学奖获得者尤金吠?衲桑?(ugeneWigner)认为,意识是量子测量问题的根源。虽然物理学认识到意识在量子力学的层面上就存在,但是量子力学本身无法解决意识的问题。从量子力学创立时起意识就一直困扰着量子力学,但是长期以来,物理学家们对这一问题视而不见,试图逃避这个令物理学尴尬的难题。
      基于实证科学在研究意识中遇到的难以克服的问题,现在在哲学界、神经科学、心理学、物理学等多学科领域里越来越多的人认为,就像时间、空间、质量、能量一样,意识是物质的一个基本属性,是宇宙不可分割的一部份。这与佛学认为“万物皆有佛性”具有惊人的一致!量子纠缠的存在是微观粒子具有意识的证据,给“意识是物质的一个基本特性”提供了良好的证据,其意义非同寻常。基于上面的原因,越来越多的科学家和研究人员认识到,沿着唯物世界观来研究意识只能走进死胡同,因此他们(其中很多是西方人)认识到,必须要改变西方实证科学的世界观,转而向东方哲学的世界观。于是许多西方科学家和研究人员转向印度,这直接导致了近年来印度瑜伽和神秘主义在西方流行。

 
  如果认识到意识是物质的一个根本特性,那么就不难理解人们发现的“有感知的水”,“祈祷治疗”,“念咒感应”“孪生兄弟姐妹感应”“夫妻感应”“巴克斯特效应”,“因果轮回”等等实证科学无法解释的和灵界有关的现象。
 
  佛家的“万物皆有佛性”,道家的天人合一,认为“万物皆有灵”,都应该是修行者细微观察宇宙得出的结果。.意识超越我们可以看见和感觉到的四维时空,如果人的眼睛能够看到微观,那么就可以看见意识的存在。佛家的开悟,或许正是到了这个境界。现在越来越多的人预言和期望,一个新的世界观的时代就要来临,科学将会发生重大的变化,科学和宗教的界限很快会消失。
 
  推荐阅读:灵魂是什么?
 
  灵魂(soul)是由蛋白质、DNA、RNA等生命大分子构成的生物体所产生的各种层次的一切生命现象,它依生命大分子、细胞、组织、器官以及生物体本身新陈代谢存在而存在。科学给出灵魂科学定义,意义在于引导人们破除迷信,正确认识生命以及生命现象。
 
  经科学推测距今二万五千年至五万年前之人类,已具有灵魂之观念,或人死后灵魂继续生活之观念。然大抵而言,原始人所具有的简单古朴之灵魂观念,往往含有强烈的物质性格。直至宗教、哲学渐次发达之后,人类之灵魂观始趋向非物质化之“精神统一体”。例如某些宗教、哲学相信灵魂可以独存于肉体死亡以后,进而视之为不朽的精神实体。盖承认灵魂存在,虽一般被认为是人类生活之要素,能主宰人类之知觉与活动。据近代考古学为许多宗教、哲学、社会学所主张,然论及其特质、本源、究极,则有极大之分野。有主张其与精神或心意等同义者,如灵魂生活(soul-life)一语,殆与精神生活、心意生活等义无有分别。而主张灵魂说(Soul Theory)者,若自其所说之身、心关系而言,则立足于二元论;若自精神之体、用关系而言,则立足于实体论。近世哲学出现现象论、现实论、唯物论等学说,则大抵反对宗教灵魂存在。
 
  目前,没有人知道灵魂真正存在的详细真相,可历史的印记是不可否认的,其有待于科学的进一步研究。

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辛几何&李代数

dla像素衍射临界光圈

dla像素衍射临界光圈

所谓DLA,指Diffraction Limited Aperture,字面直译应该叫做&衍射极限光圈&,不过撞针觉得要做到严格界定,发扬汉语所长,应该称做&像素衍射临界光圈&。 简单的说,当镜头光圈小于某数码相机的&像素衍射临界光圈&时,该相机成像元件的像素点将受到衍射的影响,逐点的分辨率下降。某网站给出的DLA:EOS 50D&&f/7.6EOS ... 阅读全文

所谓DLA,指Diffraction Limited Aperture,字面直译应该叫做“衍射极限光圈”,不过撞针觉得要做到严格界定,发扬汉语所长,应该称做“像素衍射临界光圈”。

 

简单的说,当镜头光圈小于某数码相机的“像素衍射临界光圈”时,该相机成像元件的像素点将受到衍射的影响,逐点的分辨率下降。

 

某网站给出的DLA:

EOS 50D——f/7.6

EOS 450D——f/8.4

EOS 1000D——f/9.3

EOS 400D——f/9.3

EOS 40D——f/9.3

EOS 30D——f/10.3

EOS 20D——f/10.3

EOS 5D Mark II——f/10.3

EOS 1DS Mark III——f/10.3

EOS 350D——f/10.4

EOS 1D Mark III——f/11.4

EOS 1DS Mark II——f/11.6

EOS 300D——f/11.8

EOS 10D——f/11.8

EOS 1D Mark II N——f/12.7

EOS 1D Mark II——f/12.7

EOS 5D——f/13.2

但该站站长比较吝啬,没解释,给机会撞针就好为人师一下咯。

 

这里涉及三个概念,衍射、衍射极限和Rayleigh判据。

 

dla像素衍射临界光圈  
光的衍射(Diffraction)指光在传播路径中,遇到障碍物或小孔(狭缝)时,偏离直线绕过障碍物继续传播的现象。

 

光经过圆形口径后成像,并不会汇聚成绝对的点,而是形成明暗相间,距离不等的同心圆光斑,其中中央斑最大,集中了84%的能量,可以看作衍射扩散的主要部分,被称为Airy Disc(爱里斑)。

 

衍射极限(Diffraction Limit)是指不考虑光学系统几何像差,一个完美光学系统的分辨率仅受衍射(光波波长)限制的情况。

 

Rayleigh判据:如果两个相邻点形成的Airy Disc的角距离小于一个Airy Disc角距离时,这两个点无法分辨。翻译成人话就是如果两成像点(其实是两个斑点)混到一块的时候,自然就分不清了。因此对于光圈为圆形或类圆形的镜头,其衍射极限分辨率就是Airy Disc的直径。

dla像素衍射临界光圈

如果Airy Disc等于数码相机成像元件单个像素尺寸,成像元件的分辨率等于镜头衍射极限分辨率,相机能够充分利用镜头的衍射极限分辨率。如果Airy Disc大于数码相机成像元件单个像素尺寸,则衍射极限分辨率成为瓶颈,成像元件的分辨率无法发挥——用一个像素点分辨一个成像点和十个像素点分辨一个成像点有啥区别?

dla像素衍射临界光圈

衍射极限公式是sinθ=1.22λ/D。其中θ是角分辨率,λ是波长,D是光圈直径。当θ很小时,sinθ约等于tagθ,约等于d/f,其中d是最小分辨尺寸,f是焦距。

 

推导出d/f=1.22λ/D, 推导出f/D=d/1.22λ。f/D就是焦距:光圈直径,这是啥?光圈f/值啊!

 

A=d/(1.22λ)。A是光圈f/值。当d等于成像元件像素点尺寸p时,A就是像素衍射临界光圈。

 

DLA=p/(1.22λ),也就是:

 

Diffraction Limited Aperture=pixel size/(1.22x light wavelength)

 

像素衍射临界光圈=像素尺寸/(1.22x光波波长)

 

所以,像素衍射临界光圈与像素大小(或者说像素数以及成像元件面积)有关。像素数越高也,像素衍射临界光圈越小;成像面积越大,像素衍射临界光圈越大;总之像素密度越大,越不适合用小光圈。

 

另外光的波长λ越小,像素衍射临界光圈越小(f/值越大)。自然光是混合光,可见光波长为380nm-780nm,咱以顺眼的蓝绿色波长(500nm)计算,结果与某网站基本一致。如果用更精确的sinθ以及像素尺寸数据,结果会略有差异。

 

最后想起了一篇专访,Canon表示,随着数码单反像素的增长,少数镜头已经不能满足新型号单反机身的要求。不妨看看50D,对红色波长来说,其像素衍射临界光圈已经只有f/5左右,而很多变焦镜头长焦端最大光圈只有f/5.6,成为影响50D发挥的因素之一。对于高像素小DC来说,设计小光圈也已经有困难。对1470万像素的小DC,撞针不敢多算。

 

最后,撞针一定要提醒:不是说小于衍射临界值的光圈就不可用!!!

 

像素衍射临界光圈确实影响成像,但也只是影响成像的诸多因素之一,对成像的影响也是随着光圈收缩逐级增加的,大量测试证明了这一点。重要的问题是,还需要兼顾景深的要求、兼顾快门的要求,需要小光圈的时候,就应该用小光圈。撞针的老话:成像只能拍第三!

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