Grothendieck

现在所有的入门同调代数书介绍导出函子时, 最先采取的讲法都是依据Tohôku. 这与几十年前同调代数只有唯一"圣经"(Cartan-Eilenberg)的情形已经截然不同了. 如果稍微读一下Grothendieck的这篇文章, 就会发现其中很多技术可以意想不到地应用到很多其它数学的角落. Grothendieck在这篇文章里系统地介绍了如何在相当一般的情形下应用谱序列计算复合导出函子. 诸君所熟悉的大多谱序列(Leray, Local-to-Global, Hochschild-Serre,...)皆是Grothendieck谱序列的特殊化. 后来, 同调代数在Grothendieck的博士生 J.-L. Verdier 的工作下继续发展, 产生了导出范畴, 三角范畴等近代数学概念; 这些研究引发了(Poincaré, Serre)对偶定理的大幅度推广. 可惜Verdier先生和他的太太不幸在车祸中丧生, 令人无限惋惜. Grothendieck的对偶理论是在Scheme理论发展之后逐渐成型的. 早期关于这个理论的唯一参考文献是R. Hartshorne的"Residue and Duality". Grothendieck的看法是先build up局部对偶, 然后发展整体理论. 但是导出范畴的概念基本是整体的, 所以从局部到整体的过程颇为复杂, 令人不悦. 此外, 由于导出函子的计算需要"injective resolution", 人们只能局限在bounded derived category. 随着20世纪后半叶的数学发展, 特别是代数拓扑学与抽象同伦论的发展, 人们渐渐意识到unbound derived category具有更佳性质.A. Grothendieck在1958年前后证明了Riemann-Roch定理的巨大推广. 由A. Borel和J.-P. Serre写下并发表. Grothendieck认为这个定理是关于"映射"的, 而非"代数簇"的. 将定理陈述为关于映射的给证明增添了很大的flexibility. 这个定理的证明可以分成两部分, 一部分是关于"regular embedding"的; 另一部分是关于投影空间的. 后一部分证明极为普通; 而关于regular embedding的部分则略微复杂. 问题在于Grothendieck于1958年并未获得Chow theory的良好信息. 实际上, Grothendieck在证明中所用的Chow理论, 乃是K-理论的关于余维数的分次环. 这个定义给计算Blow-up的Chow理论带来了很大的不便. 后来, W. Fulton和R. MacPherson发展了相交理论, 运用"deformation to the normal cone"的方法, 彻底简化了Borel-Serre文中的证明. Grothendieck的Riemann-Roch定理包括了著名的Hirzebruch-Riemann-Roch公式. 如果运用Fulton-MacPherson理论, 则其证明简洁优雅, 极为动人 (可参见W. Fulton的"intersection theory"第16章). Grothendieck的Riemann-Roch公式在后世有了极大的应用. 一个例子就是D. Mumford和J. Harris运用Grothendieck-Riemann-Roch加上Brill-Noether理论成功地计算了曲线模空间的canonical divisor class. 通过计算, 他们得出了当亏格>=23 时, 曲线的模空间是general type variety. 这是模空间双有理几何的开山之作. 作为Borel-Serre文章的附录, Grothendieck给出了一个定义陈省身示性类的方法. 实际上, Grothendieck注意到了向量丛的投影配丛的上同调可以通过Leray-Hirsch定理表达为底空间的上同调加上relative O(1)的欧拉类的方幂; 欧拉类所满足的关系的系数恰好是陈类. 这个定义方式颇有影响, 还常常被代数拓扑入门读物采纳, 如R. Bott和L. Tu的"Differential forms in algebraic topology".

Scheme, 中文翻译为概形, 是Grothendieck用来推广代数簇的几何对象. 代数簇, 众所周知, 是投影空间中齐次多项式的零点. Scheme, 不只记住了点集, 还记住了定义这点集的多项式. Scheme的基本理论被记录在了未完成的EGA中. 与广大群众所熟知的论调相反, scheme并非高度抽象的理论. 相反, 它十分具体, 并且能够生动地反映出代数簇所不能反映出的特质.

通过系统地使用scheme的语言, Grothendieck构造了所谓的"Hilbert scheme". 大量古代代数几何中的模糊的陈述, 通过Hilbert scheme, 可以精确地陈述. 比如, F. Severi的residual(?我忘了这个名词是什么了, 就是surface上curve的normal bundle的complete linear system) system维数猜测, 通过Hilbert scheme和Picard scheme, 在特征0得到了代数证明; 不只如此, 在特征p时, 我们也知道为何猜测是错的(Picard scheme nonreduced). 
通过把曲线表示为pluricanonical embedding的Hilbert point, D. Mumford的几何不变量得以构造曲线模空间; 目前为止, 这已经成为构造模空间的标准方法. 
Grothendieck发展了Kodaira-Spencer的变形理论, 发展了阻碍理论. 这些由他的博士生L. Illusie系统化, 写成了博士论文"cotangent complex, I and II". 这些理论成为当代数学中重要的工具. 比如, 最幼稚地应用变形理论和阻碍理论, 可以对某个几何对象一切可能的变形的空间的维数进行估计. Grothendieck还证明了重要的"Grothendieck存在定理", 说明何时"formal deformation"可以扩张为"代数变形", 即来自于几何的变形. 
Grothendieck的scheme理论还联系了几何与算术. 通过标准的"spread off"技术(取出多项式系数, 生成一个有限生成Z-代数), 可以将一个复代数簇约化到有限域. 有时, 这种技巧可以极大地简化问题, 甚至导致超越技术难以证明的定理. 一个极好的例子是森重文对"Hartshorne猜测"的证明. 通过应用特征p的Frobenius endomorphism, 森得以控制变形空间的维数; 然后应用"bend-and-break"以产生有理曲线. 一个更为生动的例子是Grothendieck对Ax定理的证明. 可见维基百科
http://goo.gl/gOUXD3
前述的Narasimhan-Seshadri的工作, 其实就是将模空间约化到特征p, 然后应用Weil猜测来计算上同调. 这一切都是Grothendieck之前的时代的技术所不能达到的. 
我只是简单地举了几个例子来彰显scheme的重要, 但她业已经成为标准的语言. 故而大多的当代代数几何论文都可视为scheme理论的应用. 
Grothendieck发展了拓扑的概念. 现在称之为Grothendieck topology或者site. 这部分数学被记录在SGA4中. Grothendieck认为, 拓扑学中的一个空间的开覆盖的概念可以推广 --- 比如, 在scheme X的 (small) étale topology中, 一个开集是指一个étale map U --> X. 而一个开覆盖则是一堆étale maps U_i --> X; 它们的像的并是X. 众所周知, Zariski topology非常粗(coarse), 使用étale拓扑则可以增添相当的flexibility. 更为重要的是, 对一个site, 可以定义site上的sheaf, 这构成一个abelian 范畴, 可以讨论这些sheaf的上同调, 等等. 
Grothendieck意识到site的性质很大程度上决定于其上所承载的"束(sheaf, 误译为'层', 颇令人不解)". 也许, sheaf的范畴是更本源的几何对象? 一个范畴, 如果等价于一个site上的sheaves的范畴, 那么这个范畴叫做一个Grothendieck topos. 
写到这里, 我感到我不能举出特别具体的, 非哲学层面上的例子, 使得仅仅对scheme有些概念的读者得以了解topoi理论. 况且, 在我所知的微小的一部分数学里, topoi更多是作为方便的语言出现的. 相反, 在我看来, 在具体的数学中, 尽管topoi控制几何性状, 不同的site却是更容易被理解的. 
我不能很好地理解这部分Grothendieck的数学. 请参看维基百科: Grothendieck topology
Weil猜测代数簇的拓扑性质和其算术性质有着紧密地联系. 比如, 通过计算一个光滑投影代数簇在有限域约化的点得个数, 我们可以计算其Betti数. 而上同调的Poincaré对偶则体现在了point-counting的Zeta函数的函数方程中. 最深刻的是Riemann hypothesis的类似, 它断言Zeta函数的零点和极点的模长如何. Weil大概意识到了这些猜测的一部分是某种"好"上同调理论的推论. 但是构做上同调理论这一大业却是在SGA 4 中实现的. 
挠系数的étale上同调可以准确地反映代数簇的"正确"拓扑性质. 在complex number上, Z/l系数的étale上同调和相应系数的奇异上同调是同构的. 然而, 要实现Weil猜测的有理性和函数方程的证明, 我们需要一个特征0的上同调理论. 这是可以对H^*(X,Z/l^nZ)取逆向极限. 所得的群称为l-adic上同调群, tensor with Q_l 或者 \bar Q_l, 就得到了取值在特征0的"好"上同调理论; Weil猜测中的有理性 和 函数方程迎刃而解 (略早与Artin-Grothendieck, 这两个猜测已经被Dwrok用p-adic的方法解决了). 
黎曼猜测是被Grothendieck的博士生P. Deligne解决的. Deligne对l-adic cohomology的深入研究导致了一系列重要进展. 他引入了theory of weights和Deligne-Fourier transform, 用以解决Weil猜测. 它在80年代末, 受到D-模理论的影响, 达到高潮. 产生了Bernstein-Beilinson-Deligne-Gabber的分解定理. 此外, 作为他研究的衍生物(或者theory of weight在特征0的类似物), Deligne引入了Mixed Hodge structure, 并且证明了一系列关于代数簇拓扑的惊人结果. 可惜, Deligne的文章Weil II 和Hodge II, III 并不好读. 
在Deligne的Weil II中, 他需要一个"l-adic"版本的constructible derived category. 因为l-adic sheaf, 在原本的定义中, 并非某个site上的sheaf, 所以其正确"导出范畴"的构造就非常困难. Deligne的定义极为复杂. 并且, 对于诸如Q之类的域并不能很好地工作. Jannsen在1988年定义了连续上同调以克服Q上的困难, 90年代初, Ekedahl定义了比Deligne更广泛的constructible derived category. 但是l-adic complex的性质仍然不像通常derived category中得object那样transparent. 最近(2013), B. Bhatt 和 P. Scholze定义了proétale site, 并且将l-adic sheaf实现为了这个site上的sheaf. 这个是最近这方面领域的重大进展. 
然而, 对于不同的l, 我们有不同的l-adic 上同调. 这么多上同调理论都是一回事吗? 这就诱发了"yoga of motives". 
如上所说, 你给一个素数, Grothendieck教给你一个"好"上同调. 这些上同调似乎是"一样"的, 但是却明明有不同的系数. Grothendieck认为这些上同调理论应该有公共的发源. 他把这个发源称为"motif", 而这一切的上同调理论都是motive的不同实现方式而已. 
代数簇, 相对于复解析空间或者复流形, 一个重大的特点是它具有大量的子空间. 对一个光滑投影代数簇X, 整数m, 定义Z_m(X)为由X的m-维不可约子簇生成的自由abel群. Z_m(X)中元素称为"algebraic cycle". 在Z_m(X)上存在一系列等价关系, 诸如有理等价, 代数等价, 数值等价. 为了简单起见, 我们只谈数值等价. 两个Z_m(X)中的algebraic cycle a 和 b 称为数值等价, 如果对任何dim X - m维的X的不可约代数子簇V, 有a.[V] = b.[V], 其中"."指代相交数. 相交数的严格定义颇为复杂, 我们不予讨论. 但其直观意义却相当明显, 即计算两个子簇相交的点的个数.
令 Grothendieck 为 商群 Grothendieck.

设 X, Y, Z 为三个光滑投影代数簇. GrothendieckGrothendieck 分别为 X x Y 和 Y x Z 上的cycle classes. 我们可以定义复合 Grothendieck. 一个元素Grothendieck 称为projector, 如果 Grothendieck.

对域k, 今定义范畴Mot_k如下, 其objects为pairs
Grothendieck, 其中X是光滑投影代数簇, p为X上的projector. 定义两个对象之间的arrow为
Grothendieck
Grothendieck猜测, 这个范畴应该是导出一切上同调理论的终极上同调. 
如果域k是特征0, U. Jannsen证明了这个范畴是semisimple abelian的. 
Motive的理论或多或少还停留在猜测阶段. 原因是尽管容易证明grothendieck motive specializes to cohomologies, 但是motive本身的很多性质都还没有得到证明. Grothendieck自己提出了关于motive的标准猜测; 这些猜测远未被解决. 
Motive的各种实现, 另一方面, 则在代数几何中产生了巨大的影响. 如果假设Hodge 猜测, 那么在complex number上, motive的范畴嵌入(fully and faithfully)到了所谓"pure Hodge structure"的范畴里. 一种在几何上实现pure Hodge structure的方法是使用复投影流形上奇异上同调的Hodge分解. 对Hodge结构的研究产生了许多美妙的定理. 这方面的始作俑者是P. Griffiths 和他的学派. Griffiths和J. Carlson, M. Green, J. Harris发明了Hodge structure的无穷小变化理论; Clemens-Griffiths应用P. Griffiths的Intermediate Jacobian解决了百年来悬而未决的cubic 3-fold的irrationality; W. Schmid 则研究了复投影流形在单参数形变下Hodge结构的变化, 在特征0时回答了P. Deligne的weight-monodromy问题. 
总之, Hodge理论不仅仅是Motive理论的实现, 也在具体问题中发挥了巨大的作用. 
关于motive有很多可以说的方面, 我们暂且只说Hodge, 留待虚幻的后传来讨论其他的方面. 
如上, 对于特征p的域, 我们可以构造l-adic上同调用以解决许多问题. 然而, p-adic etale 上同调并非正确地上同调理论. 比如, 对于椭圆曲线, 它的p-torsion部分是依赖于椭圆曲线本身的, 而并非(Z/p)^2. 有些具体的数学问题不只需要l-adic的部分, 也需要p-adic的部分. 于是, 构造一个p-adic的"好"上同调就成为必要的了. 
此外, 代数几何中的一个重要技术就是"lift". 如果有一个代数簇 over 特征 p域, 人们常常希望用特征0的域的几何来说明这个代数簇的性质. 称这个代数簇lifts to char. 0, 如果存在一个complete DVR R of char 0, 一个smooth variety over R, 并且special fibre是给定的variety. lift并非总存在. 

Grothendieck定义了crystalline site用以解决这些问题. 他的博士生P. Berthlot的博士论文中定义了所谓的Crystalline上同调. 这个是一个"半好"的上同调理论, 因为它对singular variety表现极差. 最近B. Bhatt甚至怀疑不存在singular variety使其crystalline cohomology是有限生成的. 这一问题后来被Berthelot发展的"rigid cohomology"理论所部分克服. 目前, 这套理论 (晶体/rigid 上同调) 的理论部分已经基本成型. 这里的故事很丰富, 有很多人参与其中. 我就不一一列举了. 只说一下最近 Abe-Caro 完成了 p-adic 的 theory of weights. 不只是" Weil II" 的理论可以用 p-adic 理论解决, "BBD" 的 perverse sheaf 理论也已经可以在这个框架下完成了.

Crystalline 上同调的一个好处是, 即使variety 本身不能lift到特征0 (witt vector), 它的晶体上同调却是取值在witt vector里的. 你可以假想这个variety does lift, 而且frobenius 也lift并且作用在de Rham 上同调上. 晶体上同调的取值对象是所谓的"F-isocrystal", 这是一个"半线性代数"的对象. 它的分类基于所谓"斜率". 对于"通常"的variety, 这些斜率所决定的信息无非是variety的Hodge number; 但是对于"奇怪"的variety, i.e. 斜率不能由hodge number决定, 它们的特殊几何就特别引人兴趣. 比如, 在椭圆曲线的例子下, 奇怪的椭圆曲线称之为"supersingular"; 在K3的例子里,斜率最偏移的叫做supersingular K3曲面. 它们是unirational(最近由Liedke证明)的(这在特征0是不可想象的). 
对于定义在有限域上的代数簇, 所以斜率无非是 Frobenius 作用下特征根的被 p 除的阶数 (根据 Deligne 的 Weil 猜想的解, 它们都是代数整数). 关于晶体上同调, 或者p-adic上同调, 可以读一下B. Mazur的下面的短文,