辛几何&李代数

元素

习惯上,研究体系(矿物岩石等)中,分为: 1.常量元素/主要元素(major element):元素含量大于1%; 2.次要元素(minor element):元素含量在1%~0.1%之间; 3.微量元素/痕量元素(trace element):元素含量小于0.1。 微量元素的范围是相对的,取决于研究者... 阅读全文

习惯上,研究体系(矿物岩石等)中,分为:
1.常量元素/主要元素(major element):元素含量大于1%;
2.次要元素(minor element):元素含量在1%~0.1%之间;
3.微量元素/痕量元素(trace element):元素含量小于0.1。
微量元素的范围是相对的,取决于研究者的兴趣和对研究问题的帮助。
微量元素的主要4种分类方法:
1.按元素周期表,依化学性质分类:
    (1)稀碱元素;
    (2)稀有元素;
    (3)稀土元素;
    (4)过渡族元素。
2.戈尔德施密特的元素地球化学分类系统:
    (1)亲石元素;
    (2)亲铁元素;
    (3)亲铜元素;
    (4)亲气元素。
3.地球化学作用过程中常常存在液相(熔体相、流体相)和固相(结晶相)共存关系,有些元素容易进入固相,另一些则容易进入液相。
    (1)相容元素:倾向于集中在固相;
    (2)不相容元素:倾向于集中在液相。
4.在行星和陨石的研究中,分类为:
    (1)难熔元素;
    (2)挥发性元素;
    (3)亲铁(铜)元素;
    (4)仅在球粒陨石中挥发的元素。
其中对不相容元素,又有3种进一步划分的方案:
    (1)根据分配系数:
        ①强不相容元素;
        ②中等不相容元素;
        ③弱不相容元素。
    (2)根据离子半径和离子电荷:
        ①大离子亲石元素;
        ②高场强元素;
    (3)根据熔体:
        ①长期不相容元素;
        ②短期不相容元素。

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辛几何&李代数

阶级与秩序

阶级与秩序

圣谛尚不为,何阶级之有! &&青原行思禅师 Order without liberty and liberty without order are equally destructive. &&Theodore Roosevelt   1 引子 笔者来自穷乡僻壤,因此家乡话里就保有一些化石级的文化... 阅读全文

 

圣谛尚不为,何阶级之有!

——青原行思禅师

Order without liberty and liberty without order are equally destructive.

——Theodore Roosevelt

  1 引子

笔者来自穷乡僻壤,因此家乡话里就保有一些化石级的文化痕迹。旧时待客,主人会根据客人的阶级层次决定接待规格,俗谓看人下菜碟。对于拥有这种自觉的人,文化点的表述是具有较高的阶级觉悟,俺们老家的土话就说这人“长就一对阶级眼”,属于天赋异禀的一类。阶级繁杂且森严,是中国文化的精髓。历史上不仅是对官员,就连嫔妃、奴才、太监和教授都分成三六九等,都有系统科学的标识和具体而微的待遇安排。比如,汉朝是个有文化的朝代,帝妇初分为皇后、夫人、美人、良人、八子、七子、长使、少使八等,后又引入婕妤、妌娥、容华、充依、五官、顺常和无涓(共和、娱灵、保林、良使和夜者)共十五等。清朝帝妇则分为皇后、皇贵妃、贵妃、妃、嫔、贵人、常在和答应,从命名上就能看到文化的缺乏。不同阶级之间,有递补、提拔、贬谪与自甘堕落,但平时一般各以本分,这正应了原子中电子的隧穿、受激向上跃迁、受激向下跃迁和自发向下跃迁,以及大多时间在稳定状态上的无所事事。

用来区分人或物之不同等级的汉语词包括阶-级、秩-序、品(秩)、次(幂)等词,用这些词加以翻译的英文词有level,order,degree,grade,rank,等等。这些词在数学物理中频繁出现,且意义多有不同甚至混淆, 中西文皆然。中文的阶级,其中的阶(堦)见于台阶,庭阶寂寂,是实体,而级,见于拾(shè) 级而上,由计数(enumeration)而来,有抽象的内容。容易理解,台阶是一种实用的、但也被故意符号化了的存在,许多建筑在面前都筑起多层次的台阶,陡然而出威严(图1)。阶-级、秩-序这种得自自然和日常生活的词必然散布于数学物理的表述,弄不清level,order,degree,grade,rank 这些词的用法,看数学物理和看宫斗剧一样有点稀里糊涂。学物理者,将一双阶级眼用在这里,正得其宜也。

   2 Level

谈到汉译为阶级的词,容易想到的一个便是level, 见于energy level (能级),但这可能是误解。英语的level,来自拉丁语的libra,与平、衡有关。水平的线或者面,即为level,如sea level (海平面),on a level line (水平线上)。牛顿流体在重力场下的静止状态,其表面的法向应该是重力的方向,此即waterseeks its level 之意。利用这个事实,可以制作水平仪(level,见图2),这是工程中必不可少的工具。Level 不是级,而是阶、阶之面。在日常用法中,level 不仅表示层面,还暗含平衡之意, 如high-leveltalk,不仅是说会谈的层次高,而且是对等的。Level 还有equally advanced in development & even or uniform in some characters (等间距的、均匀分布的),因此level暗含“equal in importance, rank, degree, etc.”的意思,这也可能是我们愿意拿级来翻译level 的原因。但是,把energy level 翻译成能级还好,习惯性地把atomic level,sub-levels 中的level也翻译成“ 能级”这就麻烦了,它掩盖了轨道(也许就是个数学的函数)自身的排列问题,这里的level强调的也许只是轨道可分辨这个事实。在象levels of consciousness,levels of difficulty 这样的概念中,谈论的都是抽象概念的分层次,没有定量的成分。许多时候,把level 译成层次、层面也许是更合适的,哪怕是energy level。比如加速器的energylevel,如在例句LHC experiments run at the highest energy level 中,就应该译成“能量水平”, 目前欧洲大型强子对撞机就运行在13 TeV 的能量水平上。此外,象the macroscopic level of quantum mechanics一文,显然讨论的是量子力学的宏观层次。

  3 Degree

Degree, 来自拉丁语动词degradare,就是英文的degrade,是一串台阶(steps or stages)的意思,注意它更多强调了降序的排列,这一点从a cousin in the second degree (二度表亲,拥有同一个太爷爷、太奶奶辈分的前辈)一词中很容易看出来。Degree 和grade (gradus) 意义相同,两者可连用。我们在学校里学习的难易程度也是分级的(同学,你物理是第几grade 的?)。如果是沿着不易觉察的台阶或者刻度一点一点向前(向上)推进,这就是一个gradual(逐渐的)过程。达到一定程度就能graduate (毕业、爬到头了), 就可以receive a degree (获得一个学位,拿到一个刻度标记)了。常用的摄氏温标(temperature scale)的量度名称为degree Celsius (摄氏度),也称degree centrigrade (100 刻度制),后一词透露了其是如何被定义的。将标准大气压(维也纳夏季的气压)下冰—水混合物的温度定为0 ℃,把水的沸点定为100 ℃。利用稀薄空气在等压条件下体积随温度线性变换的假设,可以根据稀薄气体体积相较于0 ℃下的增量给0 ℃到100 ℃间的任意温度赋值。这就是摄氏温标的定义。注意,对于稀薄空气,在0 ℃到100 ℃之间温度每增加1 ℃,体积增加约1/267。明白了这一点,也就明白了作为对摄氏温标之拓展的绝对温标,其唯一的定标点,水的三相点,为什么会定为273.16 K了。一般中文教科书中论及摄氏温标,只含含糊糊地来一句“标准大气压下冰水混合物的温度定为0 ℃,水的沸点定为100 ℃,此为摄氏温标”,显然漏掉了太多的信息。编书者当年囿于条件不能知道细节可以理解,但根本没注意到定义的不完整就让人不能理解了。早期的来自物质体积变化的、直观的一排刻度,那真是degree,如今的电子式的温度计,显示的就是“一个”数值,则需要符号℃,°F 的提醒才会想起degree来(图3)。

有可视标度的是真degree,纯数字的就靠外加符号的提醒了

Degree 可用作对一般程度的或者干脆就是直观存在的度量。一个圆, 其上可以划上刻度, 分为360°,那是对每年天数的取整,不具有绝对的意义。在反射光的degree of polarization(偏振度)概念中,degree 反映的是程度,其取值在0到100%之间。Degree 或者grade 还被用来衡量抽象概念的程度,如马克思的《政治经济学批判》一书中有句云:“Der Tauschwert der Waren,so als allgemeine Äquivalenz und zugleich als Grad dieser Äquivalenz in einer spezifischen Ware,oder in einer einzigen Gleichung der Waren mit einer spezifischen Ware ausgedrückt,ist Preis (商品的交换价值,作为一般等价以及在某特定商品中此等价的程度值,或者表达为该商品同某一特定商品的等值关系,是价格)”。在degrees of degeneracy(简并度),degrees of freedom (自由度)等概念中,degree 是个正整数。简并度,即对应同一能量之不同状态的数目,在德语中简并度的说法为Entartungsgrad,可见degree 就是grade。自由度就是描述体系所需的独立变量数。仔细体会这个定义,“ 描述体系所需的独立变量数”,则自由度的多少取决于如何描述。描述一个粒子在三维空间中的位置需要3个变量,则描述由N(N≥3)个粒子组成的刚体的构型就需要6个独立变量,或者说刚体运动的自由度为6。在热力学—统计力学中有所谓的能量均分定理,谓每一个自由度对比热的贡献都是一个R/2,R是气体普适常数。如果不深入了解这个能量均分定理成立的条件,许多人都难以理解水分子H2O何以有18个自由度,而水(蒸汽)的比热也一直是温度的函数。就比热问题而言,自由度是能量表示涉及的自由度,这包括动能涉及的动量自由度和势能涉及的位置自由度。有趣的是,某些晶体的晶格可看作是两套或多套亚格子(sublattice)套构而成的,这也可以看成是一类自由度。炭单层的六角晶格是由两套三角格子构成的,其中电子的波函数可以比照电子自旋写成两分量的形式。

  Degree 作为函数或者方程的指标, 汉译为次( 次幂) 或者阶。比如 , 函 数

  阶级与秩序

  是? th-degree Legendre polynomial,汉译? - 阶勒让德多项式。The degree of a monomial,汉译单项式的次幂,是变量指数的和,比如项x2y3的degree 是5。单变量的代数方程(univariate polynomial equation),以变量的最高次幂命名,简称为一元二次方程(a second degree monic polynomial equation)、三次(third degree)方程等等。当然了,这类方程有专门的、简单的称谓quadratic,cubic,quartic,quintic,sextic polynomial equations,分别为二次、三次、四次、五次和六次代数方程。五次以上的多项式方程不存在代数解(unsolvable by radicals),对这个问题的理解带来了群论的诞生。群论对物理学的影响,怎样高度评价都不为过。物理学最深刻的学问,所谓的the fearful symmetry(了不起的对称性),来自对一元代数方程的摆弄。对一元多项式解的探索,是一场惊心动魄的天才的游戏。与解方程有关的还有topological degree theory。如果方程有某个容易得到的解,degree theory 可用来证明其它非平凡解的存在。Degree theory看起来和fixed-point theory(固定点理论), knot theory( 纽结理论) 有关,具体内容笔者不懂,此处不论。

  4 Order

Order 简直就是一个充斥数学和物理学领域的一个词汇。Order 的西语本意也是“放成一溜儿(straightrow,regular series)”的意思,可作为名字和动词使用。Order frequently refers to orderliness, a desire for organization。存在总是表现出某种意义上的order,这让认识世界成为可能。Objects should be ordered in order to bring in some order and clarity(为了有序和明晰,应该为对象排序),这几乎成了科学家的共识。排序、分类是研究的前期准备。

Order 是个用得太多的词,可以想见它的汉译会花样繁多。Order 在物理语境中一般被译成序,如orderparameter (序参量),topological order(拓扑序),off-diagonal long-rangeorder (非对角长程有序),等等。过去分词形式ordered 用作形容词,如晶体就是ordered structure (有序结构)。Order 的对立面是disorder,formless,最无序的存在是chaos (混沌),指the disorder of formless matter and infinite space (由无形的物质和无限的空间一起构成的无序)。混沌被当作有序之宇宙出现之前的状态,也就是说当前的有序状态是自完全无序中发生的,order out of chaos,哈,多哲学。

Order 出现的语境,更多的还是和排序有关,比如lexicographical ordering (字典编纂采用的排序),electrons are always added in order of increasing energy(电子按照能量递增的顺序被加进来),the order of differentiation or integration( 微分、积分的次序),等。微分、积分以及乘积的顺序有时候没关系(immaterial),有时候关系重大,结果依赖于顺序的就意味着别样的数学结构和物理,比如非交换代数或者物理里的非对易算符。有时候,有些源自order 的词从我们的角度来看,会以为排序的意思不明显,比如coordinates和ordinate 就给译成了坐标和纵坐标(vertical ordinate),但请记住这里的关键是这些数值具有排序的含义在里边。有些地方把笛卡尔坐标系的x-轴称为horizontal ordinate(水平坐标),但其实有时候x-轴的对象不是可排序的量,如职工工资分布图,工资是可排序的,职工则无所谓序。当我们把y-轴理解为ordinate时x-轴有专有名词abscissa,是个标记(锯痕?)而已。此外,如lineardimensions are of the order of L,汉译为线性尺度在L的量级,字面上可看到的意思是若排列的话,该尺度应该可与L 等量齐观的。Order of magnitude,量之大小在序列中的位置,汉译干脆就是数量级。

数字的用法分为ordinal numbers( 序数) 和cardinal number ( 基数),前者明显与order有关,而后者也不免和order 有关。一个集合的元素数目,是集合的cardinality (集合的势),而群的元素数,当然也是cardinality, 又被称为order of group,汉译“群阶”。与此同时,群元素g 的period (周期),即使得gm=1 成立的最小整数m,也称为该群元素的order。群阶和元素的阶反映了群的内在结构。大致说来,一个群,其群阶的因子分解越复杂,这个群的结构就越复杂。不仅群和群元素有order 的概念,群的特征标(character)也有order的说法。

Order 在许多场合下有排序的意思,与其连用的数词应是序数词,如second-order differential equation(二阶微分方程),third-order recurring sequences (二阶递归序列),first-order approximation (一阶近似),等等。物理学的方程被限制在(第)二阶(偏)微分方程的层面,学会了解二阶(偏)微分方程,一个纯数学家也许比许多物理学家更象物理学家。量子力学以及后继的发展被有些人频繁以革命誉之,属不通之论,其governing equations 模样可以变得复杂可怕,但属于二阶微分方程却是不变的。

  5 Rank

中文的秩,序也,次也,可连用为秩序、秩次(官阶的高下),还有秩叙(次序)、秩然(秩序井然)、秩如等词。秩既然用来表示官阶的高下,相应的标识就有秩服(区别官阶的服饰)、秩俸(分级别的俸禄)等委婉语。秩被用来翻译英文数理概念中的rank,日常表述的rank,如military rank (军阶)还是用阶级加以翻译。中国古代的官员有华丽花哨的秩服,今天各国军队的military rank 则用华丽花哨的徽章(insignia)加以标识。

Rank,与range,arrange 同源,意为to arrange in order,特别是排成行。作为及物和非及物动词用,rank 一般是排序的意思,如to rank third on a list ( 位列第三), qualitative ranking of various ions toward their ability to precipitate a mixture of hen egg white proteins (根据使得鸡蛋白沉淀的能力把离子定性地加以排序), Alfred Nobel 在设立诺贝尔奖时将物理学排在第一位(ranked physics as the first one), 等等。Rank 作为名词表示次序,汉语的翻译比较随意, 比如people from allranks of life (各阶层人民),a poet of the first rank ( 一流诗人), 等等。Rank 作为排序的意思强调是排成行,国际象棋棋盘上空格的行与列,英文用的即是rank 与file;相应地,对于矩阵的行与列,英文用的是row与column。

Rank 作为科学概念我们知道有rank of a matrix 矩阵的秩的说法。Rank 是矩阵的一个基本特征。把矩阵的行(列)看成一组矢量,这组矢量中线性无关的矢量的数量即是所谓的rank,也即行(列)矢量所张空间的维度。对于一个矩阵,行和列具有相同的秩,也就是矩阵的秩。考虑到矩阵同线性方程组和线性变换(算符)相联系,因此矩阵A 的秩是线性方程组A·x=c 非简并性的度量,也是线性变换y=A·x 之像空间的维度。

在物理上,我们知道能量是标量(scalar),动量、位置是矢量(vector),而角动量L= r? ×p?是贋矢量等等,这些可以用张量(tensor)的语言统一处理。张量是描述张量之间线性关系的几何对象(有点循环定义的味道哈),张量的rank (也叫order或者degree)就是用来表示张量的数列的维度,也即所需指标的个数。由此可知,能量,动量(位置)和角动量分别是rank-0,rank-1 和rank-2张量。针对某个标量(质量,电荷)的空间分布定义的四极矩张量, Q=∫Ωρ(3rirj - |r|2δij)d3r , 就是无迹的rank-2 张量。电位移D (矢量)对应力张量σ(rank-2张量)的响应,或者应变张量ε(rank-2 张量)对电场E (矢量)的响应,相应的系数就是rank-3张量。

涉及线性行为的代数、变换和算符等概念都会有rank 这个特征,因此有(李)代数的秩,(不可约)张量算符的秩等说法。Module (模式)概念也有秩的说法,比如rank 2 的自由Z-module 不过是Ok = Z ?ωZ 的一种装酷的说法而已,其中ω ∈Ok ,Ok 为一代数整数集合。对椭圆曲线y2=x3+Ax+B 也有rank 这么一个量,比如椭圆曲线y2=x3-2 和y2=x3-4, 其Mordell—Weil rank 就是1。这种秩有什么意思,怎么计算,笔者不懂。

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Maredo餐厅柏林旗舰店(16张)

辛几何&李代数

巴克豪斯常数

巴克豪斯常数

让被定义为幂序列谁的这项有一个系数等于个素数, (1) (2) 函数有一零点(OEISa088751)。现在让被定义的 ... 阅读全文

 

巴克豪斯常数

巴克豪斯常数被定义为序列谁的巴克豪斯常数这项有一个系数等于巴克豪斯常数素数 巴克豪斯常数

巴克豪斯常数巴克豪斯常数巴克豪斯常数

(1)

巴克豪斯常数巴克豪斯常数巴克豪斯常数

(2)

函数有一零点巴克豪斯常数(OEISa088751)。现在让巴克豪斯常数被定义的

巴克豪斯常数巴克豪斯常数巴克豪斯常数

(3)

巴克豪斯常数巴克豪斯常数巴克豪斯常数

(4)

巴克豪斯常数巴克豪斯常数巴克豪斯常数

(5)

(OEISa030018)。

巴克豪斯常数

然后,巴克豪斯推测

巴克豪斯常数巴克豪斯常数巴克豪斯常数

(6)

巴克豪斯常数巴克豪斯常数巴克豪斯常数

(7)

(OEISa072508)。这一限制随后被证明由P. Flajolet存在。请注意,巴克豪斯常数,这 从收敛半径对 倒数幂级数。

这个连分数巴克豪斯的常数是[ 1,2,5,5,4,1,1,18,1,1,1,1,1,2,…](OEISa074269 ),这是一样的连分数也巴克豪斯常数除了 领先后者的0。

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★·°遇見、堇色年華 ﹏

【十里桃花】沉默

【十里桃花】沉默

走进一个混沌的世界 在忧郁和冷风中徘徊 远眺林中掩映着灯火 乌云在忽暗忽明间沉默 你也倚着篝火沉默 露水厚重从叶片滑过 朽木燃尽留下最后一缕烟 你扔下枪火,寻找白鸽 乌鸦千百次撕心的呐喊 在枯木萧森的荒冢里 为你留下一首哀歌 困进了一场迷雾 在彷徨与挣扎里迷失 辨不... 阅读全文

【十里桃花】沉默

走进一个混沌的世界

在忧郁和冷风中徘徊

远眺林中掩映着灯火

乌云在忽暗忽明间沉默

你也倚着篝火沉默

 

露水厚重从叶片滑过

朽木燃尽留下最后一缕烟

你扔下枪火,寻找白鸽

乌鸦千百次撕心的呐喊

在枯木萧森的荒冢里

为你留下一首哀歌

 

困进了一场迷雾

在彷徨与挣扎里迷失

辨不清南北左右

破旧的牢笼上没有枷锁

可你还是不愿出逃

一个人也可以有快乐

一群人也会有落寞

 

你是自己的信徒

所以说服不了自己

于事无补,徒劳无功

最后你选择和乌云一样

漫无边际的漂泊

心乱如麻后沉默

 

你问自己

沉默啊,沉默

你能否告诉我

有多少悲凉不可言说

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辛几何&李代数

Birch and Swinnerton-Dyer 猜想有望破解 华数学家轰动学界

中国数学家田野对解开世界七大数学难题之&&BSD猜想迈出一大步 BSD猜想在2和导子以外均成立 据韩国《中央日报》17日消息:2000年5月24日,美国克雷数学研究所公佈了千喜年七大数学难题,每解破一题的解答者,会获颁奖金100万美元,11年来,数学界只攻破了一题。韩国浦港工大日前举办了国际冬季学校,向其中的BSD猜想发起衝击,来自中国的田野给... 阅读全文

中国数学家田野对解开世界七大数学难题之——BSD猜想迈出一大步

BSD猜想在2和导子以外均成立 

    据韩国《中央日报》17日消息:2000年5月24日,美国克雷数学研究所公佈了千喜年七大数学难题,每解破一题的解答者,会获颁奖金100万美元,11年来,数学界只攻破了一题。韩国浦港工大日前举办了国际冬季学校,向其中的BSD猜想发起衝击,来自中国的田野给出了答案的线索,成為全场焦点。 

BSD猜想在2和导子以外均成立

    在浦港工大的国际冬季学校,来自中国数学研究所41岁的田野博士作為演说嘉宾,是关於BSD(Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture)猜想领域中的5名权威者之一。针对解开BSD猜想时必须要回答的问题(即「是否存在同餘数」(congruent number)),田野说:「存在无数个同餘数」,首次给出了答案的线索。田野连续用5个多小时来进行证明,他说,「我也是在一个月前才得出了这个结论」。 

    听完其报告后,该领域泰斗剑桥大学教授约翰.科茨(John Coates,67岁)评价称「虽然这并不是完美的答案,但是对於解决BSD猜想确实是一个巨大的飞跃。」 

    将接受数学界检验 

    浦港工大立即决定将田野的证明在春季学期集中研讨,科茨教授也承诺将在秋季学期中就自己的分析进行特别演讲。田野计划立刻将这一证明整理成论文,以接受数学界的精密检验。 

    受中国近年来吸引优秀海外科学家回国政策的影响,田野在美国获得博士学位后回到中国,成了中国数学界的新秀。在中国吸引人才回国政策中起核心作用的人物是「菲尔茨奖」的唯一中国获奖者──哈佛大学教授丘成桐(63岁),菲尔茨奖被称為数学界的诺贝尔奖,是数学界的权威奖项。 

    韩教授有危机意识 

    浦港工大教授崔映周(54岁)称「在对田野的发表内容感到印象深刻的同时,也感到中国正在在解决问题方面有主导权,(我)产生了危机意识」。韩国出席人士称「中国等世界数学界的动向让我们受到了强烈的刺激」。 

    為挑战悬赏100万美元的这一问题,冬季学校已经不分昼夜。参加人员每天都会拿到必须要解决的数学问题,这样,他们自然地形成了解决BSD猜想的国际网络。此外,在举行冬季学校期间还有读者写出自己的答案送来等,一般民眾对此也十分关心。浦港工大还将於2013年及2014年举办冬季学校来挑战悬赏100万美元的BSD猜想。

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【十里桃花】止

【十里桃花】止

吃饭喝酒/ 想你比酒上头/ 说不出的爱比酒呛喉/ 所以我为什么喝酒/ 你不在身侧/ 情不停留/ 天南海北的走/ 夜在尽时的收/ 你是皱眉的皱/ 不是止愁的休/... 阅读全文

【十里桃花】止

吃饭喝酒/

想你比酒上头/

说不出的爱比酒呛喉/

所以我为什么喝酒/

你不在身侧/

情不停留/

天南海北的走/

夜在尽时的收/

你是皱眉的皱/

不是止愁的休/

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