阶级与秩序

 

圣谛尚不为,何阶级之有!

——青原行思禅师

Order without liberty and liberty without order are equally destructive.

——Theodore Roosevelt

  1 引子

笔者来自穷乡僻壤,因此家乡话里就保有一些化石级的文化痕迹。旧时待客,主人会根据客人的阶级层次决定接待规格,俗谓看人下菜碟。对于拥有这种自觉的人,文化点的表述是具有较高的阶级觉悟,俺们老家的土话就说这人“长就一对阶级眼”,属于天赋异禀的一类。阶级繁杂且森严,是中国文化的精髓。历史上不仅是对官员,就连嫔妃、奴才、太监和教授都分成三六九等,都有系统科学的标识和具体而微的待遇安排。比如,汉朝是个有文化的朝代,帝妇初分为皇后、夫人、美人、良人、八子、七子、长使、少使八等,后又引入婕妤、妌娥、容华、充依、五官、顺常和无涓(共和、娱灵、保林、良使和夜者)共十五等。清朝帝妇则分为皇后、皇贵妃、贵妃、妃、嫔、贵人、常在和答应,从命名上就能看到文化的缺乏。不同阶级之间,有递补、提拔、贬谪与自甘堕落,但平时一般各以本分,这正应了原子中电子的隧穿、受激向上跃迁、受激向下跃迁和自发向下跃迁,以及大多时间在稳定状态上的无所事事。

用来区分人或物之不同等级的汉语词包括阶-级、秩-序、品(秩)、次(幂)等词,用这些词加以翻译的英文词有level,order,degree,grade,rank,等等。这些词在数学物理中频繁出现,且意义多有不同甚至混淆, 中西文皆然。中文的阶级,其中的阶(堦)见于台阶,庭阶寂寂,是实体,而级,见于拾(shè) 级而上,由计数(enumeration)而来,有抽象的内容。容易理解,台阶是一种实用的、但也被故意符号化了的存在,许多建筑在面前都筑起多层次的台阶,陡然而出威严(图1)。阶-级、秩-序这种得自自然和日常生活的词必然散布于数学物理的表述,弄不清level,order,degree,grade,rank 这些词的用法,看数学物理和看宫斗剧一样有点稀里糊涂。学物理者,将一双阶级眼用在这里,正得其宜也。

   2 Level

谈到汉译为阶级的词,容易想到的一个便是level, 见于energy level (能级),但这可能是误解。英语的level,来自拉丁语的libra,与平、衡有关。水平的线或者面,即为level,如sea level (海平面),on a level line (水平线上)。牛顿流体在重力场下的静止状态,其表面的法向应该是重力的方向,此即waterseeks its level 之意。利用这个事实,可以制作水平仪(level,见图2),这是工程中必不可少的工具。Level 不是级,而是阶、阶之面。在日常用法中,level 不仅表示层面,还暗含平衡之意, 如high-leveltalk,不仅是说会谈的层次高,而且是对等的。Level 还有equally advanced in development & even or uniform in some characters (等间距的、均匀分布的),因此level暗含“equal in importance, rank, degree, etc.”的意思,这也可能是我们愿意拿级来翻译level 的原因。但是,把energy level 翻译成能级还好,习惯性地把atomic level,sub-levels 中的level也翻译成“ 能级”这就麻烦了,它掩盖了轨道(也许就是个数学的函数)自身的排列问题,这里的level强调的也许只是轨道可分辨这个事实。在象levels of consciousness,levels of difficulty 这样的概念中,谈论的都是抽象概念的分层次,没有定量的成分。许多时候,把level 译成层次、层面也许是更合适的,哪怕是energy level。比如加速器的energylevel,如在例句LHC experiments run at the highest energy level 中,就应该译成“能量水平”, 目前欧洲大型强子对撞机就运行在13 TeV 的能量水平上。此外,象the macroscopic level of quantum mechanics一文,显然讨论的是量子力学的宏观层次。

  3 Degree

Degree, 来自拉丁语动词degradare,就是英文的degrade,是一串台阶(steps or stages)的意思,注意它更多强调了降序的排列,这一点从a cousin in the second degree (二度表亲,拥有同一个太爷爷、太奶奶辈分的前辈)一词中很容易看出来。Degree 和grade (gradus) 意义相同,两者可连用。我们在学校里学习的难易程度也是分级的(同学,你物理是第几grade 的?)。如果是沿着不易觉察的台阶或者刻度一点一点向前(向上)推进,这就是一个gradual(逐渐的)过程。达到一定程度就能graduate (毕业、爬到头了), 就可以receive a degree (获得一个学位,拿到一个刻度标记)了。常用的摄氏温标(temperature scale)的量度名称为degree Celsius (摄氏度),也称degree centrigrade (100 刻度制),后一词透露了其是如何被定义的。将标准大气压(维也纳夏季的气压)下冰—水混合物的温度定为0 ℃,把水的沸点定为100 ℃。利用稀薄空气在等压条件下体积随温度线性变换的假设,可以根据稀薄气体体积相较于0 ℃下的增量给0 ℃到100 ℃间的任意温度赋值。这就是摄氏温标的定义。注意,对于稀薄空气,在0 ℃到100 ℃之间温度每增加1 ℃,体积增加约1/267。明白了这一点,也就明白了作为对摄氏温标之拓展的绝对温标,其唯一的定标点,水的三相点,为什么会定为273.16 K了。一般中文教科书中论及摄氏温标,只含含糊糊地来一句“标准大气压下冰水混合物的温度定为0 ℃,水的沸点定为100 ℃,此为摄氏温标”,显然漏掉了太多的信息。编书者当年囿于条件不能知道细节可以理解,但根本没注意到定义的不完整就让人不能理解了。早期的来自物质体积变化的、直观的一排刻度,那真是degree,如今的电子式的温度计,显示的就是“一个”数值,则需要符号℃,°F 的提醒才会想起degree来(图3)。

有可视标度的是真degree,纯数字的就靠外加符号的提醒了

Degree 可用作对一般程度的或者干脆就是直观存在的度量。一个圆, 其上可以划上刻度, 分为360°,那是对每年天数的取整,不具有绝对的意义。在反射光的degree of polarization(偏振度)概念中,degree 反映的是程度,其取值在0到100%之间。Degree 或者grade 还被用来衡量抽象概念的程度,如马克思的《政治经济学批判》一书中有句云:“Der Tauschwert der Waren,so als allgemeine Äquivalenz und zugleich als Grad dieser Äquivalenz in einer spezifischen Ware,oder in einer einzigen Gleichung der Waren mit einer spezifischen Ware ausgedrückt,ist Preis (商品的交换价值,作为一般等价以及在某特定商品中此等价的程度值,或者表达为该商品同某一特定商品的等值关系,是价格)”。在degrees of degeneracy(简并度),degrees of freedom (自由度)等概念中,degree 是个正整数。简并度,即对应同一能量之不同状态的数目,在德语中简并度的说法为Entartungsgrad,可见degree 就是grade。自由度就是描述体系所需的独立变量数。仔细体会这个定义,“ 描述体系所需的独立变量数”,则自由度的多少取决于如何描述。描述一个粒子在三维空间中的位置需要3个变量,则描述由N(N≥3)个粒子组成的刚体的构型就需要6个独立变量,或者说刚体运动的自由度为6。在热力学—统计力学中有所谓的能量均分定理,谓每一个自由度对比热的贡献都是一个R/2,R是气体普适常数。如果不深入了解这个能量均分定理成立的条件,许多人都难以理解水分子H2O何以有18个自由度,而水(蒸汽)的比热也一直是温度的函数。就比热问题而言,自由度是能量表示涉及的自由度,这包括动能涉及的动量自由度和势能涉及的位置自由度。有趣的是,某些晶体的晶格可看作是两套或多套亚格子(sublattice)套构而成的,这也可以看成是一类自由度。炭单层的六角晶格是由两套三角格子构成的,其中电子的波函数可以比照电子自旋写成两分量的形式。

  Degree 作为函数或者方程的指标, 汉译为次( 次幂) 或者阶。比如 , 函 数

  阶级与秩序

  是? th-degree Legendre polynomial,汉译? - 阶勒让德多项式。The degree of a monomial,汉译单项式的次幂,是变量指数的和,比如项x2y3的degree 是5。单变量的代数方程(univariate polynomial equation),以变量的最高次幂命名,简称为一元二次方程(a second degree monic polynomial equation)、三次(third degree)方程等等。当然了,这类方程有专门的、简单的称谓quadratic,cubic,quartic,quintic,sextic polynomial equations,分别为二次、三次、四次、五次和六次代数方程。五次以上的多项式方程不存在代数解(unsolvable by radicals),对这个问题的理解带来了群论的诞生。群论对物理学的影响,怎样高度评价都不为过。物理学最深刻的学问,所谓的the fearful symmetry(了不起的对称性),来自对一元代数方程的摆弄。对一元多项式解的探索,是一场惊心动魄的天才的游戏。与解方程有关的还有topological degree theory。如果方程有某个容易得到的解,degree theory 可用来证明其它非平凡解的存在。Degree theory看起来和fixed-point theory(固定点理论), knot theory( 纽结理论) 有关,具体内容笔者不懂,此处不论。

  4 Order

Order 简直就是一个充斥数学和物理学领域的一个词汇。Order 的西语本意也是“放成一溜儿(straightrow,regular series)”的意思,可作为名字和动词使用。Order frequently refers to orderliness, a desire for organization。存在总是表现出某种意义上的order,这让认识世界成为可能。Objects should be ordered in order to bring in some order and clarity(为了有序和明晰,应该为对象排序),这几乎成了科学家的共识。排序、分类是研究的前期准备。

Order 是个用得太多的词,可以想见它的汉译会花样繁多。Order 在物理语境中一般被译成序,如orderparameter (序参量),topological order(拓扑序),off-diagonal long-rangeorder (非对角长程有序),等等。过去分词形式ordered 用作形容词,如晶体就是ordered structure (有序结构)。Order 的对立面是disorder,formless,最无序的存在是chaos (混沌),指the disorder of formless matter and infinite space (由无形的物质和无限的空间一起构成的无序)。混沌被当作有序之宇宙出现之前的状态,也就是说当前的有序状态是自完全无序中发生的,order out of chaos,哈,多哲学。

Order 出现的语境,更多的还是和排序有关,比如lexicographical ordering (字典编纂采用的排序),electrons are always added in order of increasing energy(电子按照能量递增的顺序被加进来),the order of differentiation or integration( 微分、积分的次序),等。微分、积分以及乘积的顺序有时候没关系(immaterial),有时候关系重大,结果依赖于顺序的就意味着别样的数学结构和物理,比如非交换代数或者物理里的非对易算符。有时候,有些源自order 的词从我们的角度来看,会以为排序的意思不明显,比如coordinates和ordinate 就给译成了坐标和纵坐标(vertical ordinate),但请记住这里的关键是这些数值具有排序的含义在里边。有些地方把笛卡尔坐标系的x-轴称为horizontal ordinate(水平坐标),但其实有时候x-轴的对象不是可排序的量,如职工工资分布图,工资是可排序的,职工则无所谓序。当我们把y-轴理解为ordinate时x-轴有专有名词abscissa,是个标记(锯痕?)而已。此外,如lineardimensions are of the order of L,汉译为线性尺度在L的量级,字面上可看到的意思是若排列的话,该尺度应该可与L 等量齐观的。Order of magnitude,量之大小在序列中的位置,汉译干脆就是数量级。

数字的用法分为ordinal numbers( 序数) 和cardinal number ( 基数),前者明显与order有关,而后者也不免和order 有关。一个集合的元素数目,是集合的cardinality (集合的势),而群的元素数,当然也是cardinality, 又被称为order of group,汉译“群阶”。与此同时,群元素g 的period (周期),即使得gm=1 成立的最小整数m,也称为该群元素的order。群阶和元素的阶反映了群的内在结构。大致说来,一个群,其群阶的因子分解越复杂,这个群的结构就越复杂。不仅群和群元素有order 的概念,群的特征标(character)也有order的说法。

Order 在许多场合下有排序的意思,与其连用的数词应是序数词,如second-order differential equation(二阶微分方程),third-order recurring sequences (二阶递归序列),first-order approximation (一阶近似),等等。物理学的方程被限制在(第)二阶(偏)微分方程的层面,学会了解二阶(偏)微分方程,一个纯数学家也许比许多物理学家更象物理学家。量子力学以及后继的发展被有些人频繁以革命誉之,属不通之论,其governing equations 模样可以变得复杂可怕,但属于二阶微分方程却是不变的。

  5 Rank

中文的秩,序也,次也,可连用为秩序、秩次(官阶的高下),还有秩叙(次序)、秩然(秩序井然)、秩如等词。秩既然用来表示官阶的高下,相应的标识就有秩服(区别官阶的服饰)、秩俸(分级别的俸禄)等委婉语。秩被用来翻译英文数理概念中的rank,日常表述的rank,如military rank (军阶)还是用阶级加以翻译。中国古代的官员有华丽花哨的秩服,今天各国军队的military rank 则用华丽花哨的徽章(insignia)加以标识。

Rank,与range,arrange 同源,意为to arrange in order,特别是排成行。作为及物和非及物动词用,rank 一般是排序的意思,如to rank third on a list ( 位列第三), qualitative ranking of various ions toward their ability to precipitate a mixture of hen egg white proteins (根据使得鸡蛋白沉淀的能力把离子定性地加以排序), Alfred Nobel 在设立诺贝尔奖时将物理学排在第一位(ranked physics as the first one), 等等。Rank 作为名词表示次序,汉语的翻译比较随意, 比如people from allranks of life (各阶层人民),a poet of the first rank ( 一流诗人), 等等。Rank 作为排序的意思强调是排成行,国际象棋棋盘上空格的行与列,英文用的即是rank 与file;相应地,对于矩阵的行与列,英文用的是row与column。

Rank 作为科学概念我们知道有rank of a matrix 矩阵的秩的说法。Rank 是矩阵的一个基本特征。把矩阵的行(列)看成一组矢量,这组矢量中线性无关的矢量的数量即是所谓的rank,也即行(列)矢量所张空间的维度。对于一个矩阵,行和列具有相同的秩,也就是矩阵的秩。考虑到矩阵同线性方程组和线性变换(算符)相联系,因此矩阵A 的秩是线性方程组A·x=c 非简并性的度量,也是线性变换y=A·x 之像空间的维度。

在物理上,我们知道能量是标量(scalar),动量、位置是矢量(vector),而角动量L= r? ×p?是贋矢量等等,这些可以用张量(tensor)的语言统一处理。张量是描述张量之间线性关系的几何对象(有点循环定义的味道哈),张量的rank (也叫order或者degree)就是用来表示张量的数列的维度,也即所需指标的个数。由此可知,能量,动量(位置)和角动量分别是rank-0,rank-1 和rank-2张量。针对某个标量(质量,电荷)的空间分布定义的四极矩张量, Q=∫Ωρ(3rirj - |r|2δij)d3r , 就是无迹的rank-2 张量。电位移D (矢量)对应力张量σ(rank-2张量)的响应,或者应变张量ε(rank-2 张量)对电场E (矢量)的响应,相应的系数就是rank-3张量。

涉及线性行为的代数、变换和算符等概念都会有rank 这个特征,因此有(李)代数的秩,(不可约)张量算符的秩等说法。Module (模式)概念也有秩的说法,比如rank 2 的自由Z-module 不过是Ok = Z ?ωZ 的一种装酷的说法而已,其中ω ∈Ok ,Ok 为一代数整数集合。对椭圆曲线y2=x3+Ax+B 也有rank 这么一个量,比如椭圆曲线y2=x3-2 和y2=x3-4, 其Mordell—Weil rank 就是1。这种秩有什么意思,怎么计算,笔者不懂。