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数学家破解百年高维“球体填充问题”

数学家破解百年高维“球体填充问题”

有些人的工作是在噪声图像中分离信号,以寻找来自数十亿公里外的外星文明;有些人在研究弦理论,以探索宇宙中基本要素的内在联系;有些人则在食品店堆放水果,以求最节省空间的方法从而码得最多。奇妙的是,这些看似无关的事情都因为数学纽带而联系到一起&&它们都涉及到球体填充问题。只不过有些球体存在于其他维度。让我们看看数学家有什么最新发现。 早在1611年,... 阅读全文

有些人的工作是在噪声图像中分离信号,以寻找来自数十亿公里外的外星文明;有些人在研究弦理论,以探索宇宙中基本要素的内在联系;有些人则在食品店堆放水果,以求最节省空间的方法从而码得最多。奇妙的是,这些看似无关的事情都因为数学纽带而联系到一起——它们都涉及到球体填充问题。只不过有些球体存在于其他维度。让我们看看数学家有什么最新发现。

 

数学家破解百年高维“球体填充问题”

 

早在1611年,开普勒就已经推测出如何码放相同大小的球体能够达到最密集效果。他认为,形如金字塔那样的堆积方式乃是正解,就像在水果店里见到的桔子那样。球与球之间总会存在空隙,通过进一步研究,数学家们发现在满满一袋子网球里面,大约36%的空间都是空气。假如你能够精心排布这些网球,那么这个比例可以降低到26% (亦称26%法),但是人们在一百年前就已经认识到,26%乃是其极限。而对于开普勒的猜想,直到1998年,才被现在匹兹堡大学的Thomas Hales教授所证明。据说当时数学论证文档长达250页,还动用了猛犸象计算机。

 

其实,玩数学的人还会在高维度下鼓弄球体填充游戏——球的定义依然不变,但“距离”这一概念则在我们熟知的三维系统 (比如x,y,z轴) 之外获得了更多属性。其实,高维球体的定义并不复杂:在高维空间下到给定球心距离相等的一组点所构成的即为高维球体。重要的是,在多维环境下将具有更多的码放方法。所以寻找能够空间利用率最高的球体排布可能性一直是主要挑战。

 

不过,我们很难对高维度下的球体填充进行视觉呈现,但它们却是非常实际的存在:高密度的球体填充与我们常见的纠错代码有着密切关系。早在上世纪60年代,John Leech试图纠正信号在传播过程中所积累的错误或噪声。他发现在24维度下处理数据会非常实用,尤其对于从5亿英里以外传送回木星图像这种工作来说。

 

数学家破解百年高维“球体填充问题”
旅行者1号

 

十年后,旅行者1号和2号确实采用了这一方法。1977年,NASA在发射木星和土星探测器前曾面临着重要难题:在极低的电力供应下,如何将旅行者号拍摄的彩色图片传送回地球?当时所采取的方式是将图像转换为一组24位的二进制序列,成为“代码字”。代码字以无线电波的形式发射进宇宙,波峰和波谷分别代表1和0。但数据传输总会伴随着噪声,有时1会失真为0,有时0又会变成1。所以要还原旅行者号的图像,就需要纠错。

 

一方面,代码字需要足够清晰显著以便识别;另一方面,在24位的限制下,相对含混模糊的代码字才能提供更多的可能性,以及更快的数据传输速度。这样的矛盾与需求也随之转化为几何问题,比特位对应在了空间坐标上,每段代码字都成为一个24维空间下球体的球心。如果球体发生重叠,那么相关的代码字也将无法被识别。为了最大化地传输数据并且进行纠错,问题最终演变为:如何在24维空间下最密集地填充球体?

 

数学家破解百年高维“球体填充问题”
E8 lattice points

 

长久以来,数学家们已经积累了大量证据,几乎要默认E8和Leech晶格 (两者分别为8维度和24维度下极为美妙且对称的球体填充模型) 就是两种维度下的最佳填充方法。但他们一直缺少一项关键证据,即一个能够计算可容许球体最大密度的函数。

 

如今,乌克兰数学家Maryna Viazovska似乎已经找到了答案。今年3月,她先后在论文预印网站上贴出了两个重要的成果。她首先从8维空间球体排布开始说起,证明了E8晶格 (E8 lattice) 在8维空间中具有最大密度。E8很像是高维版本的“26%法”问题,只不过在8维空间下,球体之间拥有更多空隙,可以多塞进去一些。

 

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Maryna Viazovska

 

当然,弦理论家并不会摆弄球体,他们只是将E8结构当作不同维度下的弦理论彼此关联方式中的重要组成部分。弦理论从26个维度开始,并需要折叠简化至我们所熟知的3维。E8则包含了折叠所需要的所有必要属性。

 

数学家和物理学家认为这绝不是一个巧合。他们觉得这样一个维度是最为简单有效的,因为再添加任何一维空间都会使其更难以解释。可能他们还真说对了,Viazovska已经可以证明E8结构不会留下任何额外空间,对于8维球体填充来说这是最高效的方法。

 

数学家破解百年高维“球体填充问题”

 

不过她并没有止步于此。在发布了8维研究后,一些希望解决24维问题的数学家找到她,于是他们开始研究 “Leech晶格”。Leech晶格对信息的处理方式就好比在24维度下排布球体,数学家们也一直认为这是最有效的解决方法。仅仅在E8文章公布一周之后,Viazovska和同事们又搞定了24维的问题

 

尽管两篇文章尚未接受同行评议,在数学圈内似乎并没有什么质疑。由于E8和Leech晶格与数学和物理的诸多领域关系密切, Viazovska等人的发现对未来的研究有着重要意义。

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巴克豪斯常数

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(4)

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(5)

(OEISa030018)。

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然后,巴克豪斯推测

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(6)

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(7)

(OEISa072508)。这一限制随后被证明由P. Flajolet存在。请注意,巴克豪斯常数,这 从收敛半径对 倒数幂级数。

这个连分数巴克豪斯的常数是[ 1,2,5,5,4,1,1,18,1,1,1,1,1,2,…](OEISa074269 ),这是一样的连分数也巴克豪斯常数除了 领先后者的0。

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暴露在寒冷空气中可能延长哺乳动物寿命

将近一个世纪以来,科学家们就已知诸如线虫、苍蝇和鱼之类的冷血动物在寒冷环境中都能够存活更长时间,但是却不知道其中的原因到底是什么.在一项新的研究中,来自美国密歇根大学生命科学学院的研究人员鉴定出一种在寒冷环境中提高线虫寿命的遗传程序,而且这种遗传程序在包括人类在内的温血动物中也存在.相关研究结果于2013年2月14日发表在Cell期刊上,论文标题为"A Ge... 阅读全文

将近一个世纪以来,科学家们就已知诸如线虫、苍蝇和鱼之类的冷血动物在寒冷环境中都能够存活更长时间,但是却不知道其中的原因到底是什么.

在一项新的研究中,来自美国密歇根大学生命科学学院的研究人员鉴定出一种在寒冷环境中提高线虫寿命的遗传程序,而且这种遗传程序在包括人类在内的温血动物中也存在.相关研究结果于2013年2月14日发表在Cell期刊上,论文标题为"A Genetic Program Promotes C. elegans Longevity at Cold Temperatures via a Thermosensitive TRP Channel".

论文通信作者、密歇根大学生命科学学院教授Shawn Xu说,"这就提出一个有趣的可能性:暴露在寒冷空气中或药物激活寒冷敏感性的遗传程序可能提高哺乳动物的寿命."

科学家们长期猜测动物在寒冷环境中存活更长时间是由于一种被动的热力学过程,因此可以推理低温降低化学反应速率,从而延缓衰老速度.

Xu说,"但就如今而言,至少在线虫中,在低温下观察到的寿命延长并不能简单地通过化学反应速率下降来解释.事实上,它是一个受到基因调节的主动过程."

Xu发现寒冷空气激活一种在线虫神经细胞和脂肪细胞中发现到的被称作TRPA1通道蛋白的受体,然后TRPA1让钙离子进入细胞内.由此产生的一连串信号最终到达一个与寿命相关联的基因DAF-16/FOXO.缺乏TRPA1的线虫突变体在较低的温度下拥有更短的寿命.

因为Xu和他的同事们鉴定出的机制也存在于包括人类在内的许多其他有机体中,所以他们提出类似的影响也是可能发生的.这项研究也是首次将钙离子信号与寿命相关联起来,而且在脂肪组织和温度反应之间建立起一种新的连接.

研究人员已知降低诸如小鼠之类的温血动物的核心体温0.9华氏摄氏度能够将它们的寿命延长20%,但是试图降低人体核心温度一直是不现实的.

Xu说,"但是如果人皮肤细胞和脂肪细胞中开始发生的衰老过程的一些方面与线虫中一样的话,那么我们应当走出去拥抱一些冬天里的寒冷空气吗?"

Xu补充道,除了低温外,辛辣调味品芥末(wasabi)也激活TRPA1,而且给线虫喂食芥末会增加它们的寿命.他说,"或许我们应当更频繁地去寿司餐馆."

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Birch and Swinnerton-Dyer 猜想有望破解 华数学家轰动学界

中国数学家田野对解开世界七大数学难题之&&BSD猜想迈出一大步 BSD猜想在2和导子以外均成立 据韩国《中央日报》17日消息:2000年5月24日,美国克雷数学研究所公佈了千喜年七大数学难题,每解破一题的解答者,会获颁奖金100万美元,11年来,数学界只攻破了一题。韩国浦港工大日前举办了国际冬季学校,向其中的BSD猜想发起衝击,来自中国的田野给... 阅读全文

中国数学家田野对解开世界七大数学难题之——BSD猜想迈出一大步

BSD猜想在2和导子以外均成立 

    据韩国《中央日报》17日消息:2000年5月24日,美国克雷数学研究所公佈了千喜年七大数学难题,每解破一题的解答者,会获颁奖金100万美元,11年来,数学界只攻破了一题。韩国浦港工大日前举办了国际冬季学校,向其中的BSD猜想发起衝击,来自中国的田野给出了答案的线索,成為全场焦点。 

BSD猜想在2和导子以外均成立

    在浦港工大的国际冬季学校,来自中国数学研究所41岁的田野博士作為演说嘉宾,是关於BSD(Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture)猜想领域中的5名权威者之一。针对解开BSD猜想时必须要回答的问题(即「是否存在同餘数」(congruent number)),田野说:「存在无数个同餘数」,首次给出了答案的线索。田野连续用5个多小时来进行证明,他说,「我也是在一个月前才得出了这个结论」。 

    听完其报告后,该领域泰斗剑桥大学教授约翰.科茨(John Coates,67岁)评价称「虽然这并不是完美的答案,但是对於解决BSD猜想确实是一个巨大的飞跃。」 

    将接受数学界检验 

    浦港工大立即决定将田野的证明在春季学期集中研讨,科茨教授也承诺将在秋季学期中就自己的分析进行特别演讲。田野计划立刻将这一证明整理成论文,以接受数学界的精密检验。 

    受中国近年来吸引优秀海外科学家回国政策的影响,田野在美国获得博士学位后回到中国,成了中国数学界的新秀。在中国吸引人才回国政策中起核心作用的人物是「菲尔茨奖」的唯一中国获奖者──哈佛大学教授丘成桐(63岁),菲尔茨奖被称為数学界的诺贝尔奖,是数学界的权威奖项。 

    韩教授有危机意识 

    浦港工大教授崔映周(54岁)称「在对田野的发表内容感到印象深刻的同时,也感到中国正在在解决问题方面有主导权,(我)产生了危机意识」。韩国出席人士称「中国等世界数学界的动向让我们受到了强烈的刺激」。 

    為挑战悬赏100万美元的这一问题,冬季学校已经不分昼夜。参加人员每天都会拿到必须要解决的数学问题,这样,他们自然地形成了解决BSD猜想的国际网络。此外,在举行冬季学校期间还有读者写出自己的答案送来等,一般民眾对此也十分关心。浦港工大还将於2013年及2014年举办冬季学校来挑战悬赏100万美元的BSD猜想。

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康威常数

康威常数

一、无聊的序列,奇特的理论在介绍主题以前,我们先来做一件看似无聊的事情。我写下一个数:1然后问你看见了什么。你回答道:&1个1。&我把你的回答中的数字依次写下:11然后问你看见了什么。你回答道:&2个1。&我把你的回答中的数字依次写下:21然后问你看见了什么。你回答道:&1个2,1个1。&我把你的回答中的数字依次写下:1211然后问你看见了什么。你回答道:&... 阅读全文

一、无聊的序列,奇特的理论

在介绍主题以前,我们先来做一件看似无聊的事情。我写下一个数:

1

然后问你看见了什么。你回答道:“11。”我把你的回答中的数字依次写下:

11

然后问你看见了什么。你回答道:“21。”我把你的回答中的数字依次写下:

21

然后问你看见了什么。你回答道:“1211。”我把你的回答中的数字依次写下:

1211

然后问你看见了什么。你回答道:“111221。”我把你的回答中的数字依次写下:

111221

然后问你看见了什么。你回答道:“312211。”我把你的回答中的数字依次写下:

312211

我们可以一直这样下去,得到一个序列,序列里的每一项都是一个数字串。这个数字串序列被称为“边看边说序列”(Look-and-say sequence),也有人翻译成“外观数列”。注意到其实这并不是一个数列,因为其中的每一项并不是一个数,比如第三项21并不代表数字二十一,而是2和1这两个数字构成的字符串(本文称之为数字串)。

咋一看这个序列很枯燥,生成的过程一点技术含量都没有,大概只适合做脑筋急转弯的素材:“请问:1, 11, 21, 1211, 111221, 312211接下去一项是什么?”

1977年在贝尔格莱德举行国际奥林匹克数学竞赛的闲暇时刻,荷兰队向英国队提出的挑战,似乎是这道脑筋急转弯题的最初记载,不过也许它还有更早的历史。赛后,英国参赛队员将它带回英国,辗转相传。到了1983年11月,轮到在英国剑桥大学教书的著名数学家J·H·康威(John Horton Conway)做这道题了。

康威是一位在代数、几何、数论等领域都有相当大贡献的数学家。群论中的魔群月光猜想(一种拥有极其众多元素的被称作“怪兽”的群和模形式之间有意想不到的联系,猜想名字中的“月光”是“疯狂”的意思)由他和Simon P. Norton提出和命名;1998年英国数学家Richard Borcherds因证明此猜想而获菲尔兹奖。康威最为数学爱好者们乐道的则是他在组合游戏理论中的巨大成就,以一系列奇思妙想而闻名。他建立了超实数理论(这是一个把游戏和数结合在一起的理论,其中每个数都是一个游戏局面),并创作了以此理论为基础来分析大量经典(以及自创的)游戏的数学科普书籍《稳操胜劵》。他提出的“生命游戏”更是脍炙人口,让元胞自动机理论广为人知。科普大师马丁·加德纳将《数学嘉年华》一书题辞献给康威,感谢他在趣味数学领域作出了“深刻、优雅和幽默相结合的独特贡献”。

不过要比脑筋急转弯,象康威这样出色的数学家似乎也不比一个小学生更厉害。当他的学生抱着点恶作剧的心理拿这题给他做时,康威平时智计百出的脑子不好使了,阴沟里翻船,最终无奈地让学生告知他答案。

但和一般人听到答案后呵呵一笑了之不同,直到那年的圣诞节期间,康威还在不断研究——按照他的说法,是“把玩”——这个序列,并从中发展出一个怪异而美妙的理论来。在这个理论中有一个小小的宇宙,这个宇宙由92或94种元素组成。这些元素在衰变中互相演化,让这个小小宇宙以每天增长大约30%的速度膨胀。

 

二、分割、元素、化学定理和算术定理

在具体介绍这个理论的内容以前,先让我们也来把玩一番前面这个序列,以便对它的演化有一些直观的了解。

把这个序列多写出几项来:

康威常数

注意到从第8项起在数字串中多写了一个“.”,它将数字串分成了前后两个子串,而这两部分接下去在互不影响地独立演化:

康威常数

 

前子串总是以2结束;这是一个很容易证明的一般规律的特例:如果一个序列以某数字x结尾,那么它的所有后代也总以x结尾。而后子串的开头则以
1321…… →1113……→3113……→1321……
的形式循环,所以永远不可能以2开始。于是前后这两部分不会再交缠在一起。

另一个简单的例子是,如果一个数字串恰好以两个2结尾:……s22(其中s是不为2的数字),那么它可以分割成……s.22的形式。因为如上所说,前子串的后代总以s结尾,而后子串的后代永远是它本身:22。

从上面的例子里我们看到了这个理论中最重要的现象——数字串的分割:一个数字串可以分割成若干子串,使得它的演化结果是由这些子串的独立演化结果拼接而成。这样,对一个数字串的演化的研究可以转化成对它的子串的演化的研究。可以把这个现象和正整数的乘法分解作对比。我们知道,每一个大于1的正整数都可以唯一地分解成素数的乘积。素数犹如构建正整数的基本砖块,这个结论因极其重要而被称为算术基本定理,它确定了素数在数论研究中的核心地位。在康威的边看边说序列理论中,和素数的地位相当的是无法再分割得更小的数字串,康威称之为元素原子。比如说从1开始演化的这个序列的前七项,都是无法分割的元素,而它的第8项则可分割成两个元素:11132和13211。这些不可分割的元素就是构建数字串的基本砖块。由元素拼接起来的数字串则被称为化合物

毫无疑问,这种命名方式是一种暗喻,将边看边说序列理论中的对象和化学理论联系起来(当然这绝不是在暗示边看边说序列理论真的是研究现实世界中化学元素和化合物的理论)。在后面大家会看到这种暗喻是相当巧妙和贴切的。因此我们也将相当自由地使用一些很容易直观理解的术语,比如前面谈论数字串的“演化”以及它的“后代”。我们会谈论元素的“衰变”,也就是它的演化过程。数字串每演化一项,我们会说“一天后”数字串如何如何。康威把序列的第一项称为“第0天”,然后依次为“第1天”、“第2天”等等,在本文后续章节中我们甚至会看到“一天引理”和“两天引理”。

边看边说序列理论中的元素有许多种,确切地说,有无数种。比如将“13”重复n次的数字串1313……13就是无法分割的:假设它在某个1和3之间可以分割:

……1.3……

下一步是

……11.13……

出现了跨越分割号的连续三个1,这就是说前面假设中的分割是错误的。假设它在某个3和1之间可以分割:

……13.13……

下面两步是

……1113.1113……

……3113.3113……

出现了跨越分割号的连续两个3,这同样是错误的分割。

 

康威的重要发现是:存在着一族共有92种特殊的元素,它们之间会互相演化。这92种元素被他称为“普通元素”,并分别以化学元素表中1号(氢)到92号(铀)元素命名。对于普通元素,有如下的结论:

  • 存在92种普通元素(具体的元素列表和它们的性质将在稍后给出)。可以分割成普通元素的化合物称为“普通化合物”(为了简化叙述起见,我们也把普通元素看作是仅由一个元素组成的普通化合物)。
  • 化学定理)任何一种普通元素的后代都是普通化合物。普通化合物的后代也是普通化合物。除了第1号元素氢(即数字串22)外,从任意一种普通化合物开始,演化足够多天后,得到的化合物将由所有92种元素组成。
  • 算术定理)从任何一个普通化合物开始,每一步演化得到的数字串的长度和上一步相比,越来越趋近于一个固定常数λ。在此过程中,每种元素在这些数字串中的比例越来越趋近一个(仅和此元素本身相关,而与初始普通化合物的选择无关的)大于0的常数值,称为这种元素的丰度。上述固定常数λ是以下71次多项式的唯一的正实数根(也是所有根中模最大的):

康威常数

它约等于1.303577269034,称作康威常数

 

在整个边看边说序列理论中,最令人吃惊的大概就是上面这个多项式了,乍一看真可谓从天而降,莫名其妙。欲知其妙,则需懂得一些线性代数的知识。我们将在本文后续章节中比较详细地讨论这件事情,并通过在康威发表论文之后线性代数的新成果,得到比以上算术定理中叙述的更好的结果。

化学定理指出,普通化合物是一个封闭的圈子,普通化合物只能演化成普通化合物。但是还有一些本不是普通化合物的数字串,它们可以在若干天内演化成普通化合物,掉进这个圈子里去。对这样的数字串来说,上面的结论绝大部分也同样成立,因为考虑的是“演化足够多天后”的事情。比如本文最开始讲到的从1开始的序列,数字串1本身不是普通化合物,但在第八天演化成可以分割为72号元素铪(11132)和50号元素锡(13211)的普通化合物。所以演化足够多天后,得到的化合物也将由所有92种元素组成,数字串的长度和前一天长度之比也将越来越接近康威常数,每种元素在化合物中的比例也越来越接近于此元素的丰度。

下面是完整的92种普通元素列表。本文中元素名称前通常以前下标形式注明相应的原子序数以便查询,毕竟不是每个人都能熟练地说出某元素的原子序数;笔者就无法做到这点,所以阅读康威的论文时对此有痛苦感。如果不是要自己动手验证的话,读者大可不必仔细阅读这个表格。这个表里值得注意的有几点:

  • 1号元素氢所代表的数字串22是唯一的衰变到自己的元素。
  • 92号元素铀所代表的数字串3是最短的元素。
  • 除氢外,第n号元素“一天后衰变物”一栏中都有一个加粗的第n-1号元素成份。康威基于这个性质给这92种元素排序,此性质将在后面的论证中用到。这个“第n号元素一天后会衰变出第n-1号元素”的次序并不是唯一的,康威只是挑选了其中一种。
  • 两种元素并不是可以随意拼合在一起的。比如92号元素铀(3)和20号元素钙(12)顺次拼合在一起的结果“312”应看作是另一种元素——30号元素锌,而非可分割的。而铀(3)和91号元素镤(13)顺次拼合在一起的结果“313”既不是普通化合物,又不可分割,是一种不稳定的元素。判定一个数字串是否可被分割和如何分割的准则,称为“分割定理”,是比较技术性的内容,留在本文下篇介绍。
  • 一个31号元素镓会在下一天衰变出两个20号元素钙。这是唯一的某个元素会在下一天衰变出超过一个的同一种元素的情况。

康威常数

下面是元素的丰度表,和康威的原始论文中一样,数据被乘以了一百万,以使长度固定;也就是说,一个普通化合物演化足够长时间后得到的数字串被分割成普通元素后,每一百万个元素里大约会有91790个1号元素氢,3237个2号元素氦,4220个3号元素锂等等。注重细节和有耐心的读者可以将下表这些数据和康威论文中的数据相对比,就会发现小数最后一位往往会有一点不同,比如2号元素氦的丰度是3237.2968587而原始论文中是3237.2968588。下表的数据我使用了两种不同的计算软件库得到,结果相同,所以应该没有错误。原始论文数据的差异应当是上世纪80年代时康威使用的计算软件的浮点精度不够的缘故,当然这完全没有什么大碍。有兴趣和能力的朋友也可自行计算验证,计算方法将在本文后续章节中介绍。

康威常数

我们讨论了普通元素(以及普通化合物)的性质。但我们知道,存在着无数不同于普通元素的元素,这些元素的演化结果会是什么?象1这样的元素,最终会演化成普通化合物,从而掉进普通化合物的圈子,那么有不同于普通化合物的封闭圈子吗?这是上节中的化学定理和算术定理没有回答的问题。

作为数学家,把理论推广是一种本能。康威也考虑以其他的有限数字串作为起始的演化序列的情况。比如从55555开始,然后得到

55

25

1215

11121115

等等;字符串中也可以含有其他不是十进制数字的符号(但为了方便我们仍称之为数字串),比如从%5##开始,得到

1%152#

111%1115121#

311%31151112111#

13211%1321153112311#

等等。对这样的边看边说序列,它们又会有什么样的演化性质?

 

这里有一个技术细节要处理。如果我们从1000个1组成的数字串出发,序列的第二项是1000 1(我特意在1000和1中间加了一个空格),问题是第三项应该是什么?第一种选择是,把前面这个1000看作是1130,那么第三项就是113011。而第二种选择是,把前面这个1000看作是一整个不可分割的符号,那么此时我们看第二项时会说那是1100011,那么第三项就应该是1(1000)11,这里1000被括号括起,表示这是整一个不可分割的符号。我们完全可以为1000引入一个特别的符号,比如“M”,那么就没有歧义了:看见第一项1000个1组成的数字串,我们会说那是M1,于是第二项是M1,第三项则是1M11,等等。这种另引入符号的方法其实早就有了,十六进制里我们为了表示十进制的10,11,12,13,14,15,往往用“A”,“B”,“C”,“D”,“E”,“F”来表示它们。上面的第二种选择无非就是使用了“无穷进制”,为每一个自然数单独引入一个不同的符号。

 

其实采用第一种选择还是第二种选择,对于下面要叙述的结论影响并不大。只是采取第二种选择能够让我们在演化时间上得到一个更为精细的结论,这也是康威原始论文中的选择,所以我们也同样采取这个选择。而对于不愿意在细节方面纠缠的读者来说,完全可以把初始的数字串限定为只由0-9这十个符号组成,而且其中没有超过九个连续的相同数字。你不会因此少欣赏到多少这个理论的有趣之处。

对于这样的推广情况,前面针对普通化合物的结论显然需要修改,因为那些不是“1”、“2”、“3”的符号在演化过程中永远也不会消失,所以演化过程再长,演化结果也不会仅由普通元素组成。但是令人吃惊的是,前面第二节中的结论并不需要修改很多:

  • 除了92种普通元素外,还有两类被称为“超铀元素”的镎和钚的同位素(具体形式在后面给出);
  • 从任意数字串(可以包括除“1”、“2”、“3”以外的符号)出发,在有限天内它就会演化成为普通元素和超铀元素拼接而成的化合物。如果对个数的解释采用前面的第二种选择的话,则我们可以找到这个“有限天”的上限:在24天后(也即从第25项起),任意数字串都会演化成为普通元素和超铀元素拼接而成的化合物;
  • 除了1号元素氢(即数字串22)外,从任意数字串出发,演化足够多天后,得到的化合物将由所有92种普通元素和一些超铀元素组成。每种普通元素在这些化合物中的比例越来越趋近于它的丰度,而超铀元素的比例则趋近于0;
  • 从任意数字串出发,每一步演化得到的数字串的长度和上一步相比,越来越趋近于前面所说的康威常数。

上面关于任意数字串的结论被称为“宇宙学定理”,是本理论中的基本定理。宇宙学定理要比化学定理强得多,它说明了普通元素加上超铀元素组成的化合物是终极圈子,无论从什么数字串出发,最多过24天,都会掉进这个圈子中。尽管元素有无穷多种,但是能够长期存在的,却只有普通元素和超铀元素,它们被称为稳定元素。所有其他的元素都是不稳定的。

两类超铀元素如下,其中n是任何一个除“1”、“2”、“3”以外的符号:

康威常数

 

每选取一个不同的n,就会有相应的不同的93号元素镎和94号元素钚,它们被称作镎和钚的同位素。注意到两类超铀元素是彼此的衰变产物。

“24天”这个下限不可能再缩短了,因为我们可以找到寿命恰为24天的不稳定元素2233322211n,其中n是不为“1”的数字(可以是“2”或“3”或其他符号)。下面是它的衰变过程(为了简短起见,一旦产生了稳定元素,我们就在后续项中忽略掉这一部分的后代):

康威常数

康威将这种寿命最长的达到24天的形如2233322211n的不稳定元素命名为鎷(Methuselum)。这用的是《旧约》中玛土撒拉的典故,因为传说他活了969年,是活得最长的人。

在后续章节中我们将讨论一些技术性比较强的问题,如化学定理、算术定理和宇宙学定理的证明,以及关于元素丰度的计算,和那个神秘的多项式的来历,并利用这些定理做一些具体的计算。

为后面的定理证明作技术性的准备,大概是本文最没有意思的一节。因为它的内容从难度来说,可能高年级的小学生也能理解,但却相当琐碎,都是些考虑各种可能性的叙述和论证。一般的读者大可只阅读几个命题的内容而跳过论证。对于想自己编程验证的读者,则请特别注意分割引理的内容和我在后面的算法建议。

在康威的论文中,所有单独列出来的命题都叫“定理”。下面将介绍的“一天引理”、“分割引理”等等在他的论文中叫“一天定理”和“分割定理”等等。但是这些命题基本上用来证明过其他结论后就可以丢在一边,或展示的是技术性细节,所以我改称“引理”以示它们和在上篇里介绍的三个主要定理在重要性上有区别。

我们最终要考虑以任意数字串开始的边看边说序列,故本节中提到的数字串都不排除含有除了“1”“2”和“3”以外的符号——我们也称其为“数字”,并把它们称为“大于3的数字”(如果其中选用了符号“0”,那么它在上述意义下也是个大于3的数字)。对个数的解释我们则采用上篇中提到的第二种选择,也就是说,如果有连续1000个1的话,我们就替1000引入一个新的符号如“M”,称这是M个1。

下面的“一天引理”说,其实你只需在第一天里为引入新符号头痛一下。

 

一天引理)任何一个年纪至少为1天的数字串里,不可能含有这样的子串:

1) 从奇数位置开始的baca,其中a,b,c是相同或不同的数字;

2) aaaa,或aaabbb,其中a,b是相同或不同的数字。

这个引理的证明可以用“显而易见”来形容。所谓的“年纪至少为1天的数字串”无非是说,它不是任意给出的,而是对着某个数字串边看边说出来的。要是在奇数位置开始出现了baca这样的子串,相当于在说看到的那个数字串里有“baca”,这是不允许的,令d=b+c,你得说是“da”。不允许出现aaaa也一样,因为即便它在偶数位置开始,那也是在说“……个aaaa个……”。aaabbb形式的子串也一样证明。

因为连续4个相同的字符不可能出现在一个年纪至少为1天的数字串里,那么连续4个以上相同的字符也不可能。所以所有大于3的数字,要么是最初(第0天)就有的,要么是第1天产生的(比如最初字符串里有连续1000个1,会在第1天被描述成M个1,从而引入数字M),从第2天开始就不会再有新的了。而对年纪至少为2天的数字串,我们还可以排除掉更多的子串的可能性:

 

两天引理)在第2天和以后都不可能产生新的除了“1”“2”和“3”以外的符号。任何一个年纪至少为2天的数字串里,不可能含有这样的子串:

1) 3a3(特别地,不可能有333这样的子串);

2) ab,其中a和b都是大于3的数字。

3a3这样的子串如果是在奇数位置开始出现的,那是边看前一天的数字串边说“3a3个……”,也就是aaabbb这样的子串,可根据一天引理这是不可能的;如果是在偶数位置开始出现的,那则是在讲“……个3a3”,这是不允许的。

如果有ab这样的子串,其中a和b都是大于3的数字,那么意味着前一天有“ab”或是“b个……”形式的子串,一天引理也排除了这种可能性。

顺便说一句,从第3天起,数字串中大于3的数字的数量当然不会增加,但也不会再减少了,它们最终会产生出超铀元素的同位素。比如第0天的数字串如果是4444,第1天变成44,第2天变成24,“4”的数目一直在减少,但从第3天起,序列中的每个数字串都有且仅有一个4。

一个数字串中如果没有一天引理中的2)和两天引理中1)和2)提到的那些子串,它就是个好数字串。一天引理和两天引理说的就是,如果一个数字串是一个年纪至少2天的数字串的子串,它一定是个好数字串。好数字串总是演化出好数字串来。我们接下来要考虑的数字串都是好数字串。

下面介绍三种数字串模式,都是规定它是怎么开始的。这些模式在后面的引理中很重要:

  • A型:1a……的形式,其中a是不同于1的数字,而省略号部分或者是空的(也就是整个数字串就是1a),或者是一个不以a开头的数字串。
  • B型:111……的形式,其中省略号部分或者是空的(也就是整个数字串就是111),或者是一个不以1开头的数字串。
  • C型:3……的形式,其中省略号部分或者是空的(也就是整个数字串就是3),或者是一个不以3开头的数字串,而且前3个数字不都相同(如果这部分的长度至少是3的话)。

容易证明,任何A型好数字串过一天会变B型好数字串,任何B型好数字串过一天会变C型好数字串,任何C型好数字串过一天会变A型好数字串。这3型数字串都不以2开头,以2开头则有三种引申出来的数字串模式:

  • A'型:22……的形式,其中省略号部分是个A型数字串。
  • B'型:22……的形式,其中省略号部分是个B型数字串。
  • C'型:22……的形式,其中省略号部分是个C型数字串。

这样我们就得到了3种循环模式,而下面的引理则更进一步:

 

起首引理):一个数字串的演化最终总会进入下面三种循环之一:

1) ……→A型→B型→C型→……

2) ……→A'型→B'型→C'型→……

3) ……→22→22→……

如果它还没有进入循环,那么“1”“2”和“3”将均会出现在它后面演化过程中各项的首个数字中。

命题的最后一句话其实是说,如果一个数字串最终会进入ABC循环可是却还没进(也就是它还不是ABC型中的一种),那么它迟早会演化出一项以2开头的数字串来,然后再进入循环(那时不断地以1或3开头);而如果一个数字串最终会进入A'B'C'循环可是却还没进,那么它迟早会演化出一项以1开头的数字串,和一项以3开头的字符串,然后再进入循环(那时总以2开头)。循环3)则是数字串22独有的。

起首定理的具体证明就不多说了,完全是力气活,把所有可能性都考虑一遍;多亏一天和两天引理,可以少考虑不少可能性。这证明小学生也能看得懂,可就是太啰哩吧嗦,真想看就只好请读者直接读原论文了。为了叙述方便起见我们再引入两个数字串开始的类型:

  • X型:以大于3的数字开始。
  • X'型:22……的形式,其中省略号部分或者是空的(也就是整个数字串就是22),或者是个X型数字串。

 

现在我们终于可以引入下面这个重要的引理,也就是分割的准则:

分割引理)一个好数字串可以在某处分割成前后两个子串,当且仅当在满足以下某种情况时:

康威常数

有了起首引理,分割引理“当”部分的证明很容易。第一种情况很简单,以“1”,“2”或“3”开始的后数字串总还是演化成以“1”,“2”或“3”开始的数字串,不会和永远以大于3的数字结尾的前数字串混起来。第二种情况,前数字串永远以“2”结尾,后数字串永远以“1”或“3”或是大于3的数字开始,也不会混起来。第三种情况,前数字串永远不以“2”结尾,后数字串永远以“2”开始,也不会混起来。注意到如果结合第二种情况,在第三种情况下我们其实总能将数字串分割成3段:前数字串,22,以及一个A型或B型或C型或X型的数字串——除非原本的后数字串就是22本身。

还要证明“且仅当”部分,即除上述情况之外就不能分割。这个留给读者证明,去读康威的论文也没用,他同样也留给读者证明。证明过程的关键是起首引理结论的最后一部分。

如果读者要自己编一个分割数字串的程序,我建议采用如下方法:

首先验证那是个好字符串。然后找到所有不是“1”“2”“3”的数字,在它后面分割,将数字串分割成若干段。对每段分割好的子串进行如下操作:找到所有2,验证它后面的子串是否A、B、C、X型,如是则在这个2后面分割。对每段分割好的子串进行如下操作:验证它是否以恰好2个2结尾,如是,则将这2个2分割。

容易看出,这个算法能够将好数字串作完全的分割,既不会分割错,也不会有该分割却没有分割的地方。

 

最后相应于起首引理还有个结尾引理,没什么太大用处,为了完整起见也叙述一下:

结尾引理):经过足够长时间后,

1) 任何一个以“1”结尾的数字串在演化过程中,序列的数字串末尾总会进入4步循环:
康威常数

2) 任何一个以“2”结尾的数字串在演化过程中,序列的数字串末尾总会进入2步循环:
康威常数

3) 任何一个以“3”结尾的数字串在演化过程中,序列的数字串末尾总会进入2步循环:
康威常数

4) 任何一个以大于3的数字“n”结尾的数字串在演化过程中,序列的数字串末尾总会进入2步循环:
康威常数

五、化学定理和宇宙学定理的证明

在此重新叙述一下化学定理的内容:

化学定理) 任何一种普通元素的后代都是普通化合物,普通化合物的后代也是普通化合物。除了1氢外,从任意一种普通化合物开始,演化足够多天后,得到的化合物将由所有92种普通元素组成。

第二节的元素列表具体地拿出来后,定理前面一句的证明就差不多完成了:无非是验证一下元素所代表的数字串一天后的产物的确就是“一天后衰变物”一栏中化合物所代表的数字串,而且其中的分割是正确的。

定理后面一句如果可以用算术定理的话,证明也很简单:因为经过足够多的时间后,除了1氢外的任何普通化合物演化出的数字串中各普通元素的比例会趋近于丰度,而每种普通元素的丰度都严格大于0,所以我们自然能得出每种普通元素都在这些数字串中存在的结论。不过如果不用算术定理,只通过元素列表,我们也同样能证明这一点。

首先,通过元素列表的重要特性,即对任何大于1的自然数n,第n号元素一天后会衰变出第n-1号元素这点可知,任选一种除了1氢外的普通元素,从它出发都能衰变出任何一种普通元素。因为所有原子序数较大的都能衰变出原子序数较小的,而衰变到2氦时则能回头衰变出91镤,然后能衰变出39钇,最终衰变出92铀来,从而进一步衰变出任何普通元素。

其次,容易看出两种元素间通过固定的衰变途径,从一种元素演化到另一种元素的时间间隔是固定的。比如通过6碳→5硼→4铍→32锗→67钬这条衰变途径,从6碳到67钬用了4天,那么我们可以肯定,如果在第d天化合物中有6碳元素,那么第d+4天化合物里一定有67钬元素。

注意到2氦→3锂→2氦这条途径,从2氦出发,每隔一天能产生出一个2氦来。如果第一个2氦出现在第h天,那么后面所有和h间隔偶数天的日子里也会有2氦。再看2氦→20钙→19钾→18氩→……→4铍→3锂→2氦这条途径,如果第h天有2氦,那么第h+19天也会有2氦,然后从那以后每隔一天都会有2氦。也就是说,如果第h天有2氦,那么从第h+19天起,每天都有2氦。所以我们有了第三个结论:任选一种除了1氢外的普通元素,从它出发,在足够长时间后,每天产生的化合物中都有2氦。

上面这三点结合起来的推断出的结论自然就是,任选一种除了1氢外的普通元素,从它出发,在足够长时间后,每天产生的化合物中都有92种普通元素中的任何一种。这就完成了化学定理的证明。

至于宇宙学定理,按照康威的说法,那是非常非常难的,写出来会很长。他和Richard Parker花了一个月搞出来过一个证明,但是稿子遗失了。Mike Guy也曾证明了这个定理,比前面这个短一些可还是很长,而且他的稿子也遗失了。基于以上理由,在论文里他干脆就什么证明都没放,只问“你能找到一个几页就能写下的证明吗?拜求!”

康威常数

康威的宇宙学定理的“证明”

这大概是自费马在《算术》一书的书边对他的“大定理”写下“我确信已发现了一种美妙的证法,可惜这里空白的地方太小,写不下”后最拽的“此定理已证”的声明吧。

直到2003年,美国路易斯安那州立大学的数学家R. A. Litherland才给出了一个完整的宇宙学定理的证明。这个证明是由计算机辅助完成的,也就是说,先使用人工的推理将定理的证明转化成对一些特殊的有限的情况的验证,然后再使用程序来验证这些情况,因为使用人力来验证太困难。史上最著名的采用计算机辅助方式的证明大概是四色定理的证明。

宇宙学定理中和普通化合物算术定理并行的部分很容易通过后者证得:因为超铀元素的数目从第二天开始就固定,而普通元素的数量则随着演化趋向于无穷,所以超铀元素对化合物长度和成分的贡献可以忽略不计。

本文对宇宙学定理的证明的介绍就到此为止。接下去应该介绍算术定理的证明了,这是本文最有意思的一部分,但是了解它需要线性代数的知识。所以在此之前,我打算先讨论一下边看边说序列理论中的这几个定理的应用,这一部分不需要线性代数的知识。

 

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★·°遇見、堇色年華 ﹏

【十里桃花】将临

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这时我年轻 该有的爱如期望一般降临 即便寻不到梦中的荒地 我也已拥有这片楼林 四下街道安静 我在此栖息 并且日日感受黄昏的光晕 趁早的时光随太阳一同升起 我愿意陪同热烈的每一季去隐匿 我愿意独自陷入所有风景 即使日后我们相隔草原,山谷 我将在所及最高处为你摇铃 将去感染一场比戈壁... 阅读全文

【十里桃花】将临

这时我年轻

该有的爱如期望一般降临

即便寻不到梦中的荒地

我也已拥有这片楼林

四下街道安静

我在此栖息

并且日日感受黄昏的光晕

趁早的时光随太阳一同升起

我愿意陪同热烈的每一季去隐匿

我愿意独自陷入所有风景

 

即使日后我们相隔草原,山谷

我将在所及最高处为你摇铃

将去感染一场比戈壁更荒凉的孤旅

趁红日未息

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