折纸几何公理

 

1991 年,日裔意大利数学家藤田文章(Humiaki Huzita) 指出了折纸过程中的 6 种基本操作,也叫做折纸几何公理。假定所有折纸操作均在理想的平面上进行,并且所有折痕都是直线,那么这些公理描述了通过折纸可能达成的所有数学操作:

1. 已知 A 、 B 两点,可以折出一条经过 A 、 B 的折痕
折纸几何公理
2. 已知 A 、 B 两点,可以把点 A 折到点 B 上去
折纸几何公理
3. 已知 a 、 b 两条直线,可以把直线 a 折到直线 b 上去
折纸几何公理
4. 已知点 A 和直线 a ,可以沿着一条过 A 点的折痕,把 a 折到自身上
折纸几何公理
5. 已知 A 、 B 两点和直线 a ,可以沿着一条过 B 点的折痕,把 A 折到 a 上
折纸几何公理
6. 已知 A 、 B 两点和 a 、 b 两直线,可以把 A 、 B 分别折到 a 、 b 上
折纸几何公理

容易看出,它们实际上对应着不同的几何作图操作。例如,操作 1 实际上相当于连接已知两点,操作 2 实际上相当于作出已知两点的连线的垂直平分线,操作 3 则相当于作出已知线段的夹角的角平分线,操作 4 则相当于过已知点作已知线的垂线。真正强大的则是后面两项操作,它们确定出来的折痕要满足一系列复杂的特征,不是尺规作图一两下能作出来的(有时甚至是作不出来的)。正是这两个操作,让折纸几何有别于尺规作图,折纸这门学问从此处开始变得有趣起来。

更有趣的是,操作 5 的解很可能不止一个。在大多数情况下,过一个点有两条能把点 A 折到直线 a 上的折痕。

折纸几何公理

操作 6 则更猛:把已知两点分别折到对应的已知两线上,最多可以有三个解!

折纸几何公理

一组限定条件能同时产生三个解,这让操作 6 变得无比灵活,无比强大。利用一些并不太复杂的解析几何分析,我们能得出操作 6 有三种解的根本原因:满足要求的折痕是一个三次方程的解。也就是说,给出两个已知点和两条对应的已知线后,寻找符合要求的折痕的过程,本质上是在解一个三次方程!

尺规作图到底局限在哪里

相比于折纸的几何操作,尺规作图就显得有些不够“强大”了。不妨让我们先来回顾一下尺规作图里的五个基本操作:

过已知两点作直线给定圆心和圆周上一点作圆寻找直线与直线的交点寻找圆与直线的交点寻找圆与圆的交点

这5项操作看上去变化多端,但前3项操作都是唯一解,后两项操作最多也只能产生两个解。从这个角度来看,尺规作图最多只能解决二次问题,加减乘除和不断开方就已经是尺规作图的极限了。能解决三次问题的折纸规则,势必比尺规作图更加强大。

正因为如此,一些尺规作图无法完成的任务,在折纸几何中却能办到。比如折纸法可以实现作正七边形,而这是无法用尺规作图办到的。

我们有更简单的例子来说明,用折纸法能完成尺规作图办不到的事情。“倍立方体”问题是古希腊三大尺规作图难题之一,它要求把立方体的体积扩大到原来的两倍,本质上是求作 2 的立方根。由于尺规作图最多只能开平方,因而它无法完成“倍立方体”的任务。但是,折纸公理 6 相当于解三次方程,解决“倍立方体”难题似乎是游刃有余。

有意思的是,用纸片折出 2 的立方根比想象中的更加简单。取一张正方形纸片,将它横着划分成三等份(方法有很多,大家不妨自己想想)。然后,将右边界中下面那个三等分点折到正方形内上面那条三等分线上,同时将纸片的右下角顶点折到正方形的左边界。那么,纸片的左边界就被分成了 3√2 : 1 两段。

折纸几何公理

利用勾股定理和相似三角形建立各线段长度的关系,我们不难证明它的正确性。强烈建议大家自己动笔算一算,来看看三次方程是如何产生的。

第7个折纸公理

本文写到这里,大家或许以为故事就结束了吧。 10 年以后也就是 2001 年,事情又有了转折: 数学家羽鳥公士郎(Koshiro Hatori)发现,上述的 6 个折纸公理并不是完整的。 他给出了折纸的第 7 个定理。从形式上看,第 7 公理与已有的公理如出一辙,并不出人意料,很难想象这个公理整整十年里竟然一直没被发现。继续阅读之前,大家不妨先自己想想,这个缺失的操作是什么。这段历史背景无疑让它成为了一个非常有趣的思考题。

补充的公理是:

7. 已知点 A 和 a 、 b 两直线,可以沿着一条垂直于 b 的折痕,把 A 折到 a 上。
折纸几何公理

后来,这 7 条公理就合称为了藤田-羽鳥公理(Huzita–Hatori 公理),你可以在维基百科 上读到这个条目。在 2003 年的一篇文章中,世界顶级折纸 艺术家 罗伯特•朗 (Robert J. Lang )对这些公理进行了一番整理和分析,证明了这 7 条公理已经包含折纸几何中的全部操作了。

看,艺术家都是先搞数学的!

罗伯特•朗注意到,上述 7 项基本操作其实是由一些更基本的操作要素组合而成的,例如“把已知点折到已知线上”、“折痕经过已知点”等等。说得更贴切一些,这些更加基本的操作要素其实是对折痕的“限制条件”。在平面直角坐标系中,折痕完全由斜率和截距确定,它等价于一个包含两个变量的方程。不同的折叠要素对折痕的限制力是不同的,例如“把已知点折到已知点上”就同时要求 x1' = x2 并且 y1' = y2 ,可以建立出两个等量关系,一下子就把折痕的两个变量都限制住了。而“折痕经过已知点”则只能列出一个方程,只能确定一个变量(形式上通常表示为与另一个变量的关系),把折痕的活动范围限制在一个维度里。

不难总结出,基本的折叠限制要素共有 5 个:

(1) 把已知点折到已知点上,确定 2 个变量(2) 把已知点折到已知线上,确定 1 个变量(3) 把已知线折到已知线上,确定 2 个变量(4) 把已知线折到自身上,确定 1 个变量(5) 折痕经过已知点,确定 1 个变量

而折痕本身有 2 个待确定的变量,因此符合要求的折纸操作只有这么几种: (1) , (2) + (2) , (3) , (4) + (4) , (5) + (5) , (2)+(4) , (2) + (5) , (4) + (5) 。但是,这里面有一种组合需要排除掉: (4) + (4) 。在绝大多数情况下, (4) + (4) 实际上都是不可能实现的。如果给出的两条直线不平行,我们无法折叠纸张使得它们都与自身重合,因为没有同时垂直于它们的直线。

另外 7 种则正好对应了前面 7 个公理,既无重合,又无遗漏。折纸几何至此便有了一套完整的公理。

不过,折纸的学问远远没有到此结束。如果允许单次操作同时包含多处折叠,折纸公理将会更复杂,更强大。折纸的极限究竟在哪里,这无疑是一个非常激动人心的话题。

在这里,简单展示几个折纸几何学的例子,分别是三等分角、黄金比例和正六边形。图片由果壳美术设计师 V晶V 制作

折纸几何公理

 

折纸几何公理

 

折纸几何公理