辛几何&李代数

在数学一堆栈或2-sheaf是的,大致说来,一个捆以价值范畴而不是集。栈是用来形式化的一些主要结构血统论,并构建精细模栈时精细的模空间不存在。血统理论关注的是普遍的情况下,几何对象(如向量丛打开(放)拓扑空间)可以被&粘在一起&时,同构(在一个兼容的方式)时,限制在一个空间的一个开覆盖集的十字路口。在更一般的设置的限制与一般的回调所取代,并纤维类形成正确的框... 阅读全文

数学堆栈2-sheaf是的,大致说来,一个捆以价值范畴而不是集。栈是用来形式化的一些主要结构血统论,并构建精细模栈时精细的模空间不存在。

血统理论关注的是普遍的情况下,几何对象(如向量丛打开(放)拓扑空间)可以被“粘在一起”时,同构(在一个兼容的方式)时,限制在一个空间的一个开覆盖集的十字路口。在更一般的设置的限制与一般的回调所取代,并纤维类形成正确的框架来讨论这种粘合的可能性。一堆的直观的意义就在于它是一个纤维范畴,“所有可能的扣工作”。对扣的规范需要定义一个覆盖方面,可以考虑扣。原来,描述这些覆盖物的通用语言是一个Grothendieck拓扑。因此,堆栈是正式作为纤维类的另一个基地类,在基地有一个Grothendieck拓扑和纤维类满足一些公理,确保相对于Grothendieck拓扑和某些扣的存在唯一性。

栈是代数栈的底层结构(也被称为阿廷栈)和涅–芒福德堆栈,从而推广方案和代数空间这是特别有用的研究模空间。有包裹体:方案⊆代数空间⊆涅–芒福德栈⊆代数栈⊆栈。

(2003)Edidin和(2001)fantechi简要介绍账户栈,Góó(2001),奥尔森(2007)和(2005)vistoli给出更详细的介绍,并洛蒙和莫雷贝利(2000)介绍了更先进的理论。

 

 

 

动机和历史

洛杉矶结论检疫àlaquelle Je suis到达éDè的维护,这是阙chaque FOIS阙恩的Vertu德MES的暴击èRES,一变éTéde模块(或译ôT,联合国学校é马德模块)倒拉分类DES的变化(GLOBALES,欧无穷ésimales)德有结构(变éTé的并发症èTES非按每一个èRES,纤维é的vectoriels,等)的对立malgr东北peut,éde女佣假说èSES的陈词滥调,propreté,等非singularitééventuellement,LA存在EN EST seulement l'existence d'automorphismes de la结构魁EMPê车拉技术德迪桑特de行军。

Grothendieck的信塞尔,11月5日1959。

栈的概念起源于定义有效数据在下降(1959)群。在1959封信塞尔,Grothendieck指出,构建良好的模空间的根本障碍是自同构的存在。栈的主要动机是,如果对一些问题的模空间不存在由于自同构的存在,它可能仍然可以构建一个弹性模量堆栈。

芒福德(1965)研究了Picard群椭圆曲线模栈在栈,定义了。栈是最初由吉罗 (一千九百六十六,一千九百七十一),和“堆”的介绍德利涅&芒福德(1969)对原法国“冠军”意义的“场”。本文还介绍了涅–芒福德栈,他们称之为代数栈,虽然“代数栈”现在通常指的是更一般的阿廷栈介绍了艺术 (一千九百七十四)。

当定义商方案组的行动,为商是一个仍然满足理想的商性能的方案通常是不可能的。例如,如果一个点有非平凡的稳定剂,然后范畴的商将不存在的计划。

以同样的方式,模空间曲线,向量丛,或其他几何对象往往是最好的定义为替代方案栈。模空间的结构常常是首先构造一个更大的空间参数化对象的问题,然后quotienting的一组动作占已在数目上超过自同构的对象。

定义

一类C与一个函子范畴C被称为纤维类C如果任何态射FXY进入C与任何对象YC图像Y,有一个回调FXYYF。这意味着任何态射GZY图像G=FH可以分解为G=FH一个独特的态射HZX图像H。元素X=F*Y被称为回调Y沿F和是唯一典型的同构。

类别C被称为叠前在一个范畴CGrothendieck拓扑如果是纤维在C对于任何对象UC和对象XYC图像U从对象上,函子U集以FvU坎(F*XF*Y)是一个层。这个术语是不一致的:prestacks滑轮的术语是分离而不是presheaves presheaves类似物。

类别C被称为堆栈在范畴C与Grothendieck拓扑如果是叠前结束C任何下降的数据是有效的。一下降的数据大概包括覆盖对象vC一个家庭vI,元素XI在纤维上vI,和态射F之间的限制XIXJvij=vI×UvJ满足相容性条件F王下=FKJF。下降的数据称为有效如果元素XI基本上是一个元素的回调X图像U

一堆被称为堆栈在胚(2,1)-层如果是纤维在胚,这意味着它的纤维(逆图像对象C)是胚。一些作者使用“栈”是指在群堆的更严格的概念。

一个代数栈阿廷栈在群栈X在层如图的对角线X是表示和存在光滑满射从(相关的堆栈)一个X射方案Y栈 X栈是可表示的如果,每射S 栈 X从(相关的堆栈)方案的X,纤维制品 Y ×X S是同构的(相关的堆栈)代数空间。这个纤维制品栈是使用通常的定义通用性,和改变图去要求他们2-commute要求。

涅–芒福德栈是一个代数栈X这样就从一个方案的é故事满射X。大致说来,–涅芒福德栈可以被认为是代数栈的对象没有无穷小的自同构。

实例

  • 如果一个栈的纤维集(意义范畴的态射的身份映射)然后堆基本上是相同的一套。这表明一个堆栈是一种泛化的一捆,以价值观而不是任意类别设置。
  • 准紧对角的任何方案都是一个代数堆栈(或者更准确地说是一个)。
  • 类别向量丛V→是叠加在拓扑空间范畴。从V→态射T由对W的连续映射TV从对以W(线性纤维)这样明显的广场上。这是一个纤维范畴的条件是因为人可以把向量丛的回调在拓扑空间的连续映射,这一下降的数据是有效的条件是因为我们可以构造一个向量丛的一个空间上的向量丛的粘在一起的一个开放的封面元素。
  • 拟凝聚层方案堆栈(相对于fpqc拓扑弱拓扑)
  • 在基础方案的仿射方案堆栈(再次对fpqc拓扑或微弱)
  • 芒福德(1965)研究了模栈M1,1椭圆曲线,发现其Picard群是循环12阶。椭圆曲线上的复数相应的栈是一个类似的商上半平面由的行动模块组
  • 这个代数曲线模空间MG定义为一个泛家族的光滑曲线的属 G不存在一个代数簇,尤其是有曲线承认非平凡自同构。但是有一个模栈MG这是一个很好的为不存在的精细模空间的光滑属替代G曲线。通常有一个模栈MG,NG曲线N标记点。总的来说这是一个代数叠加,是–涅芒福德栈G≥2或G= 1,N> 0G= 0,N≥3(换句话说,当曲线的自同构群是有限的)。这种弹性模量堆栈组成的稳定曲线模栈完成(对于给定的GN以上规格是正确的)Z。例如,M是bpgl分类堆栈(2)的一般射影线性群。(有一个微妙的定义M,作为一个使用代数空间而不是方案施工。)
  • 任何GERBE在群栈;例如琐碎gerbe,分配给每个方案的主G在方案捆绑,一些组G
  • 如果Y是一个方案G是一个光滑组方案的作用Y,然后有一个商代数栈 Y/G一个方案,以T这群胚G-旋量超过TG等变映射Y。一个特殊的情况下,这个时候Y是一个点给出分类堆栈BG对一个光滑组方案G
  • 如果一个是拟凝聚层代数在代数栈X在一个方案,然后有一堆的规格()推广建设的频谱规范()一交换环。一个对象的规格()由下式给出方案对象的TXXT),和一个态射的成捆的代数X *()的坐标环OT)的T
  • 如果一个是拟凝聚层分级代数的代数叠加X在一个方案,然后有一堆项目()推广建设工程投影方案()一次环
  • 这个主束模量堆栈在代数曲线X还原组的行动G,通常以栈
  • 这个形式群法则模栈分类正式的法律
  • Picard栈推广皮卡德品种

拟凝聚层代数栈

在一个代数栈可以构造一类拟凝聚层类似于准相干一方案的范畴。

拟凝聚层大致是一个看起来像一个模块的局部环上的束。第一个问题是决定什么人所说的“局部”:这涉及一个Grothendieck拓扑结构的选择,还有很多可能的选择,其中有一些问题,没有一个完全令人满意的。Grothendieck拓扑应该强大到足以使栈的局部仿射本拓扑方案局部仿射Zariski拓扑,这是一个好的选择方案三发现,代数空间和涅–芒福德栈是局部仿射在层拓扑所以通常采用层拓扑这些,而代数栈是局部仿射在光滑的拓扑结构,因此可以在这种情况下使用光滑拓扑。对于一般的代数栈层拓扑没有足够的开集:例如,如果G是一个光滑的连接组则只有层覆盖分类堆BG是份BG的工会,这是不足以给quasicoherent滑轮的权利理论。

而不是使用光滑拓扑代数栈一个经常使用它的变形称为LIS等拓扑(对于利瑟层:短利瑟是光滑的法语术语),具有相同的开集为光滑拓扑但开覆盖了层而不是光滑映射。这通常是导致拟凝聚层的一个等价类,但更容易使用:例如,它是更容易与代数空间层拓扑比较。LIS等拓扑结构有一个微妙的技术问题:栈之间的态射一般不给相应的论题之间的态射。(问题是,当一个人可以构造一对伴随函子F*F*,作为论题的几何性需要,函子F*一般是不能离开具体。这个问题是由于在发表的论文和书籍臭名昭著的一些错误。【一])这意味着射栈下构建一个quasicoherent捆回调需要一些额外的努力。

也可以使用更精细的拓扑结构。最合理的“足够大”Grothendieck拓扑似乎导致拟凝聚层等价类,但更大的一个拓扑结构是很难处理,所以一般都喜欢用小的拓扑结构,只要他们有足够的开集。例如,大FPPF拓扑结构导致实质上的拟凝聚层的同一类别的LIS等拓扑结构,但有一个微妙的问题:自然嵌入拟凝聚层为OX在这种拓扑结构中的模块是不准确的(不保存内核一般)。

其他类型的栈

微堆拓扑叠加在一个类似于代数栈的定义,除了仿射方案基本范畴是由光滑流形拓扑空间范畴取代。

通常可以定义的概念,一个n -层或N–1栈,这大约是一种捆值在n–1类。这样做有几个不同的方式。1-sheaves如滑轮一样,和2-sheaves是堆叠相同。

集理论问题

有与栈的理论通常一些小集基础理论问题,因为堆栈通常被定义为一定的仿函数类的集合,因此没有设置。有几种办法来处理这个问题:

  • 一个能与Grothendieck宇宙工作:堆栈则是一些固定的Grothendieck宇宙类之间的函子,所以这些类和堆叠在一个较大的Grothendieck宇宙集。这种方法的缺点是,一个有足够的Grothendieck宇宙的存在,它本质上是一个大基数公理。
  • 一个可以定义堆仿函数的足够大的秩集集,并认真的记下各设置一个队伍使用。这里的问题是,它涉及到一些额外的相当累人的记账。
  • 可以使用反射原理从集合论认为人可以找到的任何有限的片段的ZFC公理的模型表明,一个可以自动找到设置足够接近的所有集合的宇宙近似。
  • 一个可以忽略的问题。这是许多作者所采取的方法。

参见

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细数二十世纪最伟大的10大算法

细数二十世纪最伟大的10大算法

作者July总结了一篇关于计算方法的文章《细数二十世纪最伟大的10大算法》,此文只是本人对算法比较感兴趣,所以也做翻译,学习研究下。以下是文章内容: 发明十大算法的其中几位算法大师 一、1946 蒙特卡洛方法[1946: John von Neumann, Stan Ulam, and Nick Metropolis, all at th... 阅读全文

作者July总结了一篇关于计算方法的文章《细数二十世纪最伟大的10大算法》,此文只是本人对算法比较感兴趣,所以也做翻译,学习研究下。以下是文章内容:

发明十大算法的其中几位算法大师

细数二十世纪最伟大的10大算法

一、1946 蒙特卡洛方法

[1946: John von Neumann, Stan Ulam, and Nick Metropolis, all at the Los Alamos Scientific Laboratory, cook up the Metropolis algorithm, also known as the Monte Carlo method.]

1946年,美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis共同发明,被称为蒙特卡洛方法。

它的具体定义是:

在广场上画一个边长一米的正方形,在正方形内部随意用粉笔画一个不规则的形状,现在要计算这个不规则图形的面积,怎么计算列?蒙特卡洛(Monte Carlo)方法告诉我们,均匀的向该正方形内撒N(N 是一个很大的自然数)个黄豆,随后数数有多少个黄豆在这个不规则几何形状内部,比如说有M个,那么,这个奇怪形状的面积便近似于M/N,N越大,算出来的值便越精确。在这里我们要假定豆子都在一个平面上,相互之间没有重叠。

蒙特卡洛方法可用于近似计算圆周率:让计算机每次随机生成两个0到1之间的数,看这两个实数是否在单位圆内。生成一系列随机点,统计单位圆内的点数与总点数,(圆面积和正方形面积之比为PI:1,PI为圆周率),当随机点取得越多(但即使取10的9次方个随机点时,其结果也仅在前4位与圆周率吻合)时,其结果越接近于圆周率。

二、1947 单纯形法

[1947: George Dantzig, at the RAND Corporation, creates the simplex method for linear programming.]

1947年,兰德公司的,Grorge Dantzig,发明了单纯形方法。单纯形法,此后成为了线性规划学科的重要基石。所谓线性规划,简单的说,就是给定一组线性(所有变量都是一次幂)约束条件(例如a1*x1+b1*x2+c1*x3>0),求一个给定的目标函数的极值。

这么说似乎也太太太抽象了,但在现实中能派上用场的例子可不罕见——比如对于一个公司而言,其能够投入生产的人力物力有限(“线性约束条件”),而公司的目标是利润最大化(“目标函数取最大值”),看,线性规划并不抽象吧!

线性规划作为运筹学(operation research)的一部分,成为管理科学领域的一种重要工具。

而Dantzig提出的单纯形法便是求解类似线性规划问题的一个极其有效的方法。

三、1950 Krylov子空间迭代法

[1950: Magnus Hestenes, Eduard Stiefel, and Cornelius Lanczos, all from the Institute for Numerical Analysis at the National Bureau of Standards, initiate the development of Krylov subspace iteration methods.]

1950年:美国国家标准局数值分析研究所的,马格努斯Hestenes,爱德华施蒂费尔和科尼利厄斯的Lanczos,发明了Krylov子空间迭代法。

Krylov子空间迭代法是用来求解形如Ax=b 的方程,A是一个n*n 的矩阵,当n充分大时,直接计算变得非常困难,而Krylov方法则巧妙地将其变为Kxi+1=Kxi+b-Axi的迭代形式来求解。这里的K(来源于作者俄国人Nikolai Krylov姓氏的首字母)是一个构造出来的接近于A的矩阵,而迭代形式的算法的妙处在于,它将复杂问题化简为阶段性的易于计算的子步骤。

四、1951 矩阵计算的分解方法

[1951: Alston Householder of Oak Ridge National Laboratory formalizes the decompositional approach to matrix computations.]

1951年,阿尔斯通橡树岭国家实验室的Alston Householder提出,矩阵计算的分解方法。这个算法证明了任何矩阵都可以分解为三角、对角、正交和其他特殊形式的矩阵,该算法的意义使得开发灵活的矩阵计算软件包成为可能。

五、1957 优化的Fortran编译器

[1957: John Backus leads a team at IBM in developing the Fortran optimizing compiler.]

1957年:约翰巴库斯领导开发的IBM的团队,创造了Fortran优化编译器。Fortran,亦译为福传,是由Formula Translation两个字所组合而成,意思是“公式翻译”。它是世界上第一个被正式采用并流传至今的高级编程语言。这个语言现在,已经发展到了,Fortran 2008,并为人们所熟知。

六、1959-61 计算矩阵特征值的QR算法

[1959–61: J.G.F. Francis of Ferranti Ltd, London, finds a stable method for computingeigenvalues, known as the QR algorithm.]

1959-61:伦敦费伦蒂有限公司的J.G.F. Francis,找到了一种稳定的特征值的计算方法,这就是著名的QR算法。

这也是一个和线性代数有关的算法,学过线性代数的应该记得“矩阵的特征值”,计算特征值是矩阵计算的最核心内容之一,传统的求解方案涉及到高次方程求根,当问题规模大的时候十分困难。QR算法把矩阵分解成一个正交矩阵(希望读此文的你,知道什么是正交矩阵。:D。)与一个上三角矩阵的积,和前面提到的Krylov 方法类似,这又是一个迭代算法,它把复杂的高次方程求根问题化简为阶段性的易于计算的子步骤,使得用计算机求解大规模矩阵特征值成为可能。

这个算法的作者是来自英国伦敦的J.G.F. Francis。

七、1962 快速排序算法

[1962: Tony Hoare of Elliott Brothers, Ltd., London, presents Quicksort.]

1962年:托尼埃利奥特兄弟有限公司,伦敦,霍尔提出了快速排序。

哈哈,恭喜你,终于看到了可能是你第一个比较熟悉的算法~。

快速排序算法作为排序算法中的经典算法,它被应用的影子随处可见。

快速排序算法最早由Tony Hoare爵士设计,它的基本思想是将待排序列分为两半,左边的一半总是“小的”,右边的一半总是“大的”,这一过程不断递归持续下去,直到整个序列有序。说起这位Tony Hoare爵士,快速排序算法其实只是他不经意间的小小发现而已,他对于计算机贡献主要包括形式化方法理论,以及ALGOL60 编程语言的发明等,他也因这些成就获得1980 年图灵奖。

关于快速排序算法的具体认识与应用,请参考我写的一篇文章,精通八大排序算法系列。

一、快速排序算法:

http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/04/6116297.aspx

快速排序的平均时间复杂度仅仅为O(Nlog(N)),相比于普通选择排序和冒泡排序等而言,实在是历史性的创举。

八、1965 快速傅立叶变换

[1965: James Cooley of the IBM T.J. Watson Research Center and John Tukey of PrincetonUniversity and AT&T Bell Laboratories unveil the fast Fourier transform.]

1965年:IBM 华生研究院的James Cooley,和普林斯顿大学的John Tukey,AT&T贝尔实验室共同推出了快速傅立叶变换。

快速傅立叶算法是离散傅立叶算法(这可是数字信号处理的基石)的一种快速算法,其时间复杂度仅为O(Nlog(N));比时间效率更为重要的是,快速傅立叶算法非常容易用硬件实现,因此它在电子技术领域得到极其广泛的应用。

九、1977 整数关系探测算法

[1977: Helaman Ferguson and Rodney Forcade of Brigham Young University advance an integerrelation detection algorithm.]

1977年:Helaman Ferguson和 伯明翰大学的Rodney Forcade,提出了Forcade检测算法的整数关系。

整数关系探测是个古老的问题,其历史甚至可以追溯到欧几里德的时代。具体的说:给定—组实数X1,X2,...,Xn,是否存在不全为零的整数a1,a2,...an,使得:a1 x 1 +a2 x2 + . . . + an xn =0?这一年BrighamYoung大学的Helaman Ferguson 和Rodney Forcade解决了这一问题。该算法应用于“简化量子场论中的Feynman图的计算”。

十、1987 快速多极算法

[1987: Leslie Greengard and Vladimir Rokhlin of Yale University invent the fast multipolealgorithm.]

1987年:莱斯利的Greengard,和耶鲁大学的Rokhlin发明了快速多极算法。

此快速多极算法用来计算“经由引力或静电力相互作用的N 个粒子运动的精确计算——例如银河系中的星体,或者蛋白质中的原子间的相互作用”。ok,了解即可。

原文链接:http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx

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魔方入门玩法

魔方入门玩法

基本上很简单,大写的字母R,U之类就是转某个面,小写的r,u等就是同时转两层,带'就是逆时针转。x、y、z就是整个魔方转,具体怎么转比较绕一点,x、y、z分别为水平,竖直和前后轴,标记x、y、z就是分别围着这三个轴顺时针转90&,加'就是逆时针。具体碰到了大家也别自己想,看看动画就明白了,还是感性认识比较好。 另外()括号的意思就是这几个动作是一组,可... 阅读全文

基本上很简单,大写的字母R,U之类就是转某个面,小写的r,u等就是同时转两层,带'就是逆时针转。

x、y、z就是整个魔方转,具体怎么转比较绕一点,x、y、z分别为水平竖直前后轴,标记x、y、z就是分别围着这三个轴顺时针转90°,加'就是逆时针。

具体碰到了大家也别自己想,看看动画就明白了,还是感性认识比较好。

另外()括号的意思就是这几个动作是一组,可以很连贯很顺手的一起做 ,()括号外面有个2就是括号里面的步骤做两次,大家再有不明白的看动画就行了。

注意E和D的顺逆方向一致,所以E'是从上往下看的顺时针。M和L的顺逆方向一致。

具体的见下面的图解。

魔方入门玩法

魔方入门玩法

魔方入门玩法

魔方入门玩法小鱼1和小鱼2 

  

两个黄色不在顶面和四个黄色不在顶面的5种情况。大家记住要“二后四左”,也就是有两个黄色不在顶面,左后角的黄色小片就要冲后,四个黄色不在顶面,左后角的黄色小片就要冲左,然后都做“小鱼1”,下面5种情况就会变成小鱼1或者小鱼2了。

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欧拉和高斯之间差了几个伯努利

欧拉干完活儿之后没有高斯那个&把脚手架都拆了&的装逼习惯,反而保留所有的motivation和details以便后来者无论智商高低都能follow,导致所有人全特么能看懂他的工作,然后就把欧拉当成了接地气的导师,而不是高高在上的天才&逼格不知不觉间就下来了(但欧拉本人会在意这个?开玩笑!)&欧拉跟高斯的风格对比一下就会发现,很像唐诗中的杜甫和李白。李白有很多... 阅读全文

欧拉干完活儿之后没有高斯那个“把脚手架都拆了”的装逼习惯,反而保留所有的motivation和details以便后来者无论智商高低都能follow,导致所有人全特么能看懂他的工作,然后就把欧拉当成了接地气的导师,而不是高高在上的天才…逼格不知不觉间就下来了(但欧拉本人会在意这个?开玩笑!)…
欧拉跟高斯的风格对比一下就会发现,很像唐诗中的杜甫和李白。李白有很多天外奇想超越时代,把它们一一地写出来,看着就要比杜甫炫酷很多,所以粉丝也多——然而学的人少,因为无迹可寻。
然后人们就觉得杜甫比李白接地气很多——特别是有法可依,这就方便上手自学。然而,一入了门就会发现——看似初等的格律(数学技巧),背后是惊才绝艺,只不过历史主宰了他的取材(研究的问题)罢了。
其实真相是,高斯在天上,欧拉在地平线——我们不能因为二者垂直方向的高低而忽略了两者都是无穷远的事实……

P.S. 如果欧拉也“拆脚手架”,后来的拉马努金看着就像个trivial case。当然欧拉不能真拆,因为当时没有如后来的哈代一般的人物(伯努利在欧拉面前没优势可言,要是等到欧拉死后高斯来验算,那三大数学家里也不会有高斯




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ibanana

箭厂胡同文创空间/META-PROJECT​(13张)

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灰洞

霍金提出&灰洞&理论是为了解决&防火墙悖论&问题而在&反德西特时空&中的模拟设定,并非黑洞真不存在,只是为了化解广义相对论与量子物理在黑洞中的矛盾。 中文名 灰洞 外文名 grey hole 概念提出者 史蒂芬&威廉&霍金 提出时间 ... 阅读全文

霍金提出“灰洞”理论是为了解决“防火墙悖论”问题而在“反德西特时空”中的模拟设定,并非黑洞真不存在,只是为了化解广义相对论与量子物理在黑洞中的矛盾。

中文名
灰洞
外文名
grey hole
概念提出者
史蒂芬·威廉·霍金
提出时间
2014年1月24日

 

发现与理论


科学家史蒂芬·威廉·霍金(Stephen Hawking)身残志坚,因提出宇宙黑洞理论而举世闻名。据英国《每日邮报》2014年1月24日报道,在一篇在线发表的论文中,表示“宇宙中没有黑洞”,存在“灰洞”。这个理论震惊了物理学界,乃至整个世界。[1] 

据国外媒体报道,斯蒂芬·霍金的黑洞理论为宇宙中最致密的天体行为提供了一种可能性的解释,日前这位大科学家在其作品中提到,宇宙中没有“黑洞”,有的只有“灰洞”。该理论来源于一篇名为《黑洞的信息保存与气象预报》的调查论文中,是霍金对黑洞的研究成果之一,他认为黑洞其实是一个拥有极端物理环境的“灰色地带”,质能进入黑洞中后还会“回到”宇宙中,我们此前对黑洞的边界理论认识是有待改善的,黑洞或不会永久性地保存质能信息,在某个时候会“释放”出来,暂时称该行为为“黑洞的蒸发”。也有部分学者认为黑洞通过虫洞连接白洞,黑洞利用强大的引力吸收质能,又从白洞中喷发出来。

理论研究历史

霍金此前提出了一种被称为霍金辐射的黑洞理论,这是从量子效应的角度出发来研究黑洞,霍金辐射认为黑洞是可以失去质量,因此一些非常小的“迷你黑洞”可“蒸发”消失,该理论证明了黑洞并不是宇宙中最自私的天体,黑洞在吸积物质后可通过量子行为向宇宙空间中释放出内部的质能,天文学家也在寻找新的方法来探测这种行为。

争议

黑洞简介

黑洞之所以被认为是“黑”的,在于其引力行为和事件视界上,在事件视界之外的物质行为才会被我们所察觉,而之内并不存在任何定义,即便是光线也无法逃脱黑洞的引力控制,因此在我们看来黑洞是“黑”的,这就像是宇宙中的单行道,仅能进去而出不来。霍金提出的“灰洞”理论认为黑洞还可以进一步向外传递质能信息,这就是说黑洞不是宇宙中的单行道,进去后还能“出来”。

霍金认为事件视界的理论需要进一步完善,事件视界并不是黑洞的边界,黑洞可能存在一个明显的“地平线”,黑洞内部出现的量子涨落使得黑洞如同一个灰色地带,其也不违反任何广义相对论和量子力学,这也意味着黑洞可以从宇宙中吸积“物质信息”,同时也可以向外辐射出信息。传统的事件视界理论认为这是黑洞与外界的“界线”,如同一道防火墙,物质被黑洞吸积后落入黑洞中,并在两极释放出辐射。

理论缺陷

黑洞周围的一个假设区域被称为视界。霍金认为视界理论存在缺陷,光无法从中逃逸。试图逃脱黑洞核心的光射线不会像人被困在跑步机上那样,它可以通过辐射泄露来慢慢收缩。霍金告诉《自然》杂志:“在经典理论中,光无法从黑洞中逃脱,在量子理论中,能量和信息可以做到。”关于对其过程的完整解释,霍金表示需要将重力和其他自然基本力的理论完美融合。

然而,近一个世纪以来,这个问题一直困扰着全世界的物理学家。霍金表示,“问题的正确解释仍然是一个谜。”他提出的灰洞理论认为,物质和能量在被释放到太空之前会持续一段时间。这个理论试图解决这两年来一直困扰着科学家们的黑洞防火墙悖论

争议

加拿大阿尔伯达大学的黑洞专家唐·佩吉(Don Page)认为霍金的解释很合乎情理,可也有理论物理学家并不认同霍金的说法。

文章指出,由于找不到黑洞的边界,因此“黑洞是不存在的”,这是为了解决“防火墙悖论”问题于新理论中设定“黑洞不存在”,其并非真不存在。如果霍金的理论正确,黑洞核心的奇点根本就不存在,甚至不排除“一切事物原则上能逃离黑洞”这种极端局面的可能性。霍金说:“在经典理论中,黑洞不会放过任何东西,量子理论允许能量和信息逃离黑洞。”因为现代量子物理学认定这种物质信息是永远不会完全消失的,这种说法与量子力学的相关理论出现相互矛盾之处。

30多年来,霍金试图以各种推测来解释这一自相矛盾的观点。霍金表示,黑洞中



量子运动是一种特殊情况,由于黑洞中的引力非常强烈,量子力学在此时已经不再适用了,霍金的这种说法并没有让科学界众多持怀疑态度学者信服。

现在看来,霍金终于给了这个当年自相矛盾的观点一个更具有说服力的答案。霍金称,黑洞从来都不会完全关闭自身,它们在一段漫长的时间里逐步向外界辐射出越来越多的热量,随后黑洞将最终开放自己并释放出其中包含的物质信息。

霍金认为,受到黑洞引力的影响,能量和物质先是靠近——不会到达——黑洞中心,最终还会被释放出去。不过,它们的信息在黑洞中不会毁灭,可被完全打乱,逃离之后面目全非,几乎无法还原。

美国波士顿大学的布雷彻(K.BRECHER)在1993年6月提出了存在有灰洞(GRAYHOLE)的可能性:大质量星的坍缩不足以形成黑洞,可有可能形成比典型中子星有较小的半径和较大的密度的星体。布雷彻认为黑洞的质量大于3倍太阳质量,这样,在某些情形便取消了对黑洞的需要。灰洞具有不同于正常中子星的性质,这来源于两者不同的坍缩程度。广义相对论预言,坍缩到足够程度的恒星其外围将形成一个光子层,在该层内的光线绕星体运行,典型中子星光子层的半径比前者为少,同时,坍缩量的强大引力也导致漏出的辐射失去能量。布雷彻的计算表明,受上述两种作用的影响,从灰洞发出的辐射只在百分之四十能离开灰洞向空间辐射。灰洞之名称由此而来。在已发现的6个X射线双星系统中(上述天鹅座X-1和LMCX-3就是其中的两个),在可见光波段看不见的大于太阳质量3倍的一个星体可能就是很暗的灰洞,而不是黑洞。

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Grothendieck

Grothendieck

现在所有的入门同调代数书介绍导出函子时, 最先采取的讲法都是依据Toh&ku. 这与几十年前同调代数只有唯一"圣经"(Cartan-Eilenberg)的情形已经截然不同了. 如果稍微读一下Grothendieck的这篇文章, 就会发现其中很多技术可以意想不到地应用到很多其它数学的角落. Grothendieck在这篇文章里系统地介绍了如何在相当一般的情形下... 阅读全文

现在所有的入门同调代数书介绍导出函子时, 最先采取的讲法都是依据Tohôku. 这与几十年前同调代数只有唯一"圣经"(Cartan-Eilenberg)的情形已经截然不同了. 如果稍微读一下Grothendieck的这篇文章, 就会发现其中很多技术可以意想不到地应用到很多其它数学的角落. Grothendieck在这篇文章里系统地介绍了如何在相当一般的情形下应用谱序列计算复合导出函子. 诸君所熟悉的大多谱序列(Leray, Local-to-Global, Hochschild-Serre,...)皆是Grothendieck谱序列的特殊化. 后来, 同调代数在Grothendieck的博士生 J.-L. Verdier 的工作下继续发展, 产生了导出范畴, 三角范畴等近代数学概念; 这些研究引发了(Poincaré, Serre)对偶定理的大幅度推广. 可惜Verdier先生和他的太太不幸在车祸中丧生, 令人无限惋惜. Grothendieck的对偶理论是在Scheme理论发展之后逐渐成型的. 早期关于这个理论的唯一参考文献是R. Hartshorne的"Residue and Duality". Grothendieck的看法是先build up局部对偶, 然后发展整体理论. 但是导出范畴的概念基本是整体的, 所以从局部到整体的过程颇为复杂, 令人不悦. 此外, 由于导出函子的计算需要"injective resolution", 人们只能局限在bounded derived category. 随着20世纪后半叶的数学发展, 特别是代数拓扑学与抽象同伦论的发展, 人们渐渐意识到unbound derived category具有更佳性质.A. Grothendieck在1958年前后证明了Riemann-Roch定理的巨大推广. 由A. Borel和J.-P. Serre写下并发表. Grothendieck认为这个定理是关于"映射"的, 而非"代数簇"的. 将定理陈述为关于映射的给证明增添了很大的flexibility. 这个定理的证明可以分成两部分, 一部分是关于"regular embedding"的; 另一部分是关于投影空间的. 后一部分证明极为普通; 而关于regular embedding的部分则略微复杂. 问题在于Grothendieck于1958年并未获得Chow theory的良好信息. 实际上, Grothendieck在证明中所用的Chow理论, 乃是K-理论的关于余维数的分次环. 这个定义给计算Blow-up的Chow理论带来了很大的不便. 后来, W. Fulton和R. MacPherson发展了相交理论, 运用"deformation to the normal cone"的方法, 彻底简化了Borel-Serre文中的证明. Grothendieck的Riemann-Roch定理包括了著名的Hirzebruch-Riemann-Roch公式. 如果运用Fulton-MacPherson理论, 则其证明简洁优雅, 极为动人 (可参见W. Fulton的"intersection theory"第16章). Grothendieck的Riemann-Roch公式在后世有了极大的应用. 一个例子就是D. Mumford和J. Harris运用Grothendieck-Riemann-Roch加上Brill-Noether理论成功地计算了曲线模空间的canonical divisor class. 通过计算, 他们得出了当亏格>=23 时, 曲线的模空间是general type variety. 这是模空间双有理几何的开山之作. 作为Borel-Serre文章的附录, Grothendieck给出了一个定义陈省身示性类的方法. 实际上, Grothendieck注意到了向量丛的投影配丛的上同调可以通过Leray-Hirsch定理表达为底空间的上同调加上relative O(1)的欧拉类的方幂; 欧拉类所满足的关系的系数恰好是陈类. 这个定义方式颇有影响, 还常常被代数拓扑入门读物采纳, 如R. Bott和L. Tu的"Differential forms in algebraic topology".

Scheme, 中文翻译为概形, 是Grothendieck用来推广代数簇的几何对象. 代数簇, 众所周知, 是投影空间中齐次多项式的零点. Scheme, 不只记住了点集, 还记住了定义这点集的多项式. Scheme的基本理论被记录在了未完成的EGA中. 与广大群众所熟知的论调相反, scheme并非高度抽象的理论. 相反, 它十分具体, 并且能够生动地反映出代数簇所不能反映出的特质.

通过系统地使用scheme的语言, Grothendieck构造了所谓的"Hilbert scheme". 大量古代代数几何中的模糊的陈述, 通过Hilbert scheme, 可以精确地陈述. 比如, F. Severi的residual(?我忘了这个名词是什么了, 就是surface上curve的normal bundle的complete linear system) system维数猜测, 通过Hilbert scheme和Picard scheme, 在特征0得到了代数证明; 不只如此, 在特征p时, 我们也知道为何猜测是错的(Picard scheme nonreduced). 
通过把曲线表示为pluricanonical embedding的Hilbert point, D. Mumford的几何不变量得以构造曲线模空间; 目前为止, 这已经成为构造模空间的标准方法. 
Grothendieck发展了Kodaira-Spencer的变形理论, 发展了阻碍理论. 这些由他的博士生L. Illusie系统化, 写成了博士论文"cotangent complex, I and II". 这些理论成为当代数学中重要的工具. 比如, 最幼稚地应用变形理论和阻碍理论, 可以对某个几何对象一切可能的变形的空间的维数进行估计. Grothendieck还证明了重要的"Grothendieck存在定理", 说明何时"formal deformation"可以扩张为"代数变形", 即来自于几何的变形. 
Grothendieck的scheme理论还联系了几何与算术. 通过标准的"spread off"技术(取出多项式系数, 生成一个有限生成Z-代数), 可以将一个复代数簇约化到有限域. 有时, 这种技巧可以极大地简化问题, 甚至导致超越技术难以证明的定理. 一个极好的例子是森重文对"Hartshorne猜测"的证明. 通过应用特征p的Frobenius endomorphism, 森得以控制变形空间的维数; 然后应用"bend-and-break"以产生有理曲线. 一个更为生动的例子是Grothendieck对Ax定理的证明. 可见维基百科
http://goo.gl/gOUXD3
前述的Narasimhan-Seshadri的工作, 其实就是将模空间约化到特征p, 然后应用Weil猜测来计算上同调. 这一切都是Grothendieck之前的时代的技术所不能达到的. 
我只是简单地举了几个例子来彰显scheme的重要, 但她业已经成为标准的语言. 故而大多的当代代数几何论文都可视为scheme理论的应用. 
Grothendieck发展了拓扑的概念. 现在称之为Grothendieck topology或者site. 这部分数学被记录在SGA4中. Grothendieck认为, 拓扑学中的一个空间的开覆盖的概念可以推广 --- 比如, 在scheme X的 (small) étale topology中, 一个开集是指一个étale map U --> X. 而一个开覆盖则是一堆étale maps U_i --> X; 它们的像的并是X. 众所周知, Zariski topology非常粗(coarse), 使用étale拓扑则可以增添相当的flexibility. 更为重要的是, 对一个site, 可以定义site上的sheaf, 这构成一个abelian 范畴, 可以讨论这些sheaf的上同调, 等等. 
Grothendieck意识到site的性质很大程度上决定于其上所承载的"束(sheaf, 误译为'层', 颇令人不解)". 也许, sheaf的范畴是更本源的几何对象? 一个范畴, 如果等价于一个site上的sheaves的范畴, 那么这个范畴叫做一个Grothendieck topos. 
写到这里, 我感到我不能举出特别具体的, 非哲学层面上的例子, 使得仅仅对scheme有些概念的读者得以了解topoi理论. 况且, 在我所知的微小的一部分数学里, topoi更多是作为方便的语言出现的. 相反, 在我看来, 在具体的数学中, 尽管topoi控制几何性状, 不同的site却是更容易被理解的. 
我不能很好地理解这部分Grothendieck的数学. 请参看维基百科: Grothendieck topology
Weil猜测代数簇的拓扑性质和其算术性质有着紧密地联系. 比如, 通过计算一个光滑投影代数簇在有限域约化的点得个数, 我们可以计算其Betti数. 而上同调的Poincaré对偶则体现在了point-counting的Zeta函数的函数方程中. 最深刻的是Riemann hypothesis的类似, 它断言Zeta函数的零点和极点的模长如何. Weil大概意识到了这些猜测的一部分是某种"好"上同调理论的推论. 但是构做上同调理论这一大业却是在SGA 4 中实现的. 
挠系数的étale上同调可以准确地反映代数簇的"正确"拓扑性质. 在complex number上, Z/l系数的étale上同调和相应系数的奇异上同调是同构的. 然而, 要实现Weil猜测的有理性和函数方程的证明, 我们需要一个特征0的上同调理论. 这是可以对H^*(X,Z/l^nZ)取逆向极限. 所得的群称为l-adic上同调群, tensor with Q_l 或者 \bar Q_l, 就得到了取值在特征0的"好"上同调理论; Weil猜测中的有理性 和 函数方程迎刃而解 (略早与Artin-Grothendieck, 这两个猜测已经被Dwrok用p-adic的方法解决了). 
黎曼猜测是被Grothendieck的博士生P. Deligne解决的. Deligne对l-adic cohomology的深入研究导致了一系列重要进展. 他引入了theory of weights和Deligne-Fourier transform, 用以解决Weil猜测. 它在80年代末, 受到D-模理论的影响, 达到高潮. 产生了Bernstein-Beilinson-Deligne-Gabber的分解定理. 此外, 作为他研究的衍生物(或者theory of weight在特征0的类似物), Deligne引入了Mixed Hodge structure, 并且证明了一系列关于代数簇拓扑的惊人结果. 可惜, Deligne的文章Weil II 和Hodge II, III 并不好读. 
在Deligne的Weil II中, 他需要一个"l-adic"版本的constructible derived category. 因为l-adic sheaf, 在原本的定义中, 并非某个site上的sheaf, 所以其正确"导出范畴"的构造就非常困难. Deligne的定义极为复杂. 并且, 对于诸如Q之类的域并不能很好地工作. Jannsen在1988年定义了连续上同调以克服Q上的困难, 90年代初, Ekedahl定义了比Deligne更广泛的constructible derived category. 但是l-adic complex的性质仍然不像通常derived category中得object那样transparent. 最近(2013), B. Bhatt 和 P. Scholze定义了proétale site, 并且将l-adic sheaf实现为了这个site上的sheaf. 这个是最近这方面领域的重大进展. 
然而, 对于不同的l, 我们有不同的l-adic 上同调. 这么多上同调理论都是一回事吗? 这就诱发了"yoga of motives". 
如上所说, 你给一个素数, Grothendieck教给你一个"好"上同调. 这些上同调似乎是"一样"的, 但是却明明有不同的系数. Grothendieck认为这些上同调理论应该有公共的发源. 他把这个发源称为"motif", 而这一切的上同调理论都是motive的不同实现方式而已. 
代数簇, 相对于复解析空间或者复流形, 一个重大的特点是它具有大量的子空间. 对一个光滑投影代数簇X, 整数m, 定义Z_m(X)为由X的m-维不可约子簇生成的自由abel群. Z_m(X)中元素称为"algebraic cycle". 在Z_m(X)上存在一系列等价关系, 诸如有理等价, 代数等价, 数值等价. 为了简单起见, 我们只谈数值等价. 两个Z_m(X)中的algebraic cycle a 和 b 称为数值等价, 如果对任何dim X - m维的X的不可约代数子簇V, 有a.[V] = b.[V], 其中"."指代相交数. 相交数的严格定义颇为复杂, 我们不予讨论. 但其直观意义却相当明显, 即计算两个子簇相交的点的个数.
令 Grothendieck 为 商群 Grothendieck.

设 X, Y, Z 为三个光滑投影代数簇. GrothendieckGrothendieck 分别为 X x Y 和 Y x Z 上的cycle classes. 我们可以定义复合 Grothendieck. 一个元素Grothendieck 称为projector, 如果 Grothendieck.

对域k, 今定义范畴Mot_k如下, 其objects为pairs
Grothendieck, 其中X是光滑投影代数簇, p为X上的projector. 定义两个对象之间的arrow为
Grothendieck
Grothendieck猜测, 这个范畴应该是导出一切上同调理论的终极上同调. 
如果域k是特征0, U. Jannsen证明了这个范畴是semisimple abelian的. 
Motive的理论或多或少还停留在猜测阶段. 原因是尽管容易证明grothendieck motive specializes to cohomologies, 但是motive本身的很多性质都还没有得到证明. Grothendieck自己提出了关于motive的标准猜测; 这些猜测远未被解决. 
Motive的各种实现, 另一方面, 则在代数几何中产生了巨大的影响. 如果假设Hodge 猜测, 那么在complex number上, motive的范畴嵌入(fully and faithfully)到了所谓"pure Hodge structure"的范畴里. 一种在几何上实现pure Hodge structure的方法是使用复投影流形上奇异上同调的Hodge分解. 对Hodge结构的研究产生了许多美妙的定理. 这方面的始作俑者是P. Griffiths 和他的学派. Griffiths和J. Carlson, M. Green, J. Harris发明了Hodge structure的无穷小变化理论; Clemens-Griffiths应用P. Griffiths的Intermediate Jacobian解决了百年来悬而未决的cubic 3-fold的irrationality; W. Schmid 则研究了复投影流形在单参数形变下Hodge结构的变化, 在特征0时回答了P. Deligne的weight-monodromy问题. 
总之, Hodge理论不仅仅是Motive理论的实现, 也在具体问题中发挥了巨大的作用. 
关于motive有很多可以说的方面, 我们暂且只说Hodge, 留待虚幻的后传来讨论其他的方面. 
如上, 对于特征p的域, 我们可以构造l-adic上同调用以解决许多问题. 然而, p-adic etale 上同调并非正确地上同调理论. 比如, 对于椭圆曲线, 它的p-torsion部分是依赖于椭圆曲线本身的, 而并非(Z/p)^2. 有些具体的数学问题不只需要l-adic的部分, 也需要p-adic的部分. 于是, 构造一个p-adic的"好"上同调就成为必要的了. 
此外, 代数几何中的一个重要技术就是"lift". 如果有一个代数簇 over 特征 p域, 人们常常希望用特征0的域的几何来说明这个代数簇的性质. 称这个代数簇lifts to char. 0, 如果存在一个complete DVR R of char 0, 一个smooth variety over R, 并且special fibre是给定的variety. lift并非总存在. 

Grothendieck定义了crystalline site用以解决这些问题. 他的博士生P. Berthlot的博士论文中定义了所谓的Crystalline上同调. 这个是一个"半好"的上同调理论, 因为它对singular variety表现极差. 最近B. Bhatt甚至怀疑不存在singular variety使其crystalline cohomology是有限生成的. 这一问题后来被Berthelot发展的"rigid cohomology"理论所部分克服. 目前, 这套理论 (晶体/rigid 上同调) 的理论部分已经基本成型. 这里的故事很丰富, 有很多人参与其中. 我就不一一列举了. 只说一下最近 Abe-Caro 完成了 p-adic 的 theory of weights. 不只是" Weil II" 的理论可以用 p-adic 理论解决, "BBD" 的 perverse sheaf 理论也已经可以在这个框架下完成了.

Crystalline 上同调的一个好处是, 即使variety 本身不能lift到特征0 (witt vector), 它的晶体上同调却是取值在witt vector里的. 你可以假想这个variety does lift, 而且frobenius 也lift并且作用在de Rham 上同调上. 晶体上同调的取值对象是所谓的"F-isocrystal", 这是一个"半线性代数"的对象. 它的分类基于所谓"斜率". 对于"通常"的variety, 这些斜率所决定的信息无非是variety的Hodge number; 但是对于"奇怪"的variety, i.e. 斜率不能由hodge number决定, 它们的特殊几何就特别引人兴趣. 比如, 在椭圆曲线的例子下, 奇怪的椭圆曲线称之为"supersingular"; 在K3的例子里,斜率最偏移的叫做supersingular K3曲面. 它们是unirational(最近由Liedke证明)的(这在特征0是不可想象的). 
对于定义在有限域上的代数簇, 所以斜率无非是 Frobenius 作用下特征根的被 p 除的阶数 (根据 Deligne 的 Weil 猜想的解, 它们都是代数整数). 关于晶体上同调, 或者p-adic上同调, 可以读一下B. Mazur的下面的短文, 

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《无常》— —雪莱

无常 趁天空还明媚,蔚蓝 Whilst skies are blue and bright 趁花朵还娇鲜欲醉 Whilst flowers are gay 趁眼前一切都还美好 Whilst eyes that change ere night 白昼尚未替与黑夜 Make glad the day ... 阅读全文

无常

 

趁天空还明媚,蔚蓝      Whilst skies are blue and bright

趁花朵还娇鲜欲醉          Whilst flowers are gay

趁眼前一切都还美好       Whilst eyes that change ere night

白昼尚未替与黑夜          Make glad the day

趁时流还这般宁静          Whilst yet the calm hours creep

做你的梦吧,且憩息       Dream thou——and from thy sleep

等醒来再哭泣                 Then wake to weep

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