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《无常》— —雪莱

无常 趁天空还明媚,蔚蓝 Whilst skies are blue and bright 趁花朵还娇鲜,欲醉 Whilst flowers are gay 趁眼前一切都还美好 Whilst eyes that change ere night 白昼尚未替与黑夜 Make glad the day 趁... 阅读全文

无常

 

趁天空还明媚,蔚蓝      Whilst skies are blue and bright

趁花朵还娇鲜,欲醉      Whilst flowers are gay

趁眼前一切都还美好      Whilst eyes that change ere night

白昼尚未替与黑夜          Make glad the day

趁时流还这般宁静          Whilst yet the calm hours creep

做美梦吧,且憩息          Dream thou——and from thy sleep

等醒来再哭泣                  Then wake to weep

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辛几何&李代数

点是否在 三角形,凸多边形, 凹多边形,四面体高维单形内的判断

点是否在 三角形,凸多边形, 凹多边形,四面体高维单形内的判断

对于三角形的情况, 我们使用有向面积来判断,假设三角形三个点为(x1,y1),(x2,y2), (x3,y3), 需要判断的点为(x,y). 根据向量代数的公式, 已知3点坐标, 判断三角形有向面积为 有向面积的正负与行列式的排列顺序有关(交换行列式的任意两行, 行列式的正负发生变化)简单的可以展开为 A0 = (x1y2 & x1y3 & x2y1 ... 阅读全文

对于三角形的情况, 我们使用有向面积来判断,假设三角形三个点为(x1,y1),(x2,y2), (x3,y3), 需要判断的点为(x,y). 根据向量代数的公式, 已知3点坐标, 判断三角形有向面积为

点是否在 三角形,凸多边形, 凹多边形,四面体高维单形内的判断

有向面积的正负与行列式的排列顺序有关(交换行列式的任意两行, 行列式的正负发生变化)

简单的可以展开为 A0 = (x1y2 – x1y3 – x2y1 + x3y1 + x2y3 - x3y2)/2. 这个判断式子与 叉乘的判断的公式是一模一样的. 可以看出通过有向面积可以统一 <编程之美>中的两种方法, 面积与叉乘的方法在数学本质上是一致的.

 

如何判断一个点在四面体的内部呢? 使用有向体积的概念. 假设四面体的四个顶点的坐标为 (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3), (x4,y4,z4).  需要判断的点为(x,y,z). 那么原来四面体的有向体积 为

 

点是否在 三角形,凸多边形, 凹多边形,四面体高维单形内的判断

 

同理剩下的4个有向体积分别为

点是否在 三角形,凸多边形, 凹多边形,四面体高维单形内的判断

点是否在 三角形,凸多边形, 凹多边形,四面体高维单形内的判断

 

判断准则很简单, V0与V1V2V3V4都同向的时候, 则点位于四面体内, 否则位于四面体外.  当Vi = 0 的时候, 则此四面体退化了.

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ibanana

箭厂胡同文创空间/META-PROJECT​(13张)

辛几何&李代数

曲面扭结

曲面扭结

1、极小曲面(Minimal surface) 简而言之,极小曲面就是平均曲率为零的曲面。给定一条闭曲线,可以设想蒙在这条闭曲线上的所有曲面中,有一个面积最小者,这个具有最小面积的曲面正是极小曲面。平面是仅有的极小可展曲面。除平面外,旋转极小曲面都是悬链面,直纹极小曲面都是正螺面。下图,螺旋面(Gyroid)是典型的三重周期极小曲面,由Alan Schoen... 阅读全文

曲面扭结 

 

 

1、极小曲面(Minimal surface)

    简而言之,极小曲面就是平均曲率为零的曲面。给定一条闭曲线,可以设想蒙在这条闭曲线上的所有曲面中,有一个面积最小者,这个具有最小面积的曲面正是极小曲面。平面是仅有的极小可展曲面。除平面外,旋转极小曲面都是悬链面,直纹极小曲面都是正螺面。

下图,螺旋面(Gyroid)是典型的三重周期极小曲面,由Alan Schoen于1970年发现,它可近似定义为一个简单的等曲面方程cos(x)sin(y) + cos(y)sin(z) + cos(z)sin(x) = 0.

曲面扭结

Richmond的极小曲面(作者Paul Nylander)

曲面扭结

2、超复数分形(hypercomplex fractals)

    超复数类似于通常的二维复数,只不过它们扩充到三维空间甚至更高维空间。超复数分形就是n>=3维的分形,想必高维分形神奇得更令人惊叹吧。

   下图这个超复数分形基于Daniel White富有创造性的三维超复数(三重)公式,通过在球坐标系内作两次连续旋转而成。生成的图像,如星云一般。

曲面扭结

下图,是一个三维的Julia集,根据Daniel White的四维超复数开平方。

曲面扭结

下图为彩色的四维Julia集,即四元数分形。

曲面扭结

下图,采用逆Julia集方法。Dominic Rochon 采用寻找二重复数的平方根公式帮助作者绘制该图,该公式有四个根,所以在每次迭代后,点总数增加了四倍。

曲面扭结

 3、分形

克莱因1/15双尖群分形。一个异彩纷呈的多元宇宙大花园。

曲面扭结

克莱因1/15双尖群逆分形。

曲面扭结

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 克莱因拟福克斯极限集(Kleinian Quasifuchsian Limit Set)。

曲面扭结

围绕十二面体的三维树分形。树木繁盛的生态星球。

曲面扭结

递归(7,3)庞加莱超双曲盘。圆盘内盛满更小的庞加莱双曲盘,盘内又有盘。小盘呈超双曲多边形,采用一种共形映射技术。

曲面扭结

周围镶嵌神马图的曼德布罗集(Mandelbrot Set Tessellation)。周围镶嵌的图案呈扭曲状,因为它不是超双曲瓷砖。

曲面扭结

黄金比螺旋轨道(Golden Ratio Spiral Orbit Trap )分形

曲面扭结

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ibanana

ORA旅社/SEA ARCHITECTURE(20张)

ibanana

阿根廷餐厅&酒吧/Hitzig Militello arquitectos(19张)

辛几何&李代数

元素

习惯上,研究体系(矿物岩石等)中,分为: 1.常量元素/主要元素(major element):元素含量大于1%; 2.次要元素(minor element):元素含量在1%~0.1%之间; 3.微量元素/痕量元素(trace element):元素含量小于0.1。 微量元素的范围是相对的,取决于研究者... 阅读全文

习惯上,研究体系(矿物岩石等)中,分为:
1.常量元素/主要元素(major element):元素含量大于1%;
2.次要元素(minor element):元素含量在1%~0.1%之间;
3.微量元素/痕量元素(trace element):元素含量小于0.1。
微量元素的范围是相对的,取决于研究者的兴趣和对研究问题的帮助。
微量元素的主要4种分类方法:
1.按元素周期表,依化学性质分类:
    (1)稀碱元素;
    (2)稀有元素;
    (3)稀土元素;
    (4)过渡族元素。
2.戈尔德施密特的元素地球化学分类系统:
    (1)亲石元素;
    (2)亲铁元素;
    (3)亲铜元素;
    (4)亲气元素。
3.地球化学作用过程中常常存在液相(熔体相、流体相)和固相(结晶相)共存关系,有些元素容易进入固相,另一些则容易进入液相。
    (1)相容元素:倾向于集中在固相;
    (2)不相容元素:倾向于集中在液相。
4.在行星和陨石的研究中,分类为:
    (1)难熔元素;
    (2)挥发性元素;
    (3)亲铁(铜)元素;
    (4)仅在球粒陨石中挥发的元素。
其中对不相容元素,又有3种进一步划分的方案:
    (1)根据分配系数:
        ①强不相容元素;
        ②中等不相容元素;
        ③弱不相容元素。
    (2)根据离子半径和离子电荷:
        ①大离子亲石元素;
        ②高场强元素;
    (3)根据熔体:
        ①长期不相容元素;
        ②短期不相容元素。

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