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辛几何&李代数

Harish-Chandra,gelfand

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2017 / . 01 / . 26

如何成为了名理论物理学家(ZZ科学网论坛)

作者:Gerard 't Hooft 译者:hmy
【译注】
本文作者Gerard 't Hooft,荷兰人,1999 年诺贝尔物理学奖得主,当今理
论物理学的大牛。如果对物理学感兴趣而不知道Gerard 't Hooft,那么我的建
议是,要么自己去查找资料,要么乘早去关心其他任何除了物理学之外的东西。
原文见:http://www.phys.uu.nl/~thooft/theorist.html 
【正文】
这个网站(在建中)为青年学生和其他任何人所做——那些和我一样面对真
正科学的挑战而兴奋的人,那些和我一样决定以他们的大脑在我们生活的现实世
界中做出新发现的人。简而言之,是为了那些决定以毕生精力研究理论物理学的
人。
我经常收到来自业余物理学家们的计划周密而一无是处的信件,他们坚信自
己已经解释了整个世界。他们坚信这一点,只是因为他们对于解决现代物理学问
题的真正方法完全一窍不通。如果你真的想对物理学定律的理论解释作出贡献
——如果你成功了,那将是一种令人兴奋的体验!——你需要懂的东西太多了。
首先,要认真对待之。所有必要的科学课程都是在大学中教的,因此,很自然,
你首先要做的事就是读大学并学习你能够学到的所有知识。但是,如果你还年轻,
还在上中学,你进大学之前不得不忍受那些被称之为幼稚的趣闻的科学时,你怎
么办?如果你已经年长,你完全不希望跟那些吵吵嚷嚷的年轻学生混在一起,你
又怎么办?
如今这个年代,你完全可以从Internet 上得到所有知识。问题是,Internet
上的垃圾太多了。你能从中筛选出那些真正有用而少的可怜的网页吗?我很清楚
应该教什么东西给那些刚入门的学生。列出那些绝对必要的课程和课题的名称是
很容易的,而这就是我下面已经完成了的。我的目的是搜集那些真正有用的论文 
和书籍所在的网页,最好是可下载的。通过这种方法,成为一个理论物理学家的
成本不会超过一台可连接Internent 的电脑、一个打印机、很多纸和笔。不幸的
是,我不得不建议去买一些教材,但在此很难给出建议,或许将来的网站上会有。
让我们先给自己一个最低限度。下面列出的科目是必须学习的。任何遗漏都将受
到惩罚:失败。要相信我是对的:你不需要任何宗教式的笃信——去验证它吧。
尽你所能,不断尝试。你将一次又一次地发现,那些人的工作的确是最聪明的。
令人惊奇的是,最好的教材都有习题。去做习题,然后你会发现可以理解所有内
容。你需要达到这种程度:发现大量的印刷错误、无足轻重的失误和重大差错,
并想象你怎样以一种更聪明的方式撰写那些教材。
我可以告诉你我自己的经验。我很幸运,周围有那么多优秀的老师。这使我
不致于误入歧途。这使我获得……。我将尝试做你的老师。这是一个艰巨的任务。
我正在请求学生、同事和老师们帮助我改进这个网站。目前建立的这个网站仅仅
针对那些力图成为理论物理学家的人,不是普通人,而是那些很棒的人,是那些
下定决心要夺取诺贝尔奖的人。如果你是一个非常谦虚的人,很好,首先完成那
- 2 -
些令人生厌的中学教育,并且循序渐进地吞下那些教育家和专业玩家如此混帐地
把每一个细小的部分都仔细嚼碎了再喂给你的东西。这个网站针对雄心勃勃者。
我确信任何人都能做到,只要你有足够的智力、兴趣和决心。
理论物理学就象一座摩天大楼。它有着初等数学和20 世纪前经典物理学的
坚实基础。虽说我们已拥有更多,也不要以为20 世纪前的物理学是“不相干
的”。在那些日子里,那坚实基础中保存着我们如今正享受着的知识。在你自己
重新构建基础之前,不要去尝试造你自己的摩天大楼。摩天大楼的下面几层是由
高等数学构成的,它们使经典物理学理论变得更加美丽动人。如果你想爬得更高,
它们是必需的。因此,下面将列出其他一些课程。最后,如果你够疯而打算解决
那些协调重力物理学与量子世界的极其困难的问题,你就拼了老命学习广义相对
论、超弦理论、M-理论、Calabi-Yau 流形,等等。这是摩天大楼目前的顶端。
还有其他一些山峰,诸如玻色-爱因斯坦凝聚态、分数量子霍尔效应,等等。正
如过去几年所显示的,这些也是角逐诺贝尔奖的好课题。一个必要的警告:即使
你聪明绝顶,你还是会在某些地方卡死。你自己去网上冲浪吧。去发现更多。告
诉我你的发现。如果这个网站对准备读大学的人有所帮助,如果激励了某些人,
帮助一些人沿途而行,清除了他或她通往科学的道路,那么我认为这个网站就成
功了。请让我知道。这里是课程列表。
记住,这个网站并不十分符合教育法,我使用颜色而不是令人分心的画面来
避免使用文字以区分那些一点都不风趣的作者。同时,包含的课程也略微倾向于
我的个人爱好。
课程列表,按照逻辑次序(并不是一切都必须依照这个次序,但是它大致的
指明了了不同科目之间的逻辑关系。某些标题比另一些级别更高。)
·语言
·基本数学
·经典力学
·光学
·统计力学和热力学
·电子学
·电磁学
·量子力学
·原子和分子
·固体物理
·核物理
·等离子体物理
·高等数学
·狭义相对论
·高等量子力学
·唯象理论
·广义相对论
·量子场论
·弦论
更多资源 
.ps 文件是PostScript 文件§。
(现在是初级阶段,这个网页还很不完整!)
- 3 -
语言
英语是不可或缺的。如果你还不能熟练运用,就去学。你必须能够读、写、
说,并且理解英语,但你在这里并不需要完美。这篇文章里的蹩脚英语就是我自
己写的。这就够了。所有出版物都是英语的。要注意到英语书写能力的重要性。
你很快就会希望发表你自己的成果。人们必须能够阅读和理解你的材料
法语、德语、西班牙语和意大利语可能也有用,但他们不是必要的。他们并
不靠近我们摩天大楼的基础,所以别担心。你确实需要希腊字母。希腊字母使用
广泛。学习他们的名字,否则你演讲用到它们的时候会成为一个呆瓜。现在,开
始给出严肃的材料。不要抱怨这些东西看起来很多。你休想无偿得到诺贝尔奖,
而且记住,所有这些加在一起至少要需要我们的学生进行近5 年的勤奋学习(至
少有一个读者对这个说明表示惊讶,声称他/她绝不可能在5 年里熟练掌握这些
内容;的确,我是对那些计划在这个学习上花很多时间的人说的)。现在假定仍
有可待开发的智力,因为普通学生可以在教师的协助下熟习之。做习题是必要的。
要力图比作者更聪明,但是在全部学会之前千万别写信告诉我你那非主流理论;
如果你彻底学会了,你将发现那些作者毕竟不蠢。
现在,首先要学的是:
基本数学
你喜欢数字、加法、减法、平方根等等么?
*西德克萨斯A&M 大学《代数入门》*:
http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/beg_algebra 
*西德克萨斯A&M 大学《代数进阶》*:
http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/int_algebra/index 
.htm
·自然数
·整数
·有理数
·实数
·复数
它们非常重要!
Dave E. Joyce 的三角函数课程:
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/trig/ 
这是必须的:James Binney 教授的复数课程:http://wwwthphys.
physics.ox.ac.uk/users/JamesBinney/complex.pdf
肯塔基K.Kubota 的“初等数学一览”:
http://www.msc.uky.edu/ken/ma109/notes.htm 
还可参看Chris Pope 的讲义:
http://faculty.physics.tamu.edu/pope/mch1.ps 
http://faculty.physics.tamu.edu/pope/mch2.ps 
亚特兰大G. Cain 的复平面、柯西定理和线积分:
http://www.math.gatech.edu/~cain/winter99/complex.html 
集合论:开集,紧致空间,拓扑。你可能会惊讶,它们在物理学中的确扮演
- 4 -
了角色!
代数方程:求近值方法。级数展开:泰勒级数。解复数方程。三角函数:sin(2x)
= 2*sin(x)*cos(x),等等。
无穷小。微分。初等函数的微分(sin,cos,exp)。
积分。初等函数的积分。微分方程。线性方程。
傅里叶变换。复数的应用。级数的收敛。
复空间。柯西定理和线积分(现在这些很有趣)。
Γ函数(享受在学习其性质时的乐趣)。
高斯积分。概率论。
偏微分方程。狄里克莱和诺依曼边界条件。
这些是针对初学者的。有些内容可能成为一个完整的讲座课程。这些内容大
多是物理学理论中必须的。你开始学习后面的内容时并不需要学完所有这些课
程,但记住以后要回来完成那些你第一次漏掉的。
经典力学
一个来自哈佛的很棒的笔记:http://www.courses.fas.harvard.edu/~phys151/ 
德克萨斯Austin 大学R. Fitzpatrick 的一个经典分析动力学的进阶课程:
http://farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/lectures/ 
·静力学(力,张力);流体静力学。牛顿定律。
·行星椭圆轨道。多体系统。
·作用量原理。哈密尔顿方程。拉格朗日方程。(不要跳过,极其重要!)
·谐振子。摆。
·泊松括号。
·波动方程。液体和气体。纳维-斯托克斯方程。粘滞性和摩擦。
光学
A. A. Louro 的光学讲义:
http://www.phas.ucalgary.ca/phys323/fall/notes/optics.pdf 
·折射和反射。
·透镜和镜子。
·望远镜和显微镜。
·波的传播初步。
·多普勒效应。
·波的叠加的惠更斯原理。
·波前。
·焦散面。
统计力学和热力学
Alfred Huan 的统计力学课程:
http://www.ntu.edu.sg/home/alfred/teaching.htm 
Donald B. Melrose 教授的热力学讲义:
http://www.physics.usyd.edu.au/rcfta/thermo.html 
·热力学第一、第二和第三定律。
·玻尔兹曼分布。
- 5 -
·卡诺循环。熵。热机。
·相变。热力学模型。
·伊辛模型(把求解2 维伊辛模型的技术推迟到后面)。
·普朗克辐射定律(作为量子力学的序曲)。
电子学
(只有一些非常基本的电路方面的东西)
·欧姆定律,电容,电感,用复数计算他们的效应。
·晶体管,电子管(其工作原理以后再学)。
电磁学
James Kelly《自然科学学生的数学必读》:
http://www.physics.umd.edu/courses/CourseWare/EssentialMathematica 
Angus MacKinnon《计算机物理》:
http://www.sst.ph.ic.ac.uk/angus/Lectures/compphys/ 
W.J.Spence《电磁学》:
http://monopole.ph.qmw.ac.uk/~bill/emt/LecNotes.html 
Bo Thide 的高等电磁场理论习题:http://www.plasma.uu.se/CED/Book 
Jackson 的习题答案:
http://www.physics.rutgers.edu/~rmagyar/physics/jackson.ps 
http://samizdat.mines.edu/jackson/main.pdf 
即便是纯粹的理论家也可能对计算物理的某些方面感兴趣。
电磁学的麦克斯韦理论:
·各向同性的和各向异性的
介质中的麦克斯韦定律。边界。求解以下方程:
·真空和各向同性介质(电磁波)
·箱体(波导)
·边界(折射和反射)
矢势和规范不变性(极其重要)
电磁波的发射和接收(天线)
光的散射
量子力学(非相对论性)
Michael Fowler 的量子力学和狭义相对论入门:
http://www.phys.virginia.edu/classes/252/home.html 
曼彻斯特Niels Walet 的量子力学讲义:
http://walet.phy.umist.ac.uk/QM/ 
http://walet.phy.umist.ac.uk/QM/LectureNotes/ 
·玻尔的原子论
·德·布罗意关系(能量-频率,动量-波长)
·薛定谔方程(带电磁场)
·欧伦菲斯特定理
·箱体中的单粒子
·氢原子,详细的求解。塞曼效应。斯塔克效应。
- 6 -
·量子谐振子。
·算子:能量,动量,角动量,产生和湮灭算子。
·其变换规则。
·量子力学散射初步。S 矩阵。放射性衰变。
原子和分子
·化学
·轨道
·原子和分子光谱
·光的发射和吸收
·量子选择规则
·磁矩
固体物理
固体物理:Chetan Nayak 的笔记(UCLA):
http://www.physics.ucla.edu/~nayak/solid_state.pdf 
·晶格
·布拉格反射
·电介常数和反磁性常数
·布洛赫谱
·费米能级
·导体,半导体和绝缘体
·比热
·电子和空穴
·晶体管
·超导
·霍尔效应
核物理
·同位素
·放射性
·裂变和聚变
·液滴模型
·核的量子数
·幻数核
·同位旋
·汤川理论
等离子体物理
·磁流体力学
·阿尔文波
高等数学
参看佛吉尼亚John Heinbockel:
- 7 -
http://www.math.odu.edu/~jhh/counter2.html 
参看Chr. Pope: Methods2§:
http://faculty.physics.tamu.edu/pope/methods2.ps 
数学习题集:http://www.geocities.com/alex_stef/mylist.html 
G.'t Hooft 的《李群》(荷兰文+习题):
http://www.phys.uu.nl/~thooft/lectures/lieg.html 
关于李群还可参看Chr. Pope 讲义最后一章(“广义相对论”后面)
《特殊函数和多项式》(理解那些原理即可):
http://www.phys.uu.nl/~thooft/lectures/specialfct.pdf 
·群论,群的线性表示
·李群理论
·矢量和张量
·更多的求解(偏)微分方程和积分方程的技巧
·极值原理和基于它的近似技巧
·差分方程
·母函数
·希尔伯特空间
·泛函积分初步
狭义相对论
Peter Dunsby 的张量和狭义相对论课程:
http://vishnu.mth.uct.ac.za/omei/gr/ 
·洛仑兹变换
·洛仑兹收缩,时间膨胀
·E = mc^2
·4 维矢量和4 维张量
·麦克斯韦场的变换规则
·相对论多普勒效应
高等量子力学
密歇根州立大学高等量子力学笔记:
http://www.nscl.msu.edu/~pratt/phy851/lectures/lectures.html 
·希尔伯特空间
·原子跃迁
·光的发射和吸收
·受激发射
·密度矩阵
·量子力学的解释
·贝尔不等式
·过渡到相对论性量子力学:狄拉克方程,精细结构
·电子和正电子
·超导的BCS 理论
·量子霍尔效应
·高等散射理论
- 8 -
·色散关系
·微扰展开
·WKB 近似,极值原理
·玻色*爱因斯坦凝聚态
·超流氦
唯象理论
亚原子粒子(介子,重子,光子,轻子,夸克)和宇宙射线;材料性质和化
学;核同位素;相变;天体物理(行星系,恒星,星系,红移,超新星);宇宙
学(宇宙学模型,暴涨宇宙论,微波背景辐射);测量技术。
广义相对论
G. 't Hooft 的入门和习题:
http://www.phys.uu.nl/~thooft/lectures/gr.html 
选读:Sean M. Carrol 的广义相对论讲义:http://xxx.lanl.gov/abs/grqc/ 
9712019
Chr. Pope《几何和群论》:
http://faculty.physics.tamu.edu/pope/geom-group2006.ps 
http://faculty.physics.tamu.edu/pope/geom-group2006.pdf 
·度规张量
·时空曲率
·爱因斯坦引力方程
·斯瓦兹察尔德黑洞
·雷斯纳-诺斯陶姆黑洞
·近日点位移
·引力透镜
·宇宙模型
·引力辐射
量子场论
Pierre van Baal 的量子场论笔记:
http://www.lorentz.leidenuniv.nl/vanbaal/FTcourse.html 
G. 't Hooft 的《量子场论的概念基础》:
http://www.phys.uu.nl/~thooft/lectures/basisqft.pdf 
《科学哲学手册》中的一章:http://people.uleth.ca/~woods/HPS_WP/hps.html 
磁单极和瞬子:http://xxx.lanl.gov/abs/hep-th/0010225 
·经典场:标量场,狄拉克旋量,杨-米尔斯矢量场。
·相互作用,微扰展开。自发对称性破缺,戈德斯通方法,黑格斯机制。
·粒子与场:福克空间。反粒子。费曼规则。π介子和核子的盖尔曼-李维
Σ模型。圈图。么正性、因果律和色散关系。重正化(泡利-维拉斯;维数重正
化)。量子规范理论:规范不变,法捷耶夫-波波夫行列式,斯拉夫诺夫恒等式,
BRST 对称。重正化群。渐进自由。
·孤立子,斯卡米子。磁单极和瞬子。夸克永久禁闭机制。1/N 展开。算符
乘积展开。贝瑟-萨佩特方程。标准模型的建立。P 和CP 破坏。CPT 定理。自旋
- 9 -
和统计的联系。超对称。
超弦理论
入门和习题:http://www.phys.uu.nl/~thooft/lectures/string.html 
一个超弦大众网站:http://www.superstringtheory.com/ 
更多的网上讲义可以在这里找到:
http://www.hostultra.com/~mhegazy/online_physics_lecture_notes.htm 
有许多理论物理各种课题的好书,这里列出少量书目:
·J.B. Marion & W.F. Hornyak, Principles of Physics, Saunders College
Publishing, 1984, ISBN 0-03-049481-8
·H. Margenau and G.M. Murphy, The Mathematics of Physics and
Chemistry, D. v.Nostrand Comp.
·R. Baker, Linear Algebra, Rinton Press
·L. E. Reichl: A Modern Course in Statistical Physics, 2nd ed.
·R. K. Pathria: Statistical Mechanics
·M. Plischke & B. Bergesen: Equilibrium Statistical Physics
·L. D. Landau & E. M. Lifshitz: Statistical Physics, Part 1
·S.-K. Ma, Statistical Mechanics, World Scientific
·J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd ed., Wiley & Sons.
·A. Das & A.C. Melissinos, Quantum mechanics, Gordon & Breach
·A.S. Davydov, Quantum Mechanics. Pergamon Press
·E. Merzbacher, Quantum Mechanics, Wiley & Sons
·R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics, Plenum
·J.J. Sakurai, Advanced Quantum Mechanics, Addison-Wesley
·B. de Wit & J. Smith, Field Theory in Particle Physics, North-
Holland
·I.J.R. Aitchison & A.J.G. Hey, Gauge Theories in Particles Physics,
Adam Hilger
·L.H. Ryder, Quantum Field Theory, Cambridge Univ. Press
·C. Itzykson & J.-B. Zuber, Quantum Field Theory, McGraw-Hill.
·J.B. Hartle, Gravity, An Introduction to Einstein's General
Relativity, Addison Wesley, 2003.
·T.-P. Cheng, Relativity, Gravitation and Cosmology, A Basic
Introduction, Oxford Univ. Press, 2005.
·Barton Zwiebach, A First Course in String Theory, Cambridge Univ.
Press, 2004
·M.B. Green, J.H. Schwarz & E. Witten, Superstring theory, Vols. I &
II, Cambridge Univ. Press
·J. Polchinski, String Theory, Vols. I & II, Cambridge Univ. Press.
其它有用的教材书目:
数学:http://www.alibris.com/search/search.cfm?wtopic=mathematics 
物理:http://www.alibris.com/search/search.cfm?wtopic=Physics 
(其中很多只是消遣读物,而不是理解世界之必不可少的。)
- 10 -
已经有了一些反响。我要感谢:Rob van Linden、Robert Tough、Thuy Nguyen、
Tina Witham、Jerry Blair、Jonathan Martin 以及其他人。

2016 / . 10 / . 12

数学进展

定向最后通过渗流和随机矩阵 

曾杏元,侯振挺

数学进展. 2013, 42 (3): 257-278.   DOI: 10.11845/sxjz.2011014a 

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数学进展. 2013, 42 (3): 279-287.   DOI: 10.11845/sxjz.2013007b 

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数学进展. 2013, 42 (3): 288-296.   DOI: 10.11845/sxjz.2010187b 

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数学进展. 2013, 42 (3): 297-300.   DOI: 10.11845/sxjz.2011031b 

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数学进展 摘要  

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2016 / . 10 / . 12

阶级与秩序

 

圣谛尚不为,何阶级之有!

——青原行思禅师

Order without liberty and liberty without order are equally destructive.

——Theodore Roosevelt

  1 引子

笔者来自穷乡僻壤,因此家乡话里就保有一些化石级的文化痕迹。旧时待客,主人会根据客人的阶级层次决定接待规格,俗谓看人下菜碟。对于拥有这种自觉的人,文化点的表述是具有较高的阶级觉悟,俺们老家的土话就说这人“长就一对阶级眼”,属于天赋异禀的一类。阶级繁杂且森严,是中国文化的精髓。历史上不仅是对官员,就连嫔妃、奴才、太监和教授都分成三六九等,都有系统科学的标识和具体而微的待遇安排。比如,汉朝是个有文化的朝代,帝妇初分为皇后、夫人、美人、良人、八子、七子、长使、少使八等,后又引入婕妤、妌娥、容华、充依、五官、顺常和无涓(共和、娱灵、保林、良使和夜者)共十五等。清朝帝妇则分为皇后、皇贵妃、贵妃、妃、嫔、贵人、常在和答应,从命名上就能看到文化的缺乏。不同阶级之间,有递补、提拔、贬谪与自甘堕落,但平时一般各以本分,这正应了原子中电子的隧穿、受激向上跃迁、受激向下跃迁和自发向下跃迁,以及大多时间在稳定状态上的无所事事。

用来区分人或物之不同等级的汉语词包括阶-级、秩-序、品(秩)、次(幂)等词,用这些词加以翻译的英文词有level,order,degree,grade,rank,等等。这些词在数学物理中频繁出现,且意义多有不同甚至混淆, 中西文皆然。中文的阶级,其中的阶(堦)见于台阶,庭阶寂寂,是实体,而级,见于拾(shè) 级而上,由计数(enumeration)而来,有抽象的内容。容易理解,台阶是一种实用的、但也被故意符号化了的存在,许多建筑在面前都筑起多层次的台阶,陡然而出威严(图1)。阶-级、秩-序这种得自自然和日常生活的词必然散布于数学物理的表述,弄不清level,order,degree,grade,rank 这些词的用法,看数学物理和看宫斗剧一样有点稀里糊涂。学物理者,将一双阶级眼用在这里,正得其宜也。

   2 Level

谈到汉译为阶级的词,容易想到的一个便是level, 见于energy level (能级),但这可能是误解。英语的level,来自拉丁语的libra,与平、衡有关。水平的线或者面,即为level,如sea level (海平面),on a level line (水平线上)。牛顿流体在重力场下的静止状态,其表面的法向应该是重力的方向,此即waterseeks its level 之意。利用这个事实,可以制作水平仪(level,见图2),这是工程中必不可少的工具。Level 不是级,而是阶、阶之面。在日常用法中,level 不仅表示层面,还暗含平衡之意, 如high-leveltalk,不仅是说会谈的层次高,而且是对等的。Level 还有equally advanced in development & even or uniform in some characters (等间距的、均匀分布的),因此level暗含“equal in importance, rank, degree, etc.”的意思,这也可能是我们愿意拿级来翻译level 的原因。但是,把energy level 翻译成能级还好,习惯性地把atomic level,sub-levels 中的level也翻译成“ 能级”这就麻烦了,它掩盖了轨道(也许就是个数学的函数)自身的排列问题,这里的level强调的也许只是轨道可分辨这个事实。在象levels of consciousness,levels of difficulty 这样的概念中,谈论的都是抽象概念的分层次,没有定量的成分。许多时候,把level 译成层次、层面也许是更合适的,哪怕是energy level。比如加速器的energylevel,如在例句LHC experiments run at the highest energy level 中,就应该译成“能量水平”, 目前欧洲大型强子对撞机就运行在13 TeV 的能量水平上。此外,象the macroscopic level of quantum mechanics一文,显然讨论的是量子力学的宏观层次。

  3 Degree

Degree, 来自拉丁语动词degradare,就是英文的degrade,是一串台阶(steps or stages)的意思,注意它更多强调了降序的排列,这一点从a cousin in the second degree (二度表亲,拥有同一个太爷爷、太奶奶辈分的前辈)一词中很容易看出来。Degree 和grade (gradus) 意义相同,两者可连用。我们在学校里学习的难易程度也是分级的(同学,你物理是第几grade 的?)。如果是沿着不易觉察的台阶或者刻度一点一点向前(向上)推进,这就是一个gradual(逐渐的)过程。达到一定程度就能graduate (毕业、爬到头了), 就可以receive a degree (获得一个学位,拿到一个刻度标记)了。常用的摄氏温标(temperature scale)的量度名称为degree Celsius (摄氏度),也称degree centrigrade (100 刻度制),后一词透露了其是如何被定义的。将标准大气压(维也纳夏季的气压)下冰—水混合物的温度定为0 ℃,把水的沸点定为100 ℃。利用稀薄空气在等压条件下体积随温度线性变换的假设,可以根据稀薄气体体积相较于0 ℃下的增量给0 ℃到100 ℃间的任意温度赋值。这就是摄氏温标的定义。注意,对于稀薄空气,在0 ℃到100 ℃之间温度每增加1 ℃,体积增加约1/267。明白了这一点,也就明白了作为对摄氏温标之拓展的绝对温标,其唯一的定标点,水的三相点,为什么会定为273.16 K了。一般中文教科书中论及摄氏温标,只含含糊糊地来一句“标准大气压下冰水混合物的温度定为0 ℃,水的沸点定为100 ℃,此为摄氏温标”,显然漏掉了太多的信息。编书者当年囿于条件不能知道细节可以理解,但根本没注意到定义的不完整就让人不能理解了。早期的来自物质体积变化的、直观的一排刻度,那真是degree,如今的电子式的温度计,显示的就是“一个”数值,则需要符号℃,°F 的提醒才会想起degree来(图3)。

有可视标度的是真degree,纯数字的就靠外加符号的提醒了

Degree 可用作对一般程度的或者干脆就是直观存在的度量。一个圆, 其上可以划上刻度, 分为360°,那是对每年天数的取整,不具有绝对的意义。在反射光的degree of polarization(偏振度)概念中,degree 反映的是程度,其取值在0到100%之间。Degree 或者grade 还被用来衡量抽象概念的程度,如马克思的《政治经济学批判》一书中有句云:“Der Tauschwert der Waren,so als allgemeine Äquivalenz und zugleich als Grad dieser Äquivalenz in einer spezifischen Ware,oder in einer einzigen Gleichung der Waren mit einer spezifischen Ware ausgedrückt,ist Preis (商品的交换价值,作为一般等价以及在某特定商品中此等价的程度值,或者表达为该商品同某一特定商品的等值关系,是价格)”。在degrees of degeneracy(简并度),degrees of freedom (自由度)等概念中,degree 是个正整数。简并度,即对应同一能量之不同状态的数目,在德语中简并度的说法为Entartungsgrad,可见degree 就是grade。自由度就是描述体系所需的独立变量数。仔细体会这个定义,“ 描述体系所需的独立变量数”,则自由度的多少取决于如何描述。描述一个粒子在三维空间中的位置需要3个变量,则描述由N(N≥3)个粒子组成的刚体的构型就需要6个独立变量,或者说刚体运动的自由度为6。在热力学—统计力学中有所谓的能量均分定理,谓每一个自由度对比热的贡献都是一个R/2,R是气体普适常数。如果不深入了解这个能量均分定理成立的条件,许多人都难以理解水分子H2O何以有18个自由度,而水(蒸汽)的比热也一直是温度的函数。就比热问题而言,自由度是能量表示涉及的自由度,这包括动能涉及的动量自由度和势能涉及的位置自由度。有趣的是,某些晶体的晶格可看作是两套或多套亚格子(sublattice)套构而成的,这也可以看成是一类自由度。炭单层的六角晶格是由两套三角格子构成的,其中电子的波函数可以比照电子自旋写成两分量的形式。

  Degree 作为函数或者方程的指标, 汉译为次( 次幂) 或者阶。比如 , 函 数

  阶级与秩序

  是? th-degree Legendre polynomial,汉译? - 阶勒让德多项式。The degree of a monomial,汉译单项式的次幂,是变量指数的和,比如项x2y3的degree 是5。单变量的代数方程(univariate polynomial equation),以变量的最高次幂命名,简称为一元二次方程(a second degree monic polynomial equation)、三次(third degree)方程等等。当然了,这类方程有专门的、简单的称谓quadratic,cubic,quartic,quintic,sextic polynomial equations,分别为二次、三次、四次、五次和六次代数方程。五次以上的多项式方程不存在代数解(unsolvable by radicals),对这个问题的理解带来了群论的诞生。群论对物理学的影响,怎样高度评价都不为过。物理学最深刻的学问,所谓的the fearful symmetry(了不起的对称性),来自对一元代数方程的摆弄。对一元多项式解的探索,是一场惊心动魄的天才的游戏。与解方程有关的还有topological degree theory。如果方程有某个容易得到的解,degree theory 可用来证明其它非平凡解的存在。Degree theory看起来和fixed-point theory(固定点理论), knot theory( 纽结理论) 有关,具体内容笔者不懂,此处不论。

  4 Order

Order 简直就是一个充斥数学和物理学领域的一个词汇。Order 的西语本意也是“放成一溜儿(straightrow,regular series)”的意思,可作为名字和动词使用。Order frequently refers to orderliness, a desire for organization。存在总是表现出某种意义上的order,这让认识世界成为可能。Objects should be ordered in order to bring in some order and clarity(为了有序和明晰,应该为对象排序),这几乎成了科学家的共识。排序、分类是研究的前期准备。

Order 是个用得太多的词,可以想见它的汉译会花样繁多。Order 在物理语境中一般被译成序,如orderparameter (序参量),topological order(拓扑序),off-diagonal long-rangeorder (非对角长程有序),等等。过去分词形式ordered 用作形容词,如晶体就是ordered structure (有序结构)。Order 的对立面是disorder,formless,最无序的存在是chaos (混沌),指the disorder of formless matter and infinite space (由无形的物质和无限的空间一起构成的无序)。混沌被当作有序之宇宙出现之前的状态,也就是说当前的有序状态是自完全无序中发生的,order out of chaos,哈,多哲学。

Order 出现的语境,更多的还是和排序有关,比如lexicographical ordering (字典编纂采用的排序),electrons are always added in order of increasing energy(电子按照能量递增的顺序被加进来),the order of differentiation or integration( 微分、积分的次序),等。微分、积分以及乘积的顺序有时候没关系(immaterial),有时候关系重大,结果依赖于顺序的就意味着别样的数学结构和物理,比如非交换代数或者物理里的非对易算符。有时候,有些源自order 的词从我们的角度来看,会以为排序的意思不明显,比如coordinates和ordinate 就给译成了坐标和纵坐标(vertical ordinate),但请记住这里的关键是这些数值具有排序的含义在里边。有些地方把笛卡尔坐标系的x-轴称为horizontal ordinate(水平坐标),但其实有时候x-轴的对象不是可排序的量,如职工工资分布图,工资是可排序的,职工则无所谓序。当我们把y-轴理解为ordinate时x-轴有专有名词abscissa,是个标记(锯痕?)而已。此外,如lineardimensions are of the order of L,汉译为线性尺度在L的量级,字面上可看到的意思是若排列的话,该尺度应该可与L 等量齐观的。Order of magnitude,量之大小在序列中的位置,汉译干脆就是数量级。

数字的用法分为ordinal numbers( 序数) 和cardinal number ( 基数),前者明显与order有关,而后者也不免和order 有关。一个集合的元素数目,是集合的cardinality (集合的势),而群的元素数,当然也是cardinality, 又被称为order of group,汉译“群阶”。与此同时,群元素g 的period (周期),即使得gm=1 成立的最小整数m,也称为该群元素的order。群阶和元素的阶反映了群的内在结构。大致说来,一个群,其群阶的因子分解越复杂,这个群的结构就越复杂。不仅群和群元素有order 的概念,群的特征标(character)也有order的说法。

Order 在许多场合下有排序的意思,与其连用的数词应是序数词,如second-order differential equation(二阶微分方程),third-order recurring sequences (二阶递归序列),first-order approximation (一阶近似),等等。物理学的方程被限制在(第)二阶(偏)微分方程的层面,学会了解二阶(偏)微分方程,一个纯数学家也许比许多物理学家更象物理学家。量子力学以及后继的发展被有些人频繁以革命誉之,属不通之论,其governing equations 模样可以变得复杂可怕,但属于二阶微分方程却是不变的。

  5 Rank

中文的秩,序也,次也,可连用为秩序、秩次(官阶的高下),还有秩叙(次序)、秩然(秩序井然)、秩如等词。秩既然用来表示官阶的高下,相应的标识就有秩服(区别官阶的服饰)、秩俸(分级别的俸禄)等委婉语。秩被用来翻译英文数理概念中的rank,日常表述的rank,如military rank (军阶)还是用阶级加以翻译。中国古代的官员有华丽花哨的秩服,今天各国军队的military rank 则用华丽花哨的徽章(insignia)加以标识。

Rank,与range,arrange 同源,意为to arrange in order,特别是排成行。作为及物和非及物动词用,rank 一般是排序的意思,如to rank third on a list ( 位列第三), qualitative ranking of various ions toward their ability to precipitate a mixture of hen egg white proteins (根据使得鸡蛋白沉淀的能力把离子定性地加以排序), Alfred Nobel 在设立诺贝尔奖时将物理学排在第一位(ranked physics as the first one), 等等。Rank 作为名词表示次序,汉语的翻译比较随意, 比如people from allranks of life (各阶层人民),a poet of the first rank ( 一流诗人), 等等。Rank 作为排序的意思强调是排成行,国际象棋棋盘上空格的行与列,英文用的即是rank 与file;相应地,对于矩阵的行与列,英文用的是row与column。

Rank 作为科学概念我们知道有rank of a matrix 矩阵的秩的说法。Rank 是矩阵的一个基本特征。把矩阵的行(列)看成一组矢量,这组矢量中线性无关的矢量的数量即是所谓的rank,也即行(列)矢量所张空间的维度。对于一个矩阵,行和列具有相同的秩,也就是矩阵的秩。考虑到矩阵同线性方程组和线性变换(算符)相联系,因此矩阵A 的秩是线性方程组A·x=c 非简并性的度量,也是线性变换y=A·x 之像空间的维度。

在物理上,我们知道能量是标量(scalar),动量、位置是矢量(vector),而角动量L= r? ×p?是贋矢量等等,这些可以用张量(tensor)的语言统一处理。张量是描述张量之间线性关系的几何对象(有点循环定义的味道哈),张量的rank (也叫order或者degree)就是用来表示张量的数列的维度,也即所需指标的个数。由此可知,能量,动量(位置)和角动量分别是rank-0,rank-1 和rank-2张量。针对某个标量(质量,电荷)的空间分布定义的四极矩张量, Q=∫Ωρ(3rirj - |r|2δij)d3r , 就是无迹的rank-2 张量。电位移D (矢量)对应力张量σ(rank-2张量)的响应,或者应变张量ε(rank-2 张量)对电场E (矢量)的响应,相应的系数就是rank-3张量。

涉及线性行为的代数、变换和算符等概念都会有rank 这个特征,因此有(李)代数的秩,(不可约)张量算符的秩等说法。Module (模式)概念也有秩的说法,比如rank 2 的自由Z-module 不过是Ok = Z ?ωZ 的一种装酷的说法而已,其中ω ∈Ok ,Ok 为一代数整数集合。对椭圆曲线y2=x3+Ax+B 也有rank 这么一个量,比如椭圆曲线y2=x3-2 和y2=x3-4, 其Mordell—Weil rank 就是1。这种秩有什么意思,怎么计算,笔者不懂。

2016 / . 10 / . 12

Birch and Swinnerton-Dyer 猜想有望破解 华数学家轰动学界

中国数学家田野对解开世界七大数学难题之——BSD猜想迈出一大步

BSD猜想在2和导子以外均成立 

    据韩国《中央日报》17日消息:2000年5月24日,美国克雷数学研究所公佈了千喜年七大数学难题,每解破一题的解答者,会获颁奖金100万美元,11年来,数学界只攻破了一题。韩国浦港工大日前举办了国际冬季学校,向其中的BSD猜想发起衝击,来自中国的田野给出了答案的线索,成為全场焦点。 

BSD猜想在2和导子以外均成立

    在浦港工大的国际冬季学校,来自中国数学研究所41岁的田野博士作為演说嘉宾,是关於BSD(Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture)猜想领域中的5名权威者之一。针对解开BSD猜想时必须要回答的问题(即「是否存在同餘数」(congruent number)),田野说:「存在无数个同餘数」,首次给出了答案的线索。田野连续用5个多小时来进行证明,他说,「我也是在一个月前才得出了这个结论」。 

    听完其报告后,该领域泰斗剑桥大学教授约翰.科茨(John Coates,67岁)评价称「虽然这并不是完美的答案,但是对於解决BSD猜想确实是一个巨大的飞跃。」 

    将接受数学界检验 

    浦港工大立即决定将田野的证明在春季学期集中研讨,科茨教授也承诺将在秋季学期中就自己的分析进行特别演讲。田野计划立刻将这一证明整理成论文,以接受数学界的精密检验。 

    受中国近年来吸引优秀海外科学家回国政策的影响,田野在美国获得博士学位后回到中国,成了中国数学界的新秀。在中国吸引人才回国政策中起核心作用的人物是「菲尔茨奖」的唯一中国获奖者──哈佛大学教授丘成桐(63岁),菲尔茨奖被称為数学界的诺贝尔奖,是数学界的权威奖项。 

    韩教授有危机意识 

    浦港工大教授崔映周(54岁)称「在对田野的发表内容感到印象深刻的同时,也感到中国正在在解决问题方面有主导权,(我)产生了危机意识」。韩国出席人士称「中国等世界数学界的动向让我们受到了强烈的刺激」。 

    為挑战悬赏100万美元的这一问题,冬季学校已经不分昼夜。参加人员每天都会拿到必须要解决的数学问题,这样,他们自然地形成了解决BSD猜想的国际网络。此外,在举行冬季学校期间还有读者写出自己的答案送来等,一般民眾对此也十分关心。浦港工大还将於2013年及2014年举办冬季学校来挑战悬赏100万美元的BSD猜想。

2016 / . 10 / . 10

两种不同的运算结构加在同一个set上,并且这两种运算还是相容的,那么这两种运算结构其实是相同的,这大概就是Eckmann–Hilton argument。其源于一篇Eckmann与Hilton, P. J在1962年的一篇文章:Group-like structures in general categories I multiplications and comultiplications(看了觉得真的纯粹是Abstract nonsense)上次提到的This Week's Finds栏目的week89和week100亦有这个内容的介绍。

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