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【十里桃花】十一月蓝鲸,十二月海棠

【十一月蓝鲸】 我会把想你时的事情 都带进梦里 比如海风轻吻背鳍 比如海星安慰鲨鱼 想你是吃糖醋排骨 再吃糖醋里脊 每次看你 都是翻江倒海的欣喜 想你是星浅 稀释风远的别离 每次告白 是五十二赫兹的频率 再后来想你 ... 阅读全文

【十一月蓝鲸】

我会把想你时的事情

都带进梦里

比如海风轻吻背鳍

比如海星安慰鲨鱼

 

想你是吃糖醋排骨

再吃糖醋里脊

每次看你

都是翻江倒海的欣喜

 

想你是星浅

稀释风远的别离

每次告白

是五十二赫兹的频率

 

再后来想你

是我存在血管里

每次心动

就会流过的秘密

 

【十二月海棠】

我在晨钟里醒来

微悠的睡意

正从叶尖的惊呼声里

缓缓滴落下来

 

习惯了面向海边

希望海风会带来关于

蓝鲸的消息

 

还是会收到一封信

淡蓝色的信封

像海浪

像极你微笑的样子

 

等花都开好了

我们再紧紧依在一起

为下一场台风

起一个柔软的名字



- 想你是风浅,离别是星远。-

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辛几何&李代数

折纸几何公理

折纸几何公理

1991 年,日裔意大利数学家藤田文章(Humiaki Huzita) 指出了折纸过程中的 6 种基本操作,也叫做折纸几何公理。假定所有折纸操作均在理想的平面上进行,并且所有折痕都是直线,那么这些公理描述了通过折纸可能达成的所有数学操作: 1. 已知 A 、 B 两点,可以折出一条经过 A 、 B 的折痕 2. 已知 A 、 B 两点,可以把点 ... 阅读全文

 

1991 年,日裔意大利数学家藤田文章(Humiaki Huzita) 指出了折纸过程中的 6 种基本操作,也叫做折纸几何公理。假定所有折纸操作均在理想的平面上进行,并且所有折痕都是直线,那么这些公理描述了通过折纸可能达成的所有数学操作:

1. 已知 A 、 B 两点,可以折出一条经过 A 、 B 的折痕
折纸几何公理
2. 已知 A 、 B 两点,可以把点 A 折到点 B 上去
折纸几何公理
3. 已知 a 、 b 两条直线,可以把直线 a 折到直线 b 上去
折纸几何公理
4. 已知点 A 和直线 a ,可以沿着一条过 A 点的折痕,把 a 折到自身上
折纸几何公理
5. 已知 A 、 B 两点和直线 a ,可以沿着一条过 B 点的折痕,把 A 折到 a 上
折纸几何公理
6. 已知 A 、 B 两点和 a 、 b 两直线,可以把 A 、 B 分别折到 a 、 b 上
折纸几何公理

容易看出,它们实际上对应着不同的几何作图操作。例如,操作 1 实际上相当于连接已知两点,操作 2 实际上相当于作出已知两点的连线的垂直平分线,操作 3 则相当于作出已知线段的夹角的角平分线,操作 4 则相当于过已知点作已知线的垂线。真正强大的则是后面两项操作,它们确定出来的折痕要满足一系列复杂的特征,不是尺规作图一两下能作出来的(有时甚至是作不出来的)。正是这两个操作,让折纸几何有别于尺规作图,折纸这门学问从此处开始变得有趣起来。

更有趣的是,操作 5 的解很可能不止一个。在大多数情况下,过一个点有两条能把点 A 折到直线 a 上的折痕。

折纸几何公理

操作 6 则更猛:把已知两点分别折到对应的已知两线上,最多可以有三个解!

折纸几何公理

一组限定条件能同时产生三个解,这让操作 6 变得无比灵活,无比强大。利用一些并不太复杂的解析几何分析,我们能得出操作 6 有三种解的根本原因:满足要求的折痕是一个三次方程的解。也就是说,给出两个已知点和两条对应的已知线后,寻找符合要求的折痕的过程,本质上是在解一个三次方程!

尺规作图到底局限在哪里

相比于折纸的几何操作,尺规作图就显得有些不够“强大”了。不妨让我们先来回顾一下尺规作图里的五个基本操作:

过已知两点作直线给定圆心和圆周上一点作圆寻找直线与直线的交点寻找圆与直线的交点寻找圆与圆的交点

这5项操作看上去变化多端,但前3项操作都是唯一解,后两项操作最多也只能产生两个解。从这个角度来看,尺规作图最多只能解决二次问题,加减乘除和不断开方就已经是尺规作图的极限了。能解决三次问题的折纸规则,势必比尺规作图更加强大。

正因为如此,一些尺规作图无法完成的任务,在折纸几何中却能办到。比如折纸法可以实现作正七边形,而这是无法用尺规作图办到的。

我们有更简单的例子来说明,用折纸法能完成尺规作图办不到的事情。“倍立方体”问题是古希腊三大尺规作图难题之一,它要求把立方体的体积扩大到原来的两倍,本质上是求作 2 的立方根。由于尺规作图最多只能开平方,因而它无法完成“倍立方体”的任务。但是,折纸公理 6 相当于解三次方程,解决“倍立方体”难题似乎是游刃有余。

有意思的是,用纸片折出 2 的立方根比想象中的更加简单。取一张正方形纸片,将它横着划分成三等份(方法有很多,大家不妨自己想想)。然后,将右边界中下面那个三等分点折到正方形内上面那条三等分线上,同时将纸片的右下角顶点折到正方形的左边界。那么,纸片的左边界就被分成了 3√2 : 1 两段。

折纸几何公理

利用勾股定理和相似三角形建立各线段长度的关系,我们不难证明它的正确性。强烈建议大家自己动笔算一算,来看看三次方程是如何产生的。

第7个折纸公理

本文写到这里,大家或许以为故事就结束了吧。 10 年以后也就是 2001 年,事情又有了转折: 数学家羽鳥公士郎(Koshiro Hatori)发现,上述的 6 个折纸公理并不是完整的。 他给出了折纸的第 7 个定理。从形式上看,第 7 公理与已有的公理如出一辙,并不出人意料,很难想象这个公理整整十年里竟然一直没被发现。继续阅读之前,大家不妨先自己想想,这个缺失的操作是什么。这段历史背景无疑让它成为了一个非常有趣的思考题。

补充的公理是:

7. 已知点 A 和 a 、 b 两直线,可以沿着一条垂直于 b 的折痕,把 A 折到 a 上。
折纸几何公理

后来,这 7 条公理就合称为了藤田-羽鳥公理(Huzita–Hatori 公理),你可以在维基百科 上读到这个条目。在 2003 年的一篇文章中,世界顶级折纸 艺术家 罗伯特•朗 (Robert J. Lang )对这些公理进行了一番整理和分析,证明了这 7 条公理已经包含折纸几何中的全部操作了。

看,艺术家都是先搞数学的!

罗伯特•朗注意到,上述 7 项基本操作其实是由一些更基本的操作要素组合而成的,例如“把已知点折到已知线上”、“折痕经过已知点”等等。说得更贴切一些,这些更加基本的操作要素其实是对折痕的“限制条件”。在平面直角坐标系中,折痕完全由斜率和截距确定,它等价于一个包含两个变量的方程。不同的折叠要素对折痕的限制力是不同的,例如“把已知点折到已知点上”就同时要求 x1' = x2 并且 y1' = y2 ,可以建立出两个等量关系,一下子就把折痕的两个变量都限制住了。而“折痕经过已知点”则只能列出一个方程,只能确定一个变量(形式上通常表示为与另一个变量的关系),把折痕的活动范围限制在一个维度里。

不难总结出,基本的折叠限制要素共有 5 个:

(1) 把已知点折到已知点上,确定 2 个变量(2) 把已知点折到已知线上,确定 1 个变量(3) 把已知线折到已知线上,确定 2 个变量(4) 把已知线折到自身上,确定 1 个变量(5) 折痕经过已知点,确定 1 个变量

而折痕本身有 2 个待确定的变量,因此符合要求的折纸操作只有这么几种: (1) , (2) + (2) , (3) , (4) + (4) , (5) + (5) , (2)+(4) , (2) + (5) , (4) + (5) 。但是,这里面有一种组合需要排除掉: (4) + (4) 。在绝大多数情况下, (4) + (4) 实际上都是不可能实现的。如果给出的两条直线不平行,我们无法折叠纸张使得它们都与自身重合,因为没有同时垂直于它们的直线。

另外 7 种则正好对应了前面 7 个公理,既无重合,又无遗漏。折纸几何至此便有了一套完整的公理。

不过,折纸的学问远远没有到此结束。如果允许单次操作同时包含多处折叠,折纸公理将会更复杂,更强大。折纸的极限究竟在哪里,这无疑是一个非常激动人心的话题。

在这里,简单展示几个折纸几何学的例子,分别是三等分角、黄金比例和正六边形。图片由果壳美术设计师 V晶V 制作

折纸几何公理

 

折纸几何公理

 

折纸几何公理

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【十里桃花】恋爱

想来想去,还是和年轻人谈恋爱最有趣。 电光火石火花四溅,在恋爱这件事上,总有耗不完的热情和精力。 而中年人就不一样了。你要浪漫他说你幼稚,你要感动他说你做梦,其实他也知道你想要什么,可他就是懒得给了。不是不想给,是真的懒得折腾了。 ... 阅读全文

想来想去,还是和年轻人谈恋爱最有趣。


电光火石火花四溅,在恋爱这件事上,总有耗不完的热情和精力。


而中年人就不一样了。你要浪漫他说你幼稚,你要感动他说你做梦,其实他也知道你想要什么,可他就是懒得给了。不是不想给,是真的懒得折腾了。


记得有天晚上突然想做饭给喜欢的人吃,第二天九点钟就跑去超市买材料,折腾了一上午,那可能是我做的最用心的一顿饭了。我问他在哪,直到下午两点才回复我“在开会”。我告诉他我做了便當给他吃,可他却像没有听见似的告诉我要出差几天,让我照顾好自己。


当时就醒了。记得他曾对我说过“我也是从20岁每天腻到晚上12点,天天缠绵到像连体婴儿,大把大把的情话从嘴里说出来的年代过来,现在不太能回去了。所以我们刚见面的时候我就和你说,年龄小的通常找同龄,两个人都热情似火,但我这个年龄很难在表现成那个样子。”


是的,大概是我太天真了。总觉得,如果自己真心实意的对一个人好,那么他也一定能感受到且回报给我。


并不是的。在成年人的世界里,爱情变得越来越不重要。恋爱对他们来说,再也不是必需品。没有喜欢不喜欢,只有适不适合。


你可以等年纪大了选择与合适的人结婚,但请你一定要在年轻时,同年轻的人,谈一场轰轰烈烈的恋爱。

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ibanana

阿根廷餐厅&酒吧/Hitzig Militello arquitectos(19张)

辛几何&李代数

异常数据的剔除与遗失数据的弥补

异常数据的剔除与遗失数据的弥补

在处理实验数据的时候,我们常常会遇到个别数据偏离预期或大量统计数据结果的情况,如果我们把这些数据和正常数据放在一起进行统计,可能会影响实验结果的正确性,如果把这些数据简单地剔除,又可能忽略了重要的实验信息。这里重要的问题是如何判断异常数据,然后将其剔除。判断和剔除异常数据是数据处理中的一项重要任务,目前的一些方法还不是十分完善,有待进一步研究和探索。 ... 阅读全文

在处理实验数据的时候,我们常常会遇到个别数据偏离预期或大量统计数据结果的情况,如果我们把这些数据和正常数据放在一起进行统计,可能会影响实验结果的正确性,如果把这些数据简单地剔除,又可能忽略了重要的实验信息。这里重要的问题是如何判断异常数据,然后将其剔除。判断和剔除异常数据是数据处理中的一项重要任务,目前的一些方法还不是十分完善,有待进一步研究和探索。

目前人们对异常数据的判别与剔除主要采用物理判别法和统计判别法两种方法。

所谓物理判别法就是根据人们对客观事物已有的认识,判别由于外界干扰、人为误差等原因造成实测数据偏离正常结果,在实验过程中随时判断,随时剔除。

 

统计判别法是给定一个置信概率,并确定一个置信限,凡超过此限的误差,就认为它不属于随机误差范围,将其视为异常数据剔除。

第一节  拉依达准则

如果实验数据的总体x是服从正态分布的,则

异常数据的剔除与遗失数据的弥补

式中,μ与σ分别表示正态总体的数学期望和标准差。此时,在实验数据中出现大于μ+3σ或小于μ—3σ数据的概率是很小的。因此,根据上式对于大于μ+3σ或小于μ—3σ的实验数据作为异常数据,予以剔除。

具体计算方法如下:

对于实验数据x1, x2, x3,……xn先计算其均值

 异常数据的剔除与遗失数据的弥补

i=1,2,3,n

再计算残差

异常数据的剔除与遗失数据的弥补

则标准差

异常数据的剔除与遗失数据的弥补

如果某个测量值异常数据的剔除与遗失数据的弥补的残差满足

异常数据的剔除与遗失数据的弥补

则认为xd异常数据,予以剔除

 

拉依达准则是最常用的异常数据判定与剔除准则

第二节  肖维勒准则

如果某个测量值 异常数据的剔除与遗失数据的弥补的残差满足

 异常数据的剔除与遗失数据的弥补

 

xd被视为异常数据,予以剔除。上式中,wn可查表得到。其中,残差vd和标准差σ的计算方法同上。

第三节  格拉布斯准则

对于服从正态分布的实验数据:

 x1, x2, x3,……xn

将实验数据按值的大小排成顺序统计量:

 x(1),x(2), x(3),……≤x(n)

格拉布斯导出了

  异常数据的剔除与遗失数据的弥补

    的分布。取置信度α,可得T0(n, α),

  异常数据的剔除与遗失数据的弥补

    如果

  异常数据的剔除与遗失数据的弥补

则认为xd为异常数据,应予剔除

T0(n, α)的值可查表得到

T0(n, α)值表

异常数据的剔除与遗失数据的弥补 

异常数据的剔除与遗失数据的弥补 

采用格拉布斯方法判定异常数据的过程如下:

1. 选定危险率α

α是一个较小的百分数,例如1%2.5%5%,它是采用格拉布斯方法判定异常数据出现误判的几率。

2. 计算T

如果x(1)是可疑数据,则令

异常数据的剔除与遗失数据的弥补

如果x(n)是可疑数据,则令

  异常数据的剔除与遗失数据的弥补

其中

 异常数据的剔除与遗失数据的弥补

异常数据的剔除与遗失数据的弥补

3. 根据nα,查表得到T0(n, α)值

4. 如果T≥T0(n, α),则所怀疑的数据是异常数据,应予剔除。如果T< T0(n, α),则所怀疑的数据不是异常数据,不能剔除。

 

采用此法判异常数据产生误判的几率为α

第四节  狄克逊准则

狄克逊准则是通过极差比判定和剔除异常数据。与一般比较简单极差的方法不同,该准则为了提高判断效率,对不同的实验量测定数应用不同的极差比进行计算。该准则认为异常数据应该是最大数据和最小数据,因此该其基本方法是将数据按大小排队,检验最大数据和最小数据是否异常数据。具体做法如下:

 

将实验数据xi按值的大小排成顺序统计量

x(1),x(2), x(3),……≤x(n)

按表1-3-1计算f0值,然后根据表1-3-1f0f(n,a)进行比较,如果

 f0 > f(n,a)

    则判定该数据为异常数据,予以剔除。

1-3-1   狄克逊系数f(n,a)f0的计算公式

 

异常数据的剔除与遗失数据的弥补

第五节  t检验准则(罗马诺夫斯基准则)

t检验准则与狄克逊准则相似,也是检验最大实验数据和最小实验数据。首先将实验数据按大小排列

 x(1),x(2), x(3),……≤x(n)

对最小数据和最大数据分别进行检验,如果

  异常数据的剔除与遗失数据的弥补

   

     异常数据的剔除与遗失数据的弥补

x(1)x(n)是异常数据,应予剔除。

式中异常数据的剔除与遗失数据的弥补 异常数据的剔除与遗失数据的弥补 分别为不包括x(1)x(n)的均值和标准差。即

 

 异常数据的剔除与遗失数据的弥补

 异常数据的剔除与遗失数据的弥补

 

t检验中的K(n,α)可查表得到。

第六节  遗失数据的弥补

在一些情况下,每个实验点都是经过精心设计选择的,此时每个实验数据都是十分重要的。但是,如果不慎遗失了某些实验数据,或某些实验操作失误缺少了某些实验数据,该如何处理呢?当然最好的办法是补做这些实验。但是,本节要介绍的是一种特殊情况——实验数据遗失,而又无法补做实验时的处理方法,也就是如何用数学的方法来弥补遗失的实验数据。

这里方法主要有两种:

一、当实验数据有重复,并且每一批实验至少有一个数据没有遗失时,可以用未遗失的数据的平均值代替遗失的数据。

1-3-2所示为一组实验数据,其中ab为遗失的数据,现在我们来弥补这两个数据:

1-3-2  有重复实验数据的弥补

   异常数据的剔除与遗失数据的弥补

异常数据的剔除与遗失数据的弥补 =(1.5+2.4+3.5+3.3+2.2+2.1)/6=2.5

异常数据的剔除与遗失数据的弥补 =(1.2+1.4+1.2+1.3+1.6+1.5)/6=1.37

这样我们就得到了遗失数据的估计值。

二、如果没有重复 数据得实验,则用下法弥补:

1-3-3所示为一组实验数据,其中ab为遗失的数据。与表1-3-2不同的是,这组数据没有重复数据。现在我们来弥补这两个数据:

1-3-3  没有重复实验数据的弥补

异常数据的剔除与遗失数据的弥补

  异常数据的剔除与遗失数据的弥补

则总离差平方和

LT=3.522.322.02a2+2.02+1.92+2.02+1.52+1.22+1.42+b2+0.32-c

组间离差平方和

LA=[7.82+(3.9+a)2+4.72+(1.7+b)2]/3 - c

LB=[(6.9+a)2+(5.8+b)2+5.42]/4 – c

剩余离差平方和

Le= LT- LA- LB

合理的ab值应使剩余离差平方和Le最小,因此,我们的任务是求得Le最小时的ab值。为此。对Le求偏导数,并令其等于零:

异常数据的剔除与遗失数据的弥补

可求得

a=2.95

b=0.53





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