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辛几何&李代数

Harish-Chandra,gelfand

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2016 / . 10 / . 10

两种不同的运算结构加在同一个set上,并且这两种运算还是相容的,那么这两种运算结构其实是相同的,这大概就是Eckmann–Hilton argument。其源于一篇Eckmann与Hilton, P. J在1962年的一篇文章:Group-like structures in general categories I multiplications and comultiplications(看了觉得真的纯粹是Abstract nonsense)上次提到的This Week's Finds栏目的week89和week100亦有这个内容的介绍。

2016 / . 10 / . 09

stack(叠)

堆广群:

一个堆栈stack(叠)属于一个拓扑空间stack(叠)是说如果每一堆广群开放子集stack(叠),类别stack(叠)是一个广群.

代数几何堆栈

stack(叠)

在代数几何Grothendieck的堆栈是指类别特别是,堆栈是一个预层的类别下降后的属性(Brylinski 1993)是合适的:

1)

鉴于拓扑空间X和Y与一个函数stack(叠) X"和两个层A和B在Y,赋值 Y)- > Hom_Z(g ^(1)A、g ^(1)B)" 定义了一个层在Y被称为stack(叠) ;

2)

给定一个开放子集stack(叠)的X,一个当地的满射同胚stack(叠) V" 和一个层A在Y加上一个同构 p_2 ^(1)" stack(叠)左边的图上面,交换然后存在一个层stack(叠)在V(独特的同构)一起同构stack(叠)(1)" 在Y上面,这样对层同构的stack(叠)交换.

 

在这里,stack(叠) Y" 表示投影的三个因素之一stack(叠) Y×Y" 表示投影三个因素之二。

2016 / . 10 / . 08

欧拉系统

 首次引入数学结构Kolyvagin(1990)和定义如下。

欧拉系统是一个有限维p进的代表伽罗瓦群数域K然后欧拉系统T是一合集上同调类欧拉系统一个族的阿贝尔扩展F的K,之间的关系欧拉系统欧拉系统每当欧拉系统(2000年鲁宾,p。4)。

怀尔斯的证明费马最后定理通过Taniyama-Shimura猜想利用欧拉系统。

 

 

 

 

进入数学,一个欧拉系统是一家集相容元素伽罗瓦上同调组索引领域。他们介绍kolyvagin (一千九百九十)在他的工作Heegner点打开(放)模椭圆曲线,这是出于他的早期论文Kolyvagin(1988)和工作塞恩(1988)。欧拉系统命名莱昂哈德-欧拉因为有关欧拉系统各要素的因素相似欧拉的因素一个欧拉乘积

欧拉系统可以用来构造零化子理想类群塞尔默组,从而使边界上他们的订单,这反过来又导致了深刻的定理如一些有限的Tate Shafarevich组。这导致卡尔鲁宾的新证据Iwasawa理论的主要猜想考虑到,由于原来的证明简单Barry Mazur安德鲁·怀尔斯

 

定义

虽然有各种各样的欧拉系统特殊的几种定义,似乎没有出版定义欧拉系统,涵盖了所有已知的情况下。但可以说大致一个欧拉系统是什么,如下:

  • 欧拉系统是通过采集元素CF。这些元素通常是由一定数量的字段索引F含有一些固定的数域K,或通过一些密切相关的如无平方数。元素CF通常是一些伽罗瓦上同调群如H元素FT)的地方T是一个P对进表示绝对伽罗瓦群属于K
  • 最重要的是元素CFCG两个不同的领域F ⊆ G通过一个简单的公式,如
CoRG/F(CG)=∏Q∈Σ(G/F)P(FRQ−一|HoMo(T,o(一));FRQ−一)CF{ \ displaystyle {\ {三} } { } _ G / F(c_ {绿})= \产品_ { Q \ \西格玛(G / F)} P(\ mathrm { _ FR } {重置} ^ { 1 } | {\ {红} { } _ O }(T、O(1));\ mathrm { FR } _ {重置} ^ { 1 } { } })c_ F欧拉系统
这里的“欧拉因子<i>P</i>(τ| <i>B</i>;<i>x</i>)定义为元det(1τ<i>X</i> | <i>B</i>)视为一个元素O [ <i>x</i> ],当<i>X</i>发生作用于<i>B</i>是不一样的(1τ<i>X</i> | <i>B</i>)作为元O.
  • 可能还有其他的条件,CF要满足一致性条件,如。

哉加藤是指在一个欧拉系统要素为“Zeta”算法的化身,介绍房产被欧拉系统为“算术反映事实上这些化身与特殊值欧拉产品”。[ 1 ]

实例

Cyclotomic单位

每一方自由的正整数N选择一个1的N次单位根ζn、与ζmnmζnMN互质。然后分圆欧拉系统是数字α集N= 1−ζN。这些满足的关系

NQ(ζNl)/Q(ζl)(αNl)=αNFl−一{ \ displaystyle n_ { Q(\ Zeta _ { NL })、Q(\ Zeta _ { L })}(α_ { NL })=α_ { } { } ^ f_ { 1 } } l欧拉系统
αNl≡αN{ \ displaystyleα_ { NL } \当量α_ { } }欧拉系统以上所有的素数模l

哪里l是一个典型的不分NFl是一种与Frobenius自同构Fl(ζNζ)=l
N
。Kolyvagin用这个欧拉系统给的一个初等证明Gras猜想

高斯和

椭圆单元

Heegner点

Kolyvagin构建了一个欧拉系统从Heegner点椭圆曲线,并以此来表明,在某些情况下Tate Shafarevich集团是有限的。

加藤的欧拉系统

加藤的欧拉系统包括在发生某些元素代数k-理论属于模块化曲线。这些元素命名beilinson元素之后亚力山大beilinson谁介绍他们(1984)beilinson是由Kazuya Kato在使用Kato(2004)在Barry Mazur的一个证明Iwasawa理论的主要猜想椭圆曲线[ 2 ]

 

 

2016 / . 10 / . 08

数学与音乐

http://math.cersp.com/Magazine/BKDD/200704/4285_2.html

 

片段:

...

看一下乐器之王 ———钢琴的键盘吧,其上也恰好与斐波那契数列有关我们知道在钢琴的键盘上,从一个 C 键到下一个 C 键就是音乐中的一个八度音程(如图1) . 其中共包括13 个键,个白键和个黑键 , 5 个黑键分成 2组 ,一组有 2 个黑键 ,一组有 3 个黑键.235813 恰好就是著名的斐波那契数列中的前几个数.

数学与音乐

...

在这里我们需要提及十九世纪的一位著名的数学家,他就是约瑟夫.傅里叶(Joseph Fourier) ,正是他的努力使人们对乐声性质的认识达到了顶峰他证明了所有的乐声不管是器乐还是声乐都可以用数学式来表达和描述,而且证明了这些数学式是简单的周期正弦函数的和[1].

...


由一段三角函数图像出发,我们只要对它进行适当的分段,形成适当的小节,并在曲线上选取适当的点作为音符的位置所在,那么就可以作出一节节的乐曲由此可见,我们不仅能像匈牙利作曲家贝拉 .巴托克那样利用黄金分割来作曲,而且也可以从纯粹的函数图像出发来作曲这正是数学家约瑟夫.傅里叶的后继工作,也是其工作的逆过程其中最典型的代表人物就是20 世纪20 年代的哥伦比亚大学的数学和音乐教授约瑟夫 .希林格(Joseph Schillinger) ,他曾经把纽约时报的一条起伏不定的商务曲线描述在坐标纸上,然后把这条曲线的各个基本段按照适当的、和谐的比例和间隔转变为乐曲,最后在乐器上进行演奏结果发现这竟然是一首曲调优美、与巴赫的音乐作品极为相似的乐曲[2] !这位教授甚至认为,根据一套准则,所有的音乐杰作都可以转变为数学公式他的学生乔治 .格什温(George Gershwin) 更是推陈出新创建了一套用数学作曲的系统据说著名歌剧《波吉与贝丝》(Porgy and Bess) 就是他使用这样的一套系统创作的.


 




  转自 数学的美学世界 不错  转自 ∑寒♀墅
2016 / . 10 / . 08

数学符号英文说法和发音大全!


Symbols 

+plus/'plʌs/
-minus/'maɪnəs/
±plus or minus/'plʌs  ɔ:  'maɪnəs/
xmultiplied by/'mʌltɪplaɪd baɪ/
/over; divided by/'əʊvə/ /dɪ'vaɪdəd/
÷divided/dɪ'vaɪdəd/
=equals/'ɪ:kwəlz/
approximately, similar/ə'prɒksɪmətlɪ/ /'sɪmɪlə tʊ/
equivalent to; identical/ɪk'wɪvələnt tʊ/ /aɪ'dentɪkl tʊ/
≠ not equal to/'nɒt 'iːkwəl tʊ/
greater than/'greɪtə ðən/
less than/'les ðən/
≥ greater than or equal to/'greɪtə ðən ər 'iːkwəl tʊ/
≤ less than or equal to/'les ðən ər' iːkwəl tʊ/
not greater than/'nɒt 'greɪtə ðən/
not less than/'nɒt 'les ðən/
much greater than/'mʌʧ 'greɪtə ðən/
much less than/'mʌʧ 'les ðən/
perpendicular to/pɜːpən'dɪkjʊlə tʊ/
∣∣parallel to/'pærəlel tʊ/
not equivalent to, not identical to/'nɒt ɪk'wɪvələnt tʊ/ /'nɒt aɪ'dentɪkl tʊ/
≄≉not similar to/'nɒt 'sɪmɪlə tʊ/
²squared/'skweəd/
³cubed/'kju:bd/
4to the fourth;  to the power four/tə ðə 'fɔːθ/ /te ðə 'pɑʊə fɔː/
n to the n; to the nth; to the power n/tə ðɪ en; tə dɪ enθ; tə ðə pɑʊər en/
root; square root/ru:t/ /skweə ru:t/
cube root/kju:b ru:t/
fourth root /fɔːθ ruːt/
!factorial/fæk'tɔːrɪəl/
%percent/pə'sent/
infinity/ɪn'fɪnətɪ/
varies as; proportional to/'vɛərɪz/  /prə'pɔːʃənəl/
˙dot/dɒt/
¨double dot/dʌbl dɒt/
:is to, ratio of/reɪʃɪəʊ/
f(x) fxf; function/ef/ /'fʌŋkʃən/
f'(x)f dash; derivative /dæʃ/ /dɪ'rɪvətɪv/
f''xf double-dash; second derivative/'dʌbl dæʃ/ /'sekənd dɪ'rɪvətɪv/
f'''(x)f triple-dash; f treble-dash; third derivative/'trɪpl dæʃ/ / trebl dæʃ/ /θɜ:d dɪ'rɪvətɪv/
f(4)f four; fourth derivative /fɔːθ dɪ'rɪvətɪv/
partial derivative, delta/paːʃəl dɪ'rɪvətɪv/ /deltə/
integral/'ɪntɪgrəl/
sum/sʌm/
w.r.t.with respect to/wɪð 'rɪspekt/
loglog /lɒg/
log₂xlog to the base 2 of x/lɒg tə ðə beɪs tu: əv eks/
therefore/'ðɛəfɔː/
because/bɪ'kɒz/
gives, leads to, approaches/gɪvz/ /li:dz tʊ/ /əprəʊʧəz/
/per/pɜ:/
belongs to; a member of;  an element of/bɪ'lɒŋz/ /'membə/ /'elɪmənt/
does not belong to; is not a member of; is not an element of/nɒt bɪ'lɒŋ/ /nɒt ə 'membə/ /nɒt ən 'elɪmənt/
contained in;  a proper subset of/kən'teɪnd ɪn/ /'prɒpə 'sʌbset/
contained in; subset /'sʌbset/
intersection/'ɪntəsekʃən/
union/'juːnɪən/
for all/fə rɔ:l/
cos xcos x; cosine x/kɒz/
sin xsine x/saɪn/
tan xtangent x/tan/
cosec xcosec x/'kəʊsek/
sinh xshine x/'ʃaɪn/
cosh xcosh x/'kɒʃ/
tanh xthan x/θæn/
|x|mod x; modulus x/mɒd/ /'mɒdjʊləs/
degrees Centigrade/dɪ'gri:z 'sentɪgreɪd/
degrees Fahrenheit/dɪ'gri:z 'færənhaɪt/
°Kdegrees Kelvin/dɪ'gri:z 'kelvɪn/
0°K, –273.15 °Cabsolute zero/absəlu:t zi:rəʊ/
mmmillimetre/'mɪlɪmiːtə/
cmcentimetre/'sentɪmiːtə/
cc, cm³cubic centimetre, centimetre cubed/'kjuːbɪk 'sentɪmiːtə/ /'sentɪmiːtə 'kju:bd/
mmetre/'miːtə/
kmkilometre/kɪ'lɒmɪtə/
mgmilligram/'mɪlɪgræm/
ggram/græm/
kgkilogram/'kɪləgræm/
ACA.C./eɪ si:/
DCD.C./di: si:/ 




Examples 

x + 1x plus one
x -1x minus one
x ± 1x plus or minus one
xyx y;  x times y; x multiplied by y
(x — y)(x + y) x minus y, x plus y
x/yx over y;  x divided by y;
x ÷ yx divided by y
x = 5x equals 5;  x is equal to 5
x ≈ yx is approximately equal to y
x ≡ yx is equivalent to y;  x is identical with y
x ≠ yx is not equal to y
x > y x is greater than y
x < y x is less than y
x ≥ yx is greater than or equal to y
x ≤ yx is less than or equal to y
0 < x < 1zero is less than x is less than 1; x is greater than zero and less than 1
0 ≤ x ≤ 1zero is less than or equal to x is less than or equal to 1; x is greater than or equal to zero and less than or equal to 1
x squared
x cubed
x4x to the fourth;  x to the power four
xnx to the n; x to the nth;  x to the power n
x-nx to the minus n;  x to the power of minus n
root x; square root x; the square root of x
the cube root of x
the fourth root of x
 the nth root of x
(x + y)²x plus y all squared
(x/y)²x over y all squared
n!n factorial; factorial n
x%x percent
infinity
x ∝ yx varies as y; x is (directly) proportional to y
x ∝ 1/yx varies as one over y; x is indirectly proportional to y
x dot
x double dot
f(x) fxf of x; the function of x
f'(x)f dash x; the (first) derivative of with respect to x
f''xf double-dash x; the second derivative of f with respect to x
f'''(x)f triple-dash x; f treble-dash x; the third derivative of f with respect to x
f(4)f four x; the fourth derivative of f with respect to x
∂vthe partial derivative of v
∂v∂θdelta v by delta theta, the partial derivative of v with respect to θ
²v∂θ²delta two v by delta theta squared; the second partial derivative of v with respect to θ
dvthe derivative of v
dvd v by d theta, the derivative of v with respect to theta
d²vdθ²d 2 v by d theta squared, the second derivative of v with respect to theta, 
integral
 integral from zero to infinity
sum
 the sum from i equals 1 to n
w.r.t.with respect to
logeylog to the base e of y; log y to the base e; natural log (of) y
therefore
because
gives, approaches
Δx → 0delta x approaches zero
limΔx→0the limit as delta x approaches zero, the limit as delta x tends to zero
LtΔx→0the limit as delta x approaches zero, the limit as delta x tends to zero
m/secmetres per second
x ∈ Ax belongs to A; x is a member of A; x is an element of A
x∉ Ax does not belong to A; x is not  a member of A; x is not an element of A
A⊂ BA is contained in B; A is a proper subset of B
A ⊆ BA is contained in B; A is a subset of B
A ⋂ BA intersection B
A ⋃ BA union B
cos xcos x; cosine x
sin xsine x
tan xtangent x, tan x
cosec xcosec x
sinh xshine x
cosh xcosh x
tanh xthan x
|x|mod x; modulus x
18 ℃eighteen degrees Centigrade
70 ℉seventy degrees Fahrenheit



Greek alphabet 

Ααalpha/'ælfə/
Ββbeta/'bi:tə/
Γγgamma/'gæmə/
Δδdelta/'deltə/
Εεepsilon/'epsilən/
Ζζzeta/'ziːtə/
Ηηeta/'iːtə/
Θθtheta/'θiːtə/
Ιιiota/aɪ'əʊtə/
Κκkappa/'kæpə/
Λλlamda/'læmdə/
Μμmu/'mjuː/
Ννnu/'njuː/
Ξξxi/'ksaɪ/
Οοomicron/'əʊmɪkrən/
Ππpi/'paɪ/
Ρρςrho/'rəʊ/
Σσsigma/'sɪgmə/
Ττtau/'tɑʊ/
Υυupsilon/'jʊpsɪlən/
Φφphi/'faɪ/
Χχchi/'kaɪ/
Ψψpsi/'psaɪ/
Ωωomega/'əʊmɪgə/


Roman alphabet 

Aa/'eɪ/
Bb/'biː/
Cc/'siː/
Dd/'diː/
Ee/'iː/
Ff/'ef/
Gg/'ʤiː/
Hh/'eɪʧ/
Ii/'aɪ/
Jj/'ʤeɪ/
Kk/'keɪ/
Ll/'el/
Mm/'em/
Nn/'en/
Oo/'əʊ/
Pp/'piː/
Qq/'kjuː/
Rr/'ɑː/
Ss/'es/
Tt/'ti:/
Uu/'ju:/
Vv/'vi:/
Ww/'dʌbljuː/
Xx/'eks/
Yy/'waɪ/
Zz/'zed/


Fractions 

½a half/ə 'hɑ:f/
¼a quarter/ə 'kwɔːtə/
¾three quarters/θriː 'kwɔːtəz/
a third/ə 'θɜ:d/
two thirds/tu: 'θɜ:dz/
a fifth/ə 'fɪfθ/
two fifths/tu: 'fɪfθs/
three fifths/θriː 'fɪfθs/
four fifths/fɔː 'fɪfθs/
a sixth/ə 'sɪksθ/
five sixths/faɪv 'sɪksθs/
an eighth/ən 'eɪtθ/
three eighths/θriː 'eɪtθs/
five eighths/faɪv 'eɪtθs/
seven eighths/sevən 'eɪtθs/


Decimal Fractions 

0.1nought point one/nɔ:t pɔɪnt wʌn/
0.01nought point oh one/nɔ:t pɔɪnt əʊ wʌn/
0.0001nought point oh oh oh one/ten pɔɪnt əʊ əʊ əʊ wʌn/
1.1one point one/wʌn pɔɪnt wʌn/
1.2one point two/wʌn pɔɪnt tu:/
1.23one point two three/wʌn pɔɪnt tu: θri:/
1.0123one point oh one two three/wʌn pɔɪnt əʊ wʌn tu: θri:/
10.01ten point oh one/ten pɔɪnt əʊ wʌn/
21.57twenty-one point five seven/'twentɪ wʌn pɔɪnt  faɪv 'sevən/
2.6666666666....two point six recurring/tu: pɔɪnt  sɪks rɪ'kɜ:rɪŋ/
2.612361236123...two point six one two three recurring/tu: pɔɪnt  sɪks wʌn tu: θri: rɪ'kɜ:rɪŋ/
2.5 milliontwo point five million/tu: pɔɪnt  faɪv 'mɪljən/


SI Units: Prefixes 

10-24yoctoy/'jɒktəʊ/
10-21zeptoz/'zeptəʊ/
10-18attoa/'atəʊ/
10-15femtof/'femtəʊ/
10-12picop/'pi:kəʊ/
10-9nanon/'nanəʊ/
10-6microµ/'maɪkrəʊ/
10-3millim/'mɪlɪ/
10-2centic/'sentɪ/
10-1decid/'desɪ/
103kilok/'kɪləʊ/
106megaM/'megə/
109gigaG/'gɪgə/
1012teraT/'terə/
1015petaP/'petə/
1018exaE/'eksə/
1021zettaZ/'zetə/
1024yottaY/'jɒtə/
1027xonaX/'zəʊnə/
1030wekaW/'wekə/
1033vundaV/'vʊndə/


Cardinal Numbers 

1one/wʌn/
2two/tu:/
3three/θri:/
4four/fɔː/
5five/faɪv/
6six/sɪks/
7seven/'sevən/
8eight/eɪt/
9nine/naɪn/
10ten/ten/
11eleven/ɪ'levən/
12twelve/twelv/
13thirteen/θɜ:'ti:n/
14fourteen/fɔː'ti:n/
15fifteen/fɪf'ti:n/
16sixteen/sɪkst'i:n/
17seventeen/seven'ti:n/
18eighteen/eɪ'ti:n/
19nineteen/naɪn'ti:n/
20twenty/'twentɪ/
21twenty-one/twentɪ'wʌn/
22twenty-two/twentɪ'tu:/
23twenty-three/twentɪ'θri:/
24twenty-four/twentɪ'fɔː/
25twenty-five/twentɪ'faɪv/
26twenty-six/twentɪ'sɪks/
27twenty-seven/twentɪ'sevən/
28twenty-eight/twentɪ'eɪt/
29twenty-nine/twentɪ'naɪn/
30thirty/'θɜ:tɪ/
40forty/'fɔːtɪ/
50fifty/'fɪftɪ/
60sixty/'sɪkstɪ/
70seventy/'sevəntɪ/
80eighty/'eɪtɪ/
90ninety/'naɪntɪ/
100a hundred; one hundred/ə 'hʌndrəd/ /wʌn 'hʌndrəd/
101a hundred and one/ə 'hʌndrəd ən wʌn/
102a hundred and two/ə 'hʌndrəd ən tu:/
110a hundred and ten/ə 'hʌndrəd ən ten/
120a hundred and twenty/ə 'hʌndrəd ən 'twentɪ/
200two hundred/tu: 'hʌndrəd/
300three hundred/θri:  'hʌndrəd/
400four hundred/fɔː 'hʌndrəd/
500five hundred/faɪv 'hʌndrəd/
600six hundred/sɪks 'hʌndrəd/
700seven hundred/'sevən 'hʌndrəd/
800eight hundred/eɪt 'hʌndrəd/
900nine hundred/naɪn 'hʌndrəd/
1 000a thousand, one thousand/ə θ'ɑʊzənd/ /wʌn 'θɑʊzənd/
1 001a thousand and one/ə 'θɑʊzənd ən wʌn/
1 010a thousand and ten/ə 'θɑʊzənd ən ten/
1 020a thousand and twenty/ə 'θɑʊzənd ən 'twentɪ/
1 100one thousand, one hunded/wʌn 'θɑʊzənd wʌn 'hʌndrəd/
1 101one thousand, one hundred and one/wʌn 'θɑʊzənd wʌn 'hʌndrəd ən wʌn/
1 110one thousand, one hundred and ten/wʌn 'θɑʊzənd wʌn 'hʌndrəd ən ten/
9 999nine thousand, nine hundred and ninety-nine/naɪn 'θɑʊzənd naɪn 'hʌndrəd ən 'naɪntɪ 'naɪn/
10 000ten thousand/ten 'θɑʊzənd/
15 356fifteen thousand, three hundred and fifty six/'fɪfti:n 'θɑʊzənd θri: 'hʌndrəd ən 'fɪftɪ sɪks/
100 000a hundred thousand/ə 'hʌndrəd 'θɑʊzənd/
1 000 000a million/ə 'mɪljən/
100 000 000a hundred million/ə 'hʌndrəd 'mɪljən/
1 000 000 000a billion/ə 'bɪljən/
100 000 000 000a hundred billion/ə 'hʌndrəd 'bɪljən/
1 000 000 000 000a trillion/ə 'trɪljən/
1 000 000 000 000 000a quadrillion/ə kwɒdrɪljən/
1 000 000 000 000 000 000a quintillian/ə kwɪn'tɪljən/
1 000 000 000 000 000 000 000a sextillion/ə seks'tɪljən/
1 000 000 000 000 000 000 000 000a septillion/ə sep'tɪljən/
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000an ocillion/ən ɒkt'tɪljən/
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000a nonillion/ə nɒn'ɪljən/
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000a decillion/ə de'sɪljən/


Ordinal Numbers 

1stfirst/fɜ:st/
2ndsecond/'sekənd/
3rdthird/θɜ:d/
4thfourth/fɔ:θ/
5thfifth/fɪfθ/
6thsixth/sɪksθ/
7thseventh/'sevənθ/
8theighth/eɪtθ/
9thninth/naɪnθ/
10thtenth/tenθ/
11theleventh/ɪ'levənθ/
12thtwelfth/'twelfθ/
13ththirteenth/θɜ:'ti:nθ/
14thfourtheenth/fɔː'ti:nθ/
15thfidteenth/fɪf'ti:nθ/   
16thsixteenth/sɪks'ti:nθ/
17thseventeenth/seven'ti:nθ/
18theighteenth/eɪ'ti:nθ/
19thnineteenth/naɪn'ti:nθ/
20thtwentieth/'twentɪəθ/
21sttwenty-first/twentɪ'fɜ:st/
22ndtwenty-second/twentɪ'sekənd/
23rdtwenty-third/twentɪ'θɜ:d/
24thtwenty-fourth/twentɪ'fɔ:θ/
25thtwenty-fifth/twentɪ'fɪfθ/
26thtwenty-sixth/twentɪ'sɪksθ/
27thtwenty-seventh/twentɪ'sevənθ/
28thtwenty-eighth/twentɪ'eɪtθ/
29thtwenty-ninth/twentɪ'naɪnθ/
30ththirtieth/'θɜːtɪəθ/
31stthirty-first/θɜːtɪ'fɜ:st/
40thfortieth/'fɔ:tɪəθ/
50thfiftieth/'fɪftɪəθ/
100thhundredth/'hʌndrədθ/
1 000ththousandth/'θɑʊzəndθ/
1 000 000thmillionth/'mɪljənθ/

  转自 数学的美学世界
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