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辛几何&李代数

Harish-Chandra,gelfand

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2016 / . 10 / . 08

微生物研究或可揭示股市崩溃奥秘 (Science)

美国纽约股市骤然崩溃,股价掉落谷底——这是发生在1929年10月24日的真实历史;

 

复活节岛一度辉煌,却在短时间内森林灭绝,文明绝迹。

 

金融系统、生态系统是典型的复杂系统,其“崩溃”看起来总像是突然发生的。这样的“崩溃”即将发生之前会有怎样的迹象?换言之,在股市行将崩溃、复活节岛森林开始灭绝时发生了什么?

 

人们对此众说纷纭,却苦于无法验证。

 

现在,基于菌群灭绝前的实验研究验证了从原则上观测到预警信号的可能性,相关研究成果日前发表于美国《科学》杂志。

 

实验室的新发现

 

该论文第一作者及主要负责人是我国学者、美国麻省理工学院博士戴磊。戴磊及其同事培养了多个酵母的种群,这些种群中的每一个都有着不同的创始菌数;他们发现,创始菌数过少的酵母菌会走向灭绝,而那些有着较多创始菌的种群往往会成长至一个稳定的平衡点。

 

他们还观察到,那些难逃厄运的酵母菌种群比那些兴旺生长的酵母菌种群会更为缓慢地从干扰中恢复,特别是当它们正在缩小的数目到达了一个不可逆转的点的时候。

 

一个系统在其接近某种灾难性临界点时,会更为缓慢恢复的理念被称作临界慢化。论文介绍,基于微生物种群的研究为临界慢化是复杂体系中发生重大转变之前的一个普遍现象的概念提供了支持。电子科技大学互联网科学中心主任周涛表示:“这是一篇非常有趣的论文,戴磊的工作也非常漂亮!”

 

该发现意味着在实验上成功观测到了一个生物系统的临界点,并且初步揭示了该系统在临界点附近的行为规律。

 

在中国系统工程学会副理事长、中国工程院院士王众托看来,该发现“为理论研究提供了一个实验验证,对复杂系统接近临界点的预警可能性提供了一个实例”。

 

有心“插柳”的收获

 

据了解,近年来学术界关于复杂系统临界点前预警信号的理论研究很多,但因经验性研究的缺位,既无法证伪也无法证实。

 

在接受《中国科学报》记者采访时,戴磊表示,野外观测等经验性研究因耗时久远,确实成为相关研究的一个瓶颈。

 

相比之下,基于菌群的实验可操控性好、周期短、可定量,对于现有的研究是一个非常好的补充。他说:“主要的难点在于如何在实验室中实现类似于动物种群生长的动力机制和灭绝前的临界现象。”

 

戴磊一直在结合微生物实验和动力系统理论来定量研究种群灭绝前的动力机制,他和同事发现酵母种群在蔗糖中的合作代谢机制其实类似于动物种群的种内合作行为,成功地在实验室的酵母种群中实现了被称为“Allee效应”的种群动力学现象。

 

正是这一发现激发了他利用实验室的微生物菌群系统来实现最简单的临界点,并在其基础上来检验一些通用的动力系统理论的灵感。

 

王众托表示该研究不仅是对生态保护,实际上还对从事生物系统研究的科学家有所启发。

 

看来,这一有心“插柳”,开启了复杂系统研究的新视角。

 

更多奥秘待揭示

 

金融系统、生态系统、社会系统等是典型的复杂系统。研究证实,大多数的复杂系统都存在一个临界点,在临界点附近,系统的状态会发生跃变。

 

有些跃变对人类是不好的,例如金融市场崩溃;有些则反之,例如传染病有效控制等。因此,戴磊说:“如果能通过监测一个系统的状态来判断其距离临界点的距离,就可能对不好的变化作出预警。”

 

“我们基于菌群灭绝前的实验研究,验证了从原则上观测到预警信号的可能性。”戴磊认为,由于这些信号并不基于某个系统特定的动力机制,具有相当的普适性,因此即使是迥然不同的两个复杂系统,他们的管理者都能应用这些预警信号来实时评估系统的脆弱性。

 

在王众托看来,该研究在理念上也提供了在技术、经济、社会等领域中有关突变的预警研究之可能途径。

 

然而,周涛表示并不认为这类研究可以应用到真实的经济预警中,不过,“这依然不影响这篇文章的价值”。

 

目前,戴磊及其同事已经开始着手考虑验证能否利用空间分布的数据来预警临界点,验证基于时间序列的预警信号的普适性和其在恶化环境中的可观测性。

 

有关研究将揭示复杂系统更多奥秘,或可为避免复杂系统的“崩溃”提供更多可能。(来源:中国科学报 徐雁龙)

  转自 数学的美学世界   转自 物理小世界
2016 / . 08 / . 21

Higgs机制和引力场

因为宣传中希格斯粒子是赋予粒子质量的,而质量和引力又有关系,所以会有人把希格斯粒子和引力子扯到一起。但它们之间有很多的不同,希格斯粒子是标量粒子,自旋为0。引力子是规范粒子,自旋为2。 这里我稍稍偏题一下,最基础的介绍一下被传的很热的希格斯机制(上帝粒子),了解了希格斯机制是如何赋予质量的之后有助于澄清一些误解吧。Higgs机制和引力场
好像知乎上还没有类似的详细回答,就借题发挥一下,这也不算是科普了。希望高人们指正。
自发对称性破缺是一个理解希格斯机制的必不可少的概念,通常科普的来说,自发对称性破缺就是对称性的降低,但是这种降低不是人为的加入一些项来破坏拉式量也就是运动方程的对称性。一个形象的例子就是在我们吃饭的时候,如果每个人左右都有一双筷子,那么这个时候就是左右对称的,如果其中一个人拿了右手边的筷子,那么以后的每个人只能选择右手边的筷子(左手的被拿走了ing),所以左右对称性发生的了破缺。
探讨对称性自发破缺喜欢用Higgs机制和引力场理论进行探讨,容易直观的看出到底发生了什么,N=2的时候拉式量是这样的
Higgs机制和引力场,Higgs机制和引力场
取N=2主要是为了体现出连续对称性,我们也可以用极坐标写一下
Higgs机制和引力场(1)
这一步是trivial的,只用了协变导数的定义Higgs机制和引力场
我们还可以把矢量场变一下Higgs机制和引力场. 注意这样的变换并不影响场强Higgs机制和引力场.


话分两头,再来看基态的改变,这里的trick是把平方项符号改了一下,势能极小值也就不在0点而是在某个半径处,严格的说是真空具备了非0的期望值。由于二维的情况,势能极小值也就是真空在一圈的范围内都有就是酱。基态由于这种简并,当粒子选择一个真空状态的时候,基态对称性发生破缺(因为选择了一个特定的方向,就不再具有旋转不变性了),注意这时作用量的对称性还没有变。量子场论中中有如下结论,一种连续对称性的破缺会产生无质量的戈德斯通粒子,粒子的数目是对称性破缺前后对称群的生成元的差,比如如果从SO(3)破缺到O(2),就产生2个goldstone粒子。这里破缺了O(2)对称性,产生了一个goldstone粒子,就是Higgs机制和引力场场. 为了避免篇幅过长,这一段证明省略,不过并不复杂。

通常,基态下粒子都是在势能的最低点的。再考虑到量子涨落,基态的场可以写成Higgs机制和引力场,其中v是真空的非0期望值。 把它强行带入上面极坐标的那个式子(1)中,计算麻烦一点,不过是直观的。可以发现后来的矢量场Higgs机制和引力场不再是无质量的了,和它相伴随的是一个有质量的标量场Higgs场Higgs机制和引力场, 这个HIggs场对应的粒子就是通常所称的上帝粒子。也可以得到它的质量在加速器中找。

总结一下发生了什么,考虑一个规范场和一个标量场的耦合系统,基态对称性发生自发破缺导致产生了无质量的goldsotne粒子,goldstone粒子被规范场吃掉(Higgs机制和引力场那一步),吃掉之后原来无质量的规范粒子具有了质量,同时产生了一个希格斯场,所以希格斯场是和规范粒子产生质量相伴的。找到了希格斯场,也就证实了这个赋予规范粒子质量的机制是正确的。2012年的一个大新闻就是关于这个的。

 

最后提几点讨论:

1 这里用这种Higgs机制和引力场理论的粒子只是toy model,也就是说可以很方便的理解这个机制。自发对称性破缺来自于基态简并,可以完全脱离这个model独立的定义,只不过抽象一些而已。

2 Higgs场是赋予规范粒子质量的,比如杰出的杨振宁先生提出的YangMills场之前没人重视的原因也就是因为规范粒子必须是无质量的,而实验中这种传递弱相互作用的介子通常都是有质量的。自发对称性破缺和HIggs机制恰好给这提供了一个很好的解释,杰出的温伯格先生也就此提出了电弱统一模型。

3 Higgs机制和引力场中说的那个质量我暂时还没有看出什么关系,尽量不要把科普说的质量的起源外延的过大吧,不然陷入民科思维就不好了。不过以后会是什么样子也还不好说,期待。

4 SU(5)等统一模型都失败了,下一步统一四种基本相互作用的出路在哪里?

2016 / . 08 / . 21

灰洞

霍金提出“灰洞”理论是为了解决“防火墙悖论”问题而在“反德西特时空”中的模拟设定,并非黑洞真不存在,只是为了化解广义相对论与量子物理在黑洞中的矛盾。

中文名
灰洞
外文名
grey hole
概念提出者
史蒂芬·威廉·霍金
提出时间
2014年1月24日

 

史蒂芬·威廉·霍金(Stephen Hawking)身残志坚,因提出宇宙黑洞理论而举世闻名。据英国《每日邮报》2014年1月24日报道,在一篇在线发表的论文中,表示“宇宙中没有黑洞”,存在“灰洞”。这个理论震惊了物理学界,乃至整个世界。[1] 

据国外媒体报道,斯蒂芬·霍金的黑洞理论为宇宙中最致密的天体行为提供了一种可能性的解释,日前这位大科学家在其作品中提到,宇宙中没有“黑洞”,有的只有“灰洞”。该理论来源于一篇名为《黑洞的信息保存与气象预报》的调查论文中,是霍金对黑洞的研究成果之一,他认为黑洞其实是一个拥有极端物理环境的“灰色地带”,质能进入黑洞中后还会“回到”宇宙中,我们此前对黑洞的边界理论认识是有待改善的,黑洞或不会永久性地保存质能信息,在某个时候会“释放”出来,暂时称该行为为“黑洞的蒸发”。也有部分学者认为黑洞通过虫洞连接白洞,黑洞利用强大的引力吸收质能,又从白洞中喷发出来。

霍金辐射的黑洞理论,这是从量子效应的角度出发来研究黑洞,霍金辐射认为黑洞是可以失去质量,因此一些非常小的“迷你黑洞”可“蒸发”消失,该理论证明了黑洞并不是宇宙中最自私的天体,黑洞在吸积物质后可通过量子行为向宇宙空间中释放出内部的质能,天文学家也在寻找新的方法来探测这种行为。

防火墙悖论

防火墙悖论”问题于新理论中设定“黑洞不存在”,其并非真不存在。如果霍金的理论正确,黑洞核心的奇点根本就不存在,甚至不排除“一切事物原则上能逃离黑洞”这种极端局面的可能性。霍金说:“在经典理论中,黑洞不会放过任何东西,量子理论允许能量和信息逃离黑洞。”因为现代量子物理学认定这种物质信息是永远不会完全消失的,这种说法与量子力学的相关理论出现相互矛盾之处。

30多年来,霍金试图以各种推测来解释这一自相矛盾的观点。霍金表示,黑洞中



量子运动是一种特殊情况,由于黑洞中的引力非常强烈,量子力学在此时已经不再适用了,霍金的这种说法并没有让科学界众多持怀疑态度学者信服。

现在看来,霍金终于给了这个当年自相矛盾的观点一个更具有说服力的答案。霍金称,黑洞从来都不会完全关闭自身,它们在一段漫长的时间里逐步向外界辐射出越来越多的热量,随后黑洞将最终开放自己并释放出其中包含的物质信息。

霍金认为,受到黑洞引力的影响,能量和物质先是靠近——不会到达——黑洞中心,最终还会被释放出去。不过,它们的信息在黑洞中不会毁灭,可被完全打乱,逃离之后面目全非,几乎无法还原。

美国波士顿大学的布雷彻(K.BRECHER)在1993年6月提出了存在有灰洞(GRAYHOLE)的可能性:大质量星的坍缩不足以形成黑洞,可有可能形成比典型中子星有较小的半径和较大的密度的星体。布雷彻认为黑洞的质量大于3倍太阳质量,这样,在某些情形便取消了对黑洞的需要。灰洞具有不同于正常中子星的性质,这来源于两者不同的坍缩程度。广义相对论预言,坍缩到足够程度的恒星其外围将形成一个光子层,在该层内的光线绕星体运行,典型中子星光子层的半径比前者为少,同时,坍缩量的强大引力也导致漏出的辐射失去能量。布雷彻的计算表明,受上述两种作用的影响,从灰洞发出的辐射只在百分之四十能离开灰洞向空间辐射。灰洞之名称由此而来。在已发现的6个X射线双星系统中(上述天鹅座X-1和LMCX-3就是其中的两个),在可见光波段看不见的大于太阳质量3倍的一个星体可能就是很暗的灰洞,而不是黑洞。

2015 / . 04 / . 08

量子计算新突破

 

时间:2012-09-20

来源:环球科学(huanqiukexue.com)

结绳记事,是人类早期文明的重要活动,也是计算的原始形式之一。几千年过去了,让我们重拾祖先结绳记事的本领,以二维电子气中非凡粒子的世界线做绳,一起进入拓扑量子计算这个神奇的领域。

  

 

 

  量子计算机有望完成一些人们认为在普通计算机上无法完成的计算任务,其中包括一些在我们生活中非常重要的计算。例如,如果一台计算机能够在合理的时间内,将一个大数做因子分解,那么广泛使用的加密方法就会被破解。几乎所有用于高度机密数据的加密方法,都会在某种量子算法面前变得不堪一击。

  量子计算机之所以拥有超群的计算能力,是因为它所处理的信息表示为量子比特(qubit),而不是表示为比特形式。普通的经典比特要么是0,要么是1, 而且标准的微晶片体系结构严格地保证着两者的区别。相比之下,量子比特却可以处在所谓的叠加态,即0和1的部分同时存在。我们可以把量子比特的可能状态看作是球面上的一点。北极是经典计算中的1,南极是0,两极之间的所有点就是0和1的所有可能叠加[参见《科学美国人》2002年11月号迈克尔·A·尼尔森所著《量子信息学的奥秘》一文]。量子比特能在整个球面上自由漫游,使量子计算机获得了它们独特的能力。

  遗憾的是,建造量子计算机看起来极其困难。量子比特一般表示为俘获粒子(比如单原子离子或电子)的某种量子属性。但它们的叠加态极其脆弱,与环境(包括构成计算机本身的一些材料)之间非常微小的杂散作用也可能破坏这种状态。如果量子比特不能与环境有效隔离,这些扰动就会给计算带来差错。

  因此,量子计算机的大部分设计方案都集中在寻求方法,尽量减小量子比特与环境的相互作用上。研究者相信,如果差错率能够降低到大约每10,000步一个差错,那么纠错过程就能发挥作用,补偿单个量子比特的衰减。要制造出能运作的量子计算机,既需要大量足够独立的量子比特,又需要达到这么低的差错率,这是一项极其艰巨的任务,物理学家还远远没有做到。

  为了建造量子计算机,一些研究者正竭力探索一条迥然不同的途径。他们把量子状态和物理系统的拓扑性质巧妙地联系起来。拓扑是数学的一门分科,它是指研究对象在诸如拉伸、压缩和弯曲等作用下发生连续形变时(不做剪切或连接的情况下),性质保持不变;其中也包括了纽结理论。小小的扰动不会改变拓扑性质。比如,一条打了结的绳圈在拓扑上不同于未打结的绳圈[参见17页图]。要把绳圈变成带有纽结的绳圈,惟一的办法就是将绳剪断,打上结,再把断头重新接起来。把拓扑量子比特转换成不同的状态,也需要某种类似的强烈作用,来自环境的微小扰动无法产生这样的效果。

  乍看上去,拓扑量子计算机根本不像计算机。它在编成辫的绳上进行计算,不过所用的绳子不是一般意义上的普通绳子,而是物理学家所钟情的世界线(world line)。世界线代表着粒子在时空中的运动——这些绳的长度代表了时间,而它们的粗细代表着粒子的物理维度。不仅如此,就连用到的粒子,也不是人们第一时间会想到的电子和质子,而是一种准粒子(quasiparticle)——在二维电子系统中的激发(excitation),它们的表现很像高能物理中的粒子和反粒子。再往深里说,这类准粒子是指具有期望的数学性质的一类特殊的任意子(anyon)。

  让我们来看看拓扑量子计算是怎样进行的:首先,我们造出若干对任意子,并把它们排成一行 [参见18页的方框]。每一对任意子都很像从纯能量造出的粒子和它相应的反粒子。

  接着,让相邻的任意子组成一对,按精心设计的顺序相互缠绕。每个任意子的世界线都形成一条绳;当任意子按这样或那样的方式做对换移动时,就把这些绳编成了辫。量子计算的过程就被封装在这样形成的特定辫中,而任意子的最终状态就包含了计算的结果。由于计算结果是由辫,而不是由任何杂散的电或磁的相互作用决定,计算结果对外界的扰动就具有了内在的抵抗能力。因为辫是拓扑性的,所以对绳稍做扰动,并不改变辫的编织方式。用任意子来完成计算的思路,是由目前为微软工作的亚历克西·于·基塔耶夫(Alexei Yu. Kitaev)1997年提出的。

  现在也在微软工作的弗里德曼,1988年秋就曾针对利用量子拓扑进行计算的可能性,在哈佛进行过演讲。他当时集中研究某些抽象的二维物理系统和数学上的纽结不变量之间的联系,并把在此基础上形成的一些观点写进了当年发表的研究报告中。如果我们可以造出一个实际的物理系统,并能完成相应的测量,那么就基本上可以自动计算出纽结不变量,不需要像经典计算机那样做冗长的计算。用类似的窍门还可以解决具有同样难度,但在现实中更为重要的一些问题。

  尽管这种想法听起来荒诞至极,最近在称为分数量子霍尔物理学(fractional quantum Hall physics)的领域中进行的实验却为任意子方案提供了更为坚实的基础。人们还提出了完成拓扑量子计算雏形的进一步实验的方案。

  

任意子

 

 

  如前所述,拓扑量子计算机通过对换粒子的位置来编织世界线。对换后粒子行为上的差别,是区分量子物理与经典物理的方法之一。在经典物理中,如果有两个分别位于A和B的电子,我们互换它们的位置,前后的状态会完全相同。因为电子是不可区分的,它们的初始和终了状态也无法区分。量子力学却没这么简单。

  之所以会出现这种差异,是因为量子力学用称为“波函数”的量来描述粒子的状态。波函数在空间上包含着有关粒子的全部信息——包括粒子处在某个位置上的概率,粒子速度取某个值的概率等等。举例来说,我们更有可能在波函数幅值较大的区域找到粒子。

  一对电子是用一个联合波函数来描述的。当两个电子互换时,得到的联合波函数是–1乘上原来的波函数。这会把波峰变到波谷,反之亦然,但对振荡的幅度没有任何影响。实际上,单独考虑两个电子时,互换并不会改变任何可测量的物理量。

  真正发生改变的,是电子与其他电子发生干涉(interfere)的方式。干涉发生在两个波叠加的时候。当两个波发生干涉时,在波峰一致的地方会组合出高振幅(即“建设性干涉”),而在波峰遇到波谷的地方会出现低振幅(即“破坏性干涉”)。 用–1相位去乘其中一个波,就交换了它的峰谷的位置,也就改变了对应的建设性干涉和破坏性干涉中亮点和暗点的位置。

  不仅仅电子能够按这种方式取-1因子,质子、中子以及属于所谓费米子(fermion)类型的任何粒子都可以。对另一类重要的粒子——玻色子(boson)而言,两个粒子互换不会使它们的波函数发生改变。我们可以说,在它们的波函数上乘了+1因子。(自旋量子数为普朗克常数整数倍的,就称玻色子,如光子、介子等;而半整数倍的就称费米子,如电子、质子等。)

  基于数学上的深层原因,三维世界中的量子粒子不是费米子,就一定是玻色子。但在二维世界中,有另外一种可能:所乘的因子可以是一个复相位。我们可以把复相位看作一个角度。零度对应1这个数;180度对应-1。中间的角度就是复数了。比如,90度对应于i,即–1的平方根。当用一个相位–1的因子去乘波函数时,虽然对单个粒子可测量的性质不产生任何影响(因为所有这些性质都只关心波的振幅),但是,相位可以改变两个复波的干涉方式。

  因为对换时不仅仅取正的或负的相位,而是可能出现任意的复相位,我们就把对换时取复相位的粒子称为任意子。尽管如此,特定种类的粒子总是取相同的相位。

 

平面王国中的电子

 

 

  任意子只存在于二维世界中。那么为了进行拓扑计算,我们怎样在现实的三维世界中制造出任意子对呢?答案就在准粒子的平面王国里。我们可以用精心设计的工程方法在两片砷化镓的接触面上制造出电子气(electron gas)。电子可以在接触面的二维空间中自由移动,但它们受限无法在脱离接触面的第三维上移动。物理学家对这类称为二维电子气的电子系统,特别是对系统在极低温度下浸入强磁场中的情形,作过大量研究。因为在这样的条件下系统显示出不同寻常的量子性质。

  例如,在分数量子霍尔效应中,在电子气中的激发行为看起来像是具有分数量的电子电荷。而别的激发在其周围携带着一定单位的磁通量,而这部分通量就像粒子自身的一部分。2005年美国纽约州立大学石溪分校的弗拉迪米尔·J·戈德曼(Vladimir J. Goldman)、费尔南多·E·卡米诺(Fernando E. Camino)和周威(Wei Zhou)声称在实验中直接证实了在分数量子霍尔态下出现的准粒子就是任意子。这是用拓扑方法进行量子计算的关键的第一步。不过,一些研究人员还在寻找独立证据来证明准粒子本质上就是任意子,因为某些非量子效应也可能产生出戈德曼和他的同事观察到的结果。

  在二维世界里,当两个粒子对换时会遇到一个重要的新问题:互相交换时,粒子是取顺时针轨道还是逆时针轨道?波函数取的相位和这个性质有关。这两种轨道在拓扑上是不同的,因为实验人员在不做轨道交叉和让粒子在某处发生碰撞的前提下,无法把顺时针轨道连续地变形到逆时针轨道。

  为建造拓扑粒子计算机,我们需要另外一个条件:任意子必须是所谓的非交换的。这个性质意味着被对换的粒子出现的顺序很重要。设想三个完全相同的任意子排成一行,分别处在A、B和C位置上。先对换处在A和B位置上的任意子,然后对换这时处在B和C位置上的任意子,结果应当是原来的波函数因为某个因子而改变了。假设B和C处的任意子对换在先,接着对换A和B位置的任意子,如果得到的结果是波函数乘上与前面相同的因子,交换顺序不改变结果,我们就称这些任意子是可交换的。如果因子依对换的顺序而有所不同,那它们就是非交换的任意子。(之所以出现非交换性,是因为对这些任意子而言,乘到波函数上的因子是一个数值矩阵,而两个矩阵相乘的结果依赖于它们相乘的顺序。)

  戈德曼研究小组做的实验,用的是交换性任意子。不过理论家有充足的理由相信某些分数量子霍尔准粒子确实是非交换的。人们已经提出解决这个问题的一些实验方案。其中一种方案是由弗里德曼和美国马里兰大学学院公园分校的桑卡尔·达斯·萨尔马(Sankar Das Sarma)以及美国微软研究院的舍坦·纳亚克(Chetan Nayak)提出的,以色列魏茨曼研究所的艾迪·凯坦(Ady Stern)和美国哈佛大学的伯特兰·霍尔珀林(Bertrand Halperin)对该方案提出了重要的改进;另一种方案由美国加州理工学院的基塔耶夫、帕尔萨·邦德森(Parsa Bonderson)和基里尔·施坦格尔(Kiril Shtengel)提出。

  

辫与门

  一旦有了非交换的任意子,我们就能够为数学上所说的辫群(braid group)构造出一种物理表示。辫群这样一个数学结构描述了把一组给定的绳编成辫的所有可能的方式。任何一种辫都可以通过一连串的基本运算(仅按顺时针或逆时针方向移动相邻两条绳)构造出来。任意子操作每个可能的序列都惟一地对应于一种辫,反之亦然。同时,每种辫都对应着一个非常复杂的矩阵,它是将与每个任意子交换对应的单个矩阵组合起来得到的结果。

  至此,我们已经掌握了考察这些辫如何对应一个量子计算所需要的全部要素。在传统计算机上,计算机的状态是用它所有比特(0和1按特别顺序排列)的组合状态来表示的。类似地,量子计算机会用它所有量子比特的组合状态来表示。在拓扑量子计算机上,量子比特可以用一组任意子来表示。

  在量子计算机中,从全体量子比特的初始状态出发,到达终了状态的过程,用一个与全体量子比特的联合波函数相乘的矩阵来描述。在拓扑量子计算机中有着明显的相似之处:在这种情况下,这个矩阵对应于特定辫所确定的任意子的运算序列。这样,我们就知道在任意子上所做的运算实现了量子计算。

  我们还必须回答另一个重要问题:拓扑量子计算机能完成传统量子计算机上的所有计算吗?弗里德曼与美国印第安纳大学的迈克尔·拉森(Michael Larsen)和王正涵(Zhenghan Wang,音译)合作,于2002年证明拓扑量子计算机的确能够模拟标准量子计算机上的任何计算,不过有一点要声明:模拟只是近似的。然而,对任意给定的期望精度,如10-4,都能找到辫,模拟以该精度完成的计算。要求的精度越高,辫的缠绕次数越多。幸运的是,要求的缠绕次数在数量上增长很慢,因此要达到非常高的精度并不太困难。不过他们给出的证明,并没有指出如何确定与计算对应的辫,实际是怎样的——那取决于拓扑量子计算机的特定设计,特别是用到的任意子种类以及它们与基本量子比特的关系。

  怎样才能找到执行特定计算的辫?美国佛罗里达州立大学的尼古拉斯·E·博恩斯蒂尔(Nicholas E. Bonesteel)和他的大学同事以及朗讯公司贝尔实验室的合作者解决了这个问题。该研究小组详细展示了如何把六个任意子编成辫,以 2×10-3的精度来构造所谓受控非(或称CNOT)门。CNOT门有两个输入:一个控制比特和一个目标比特。如果控制比特为1, 它把目标比特从0变到1,或是相反。否则就所有比特都不变。任何作用在量子比特上的计算过程都可以用基于CNOT门和另外一个运算(单个量子比特乘以一个复相位)构成的网络来构造。

  量子计算机可以完成人们相信在经典计算机上无法完成的计算任务。那么拓扑计算机是否有可能比传统的量子计算机计算能力更强?由弗里德曼、基塔耶夫和王正涵所证明的另外一个定理表明,事实并非如此。他们指出在传统量子计算机上能以任意精度模拟拓扑量子计算机上的运算,这意味着拓扑量子计算机能够完成的任何计算任务,传统的量子计算机也能完成。这个结果暗示着一个一般性结论:任何利用量子资源的、足够先进的计算系统都具备完全相同的计算能力。经典计算中的类似命题是在上世纪30年代,由阿隆佐·邱奇(Alonzo Church)和阿兰·图灵(Alan Turing)提出的。

  

输入粒子 输出答案

  我们已经简单地提到建造实际拓扑量子计算机的两个关键过程:在计算开始之前对量子比特的初始化和最后阶段对答案的读出。

  初始化的步骤包括生成准粒子对,并且要弄清得到的准粒子的种类。基本过程是让用于测试的任意子经过所生成的准粒子对周围,然后测量在测试过程中受试任意子发生了怎样的改变。这些改变就取决于经过的任意子的类型。(如果用于测试的任意子被改变了,就再也无法与配对者彻底湮灭。)与我们需要的种类不合的任意子对就会被排除。

  读出步骤也包含对任意子状态的测量。当任意子离得很远时,我们无法进行测量。为了测量必须把任意子放到一起。粗略地说,就是检查任意子对是像真正的反粒子那样彻底湮灭了,还是留有残余的电荷和磁通量。编辫开始时,任意子对都是精确的反粒子关系,这样就揭示出编辫过程中任意子对的状态发生了怎样的改变。

  拓扑计算机也不能完全避免差错。差错的主要来源是衬底材料中的热涨落。热涨落能产生出一个多余的任意子对。这两个任意子会将自己编织到计算的辫中,而最终这个对又会消失[参见第19页的方框]。幸运的是,在拓扑计算机运行的低温条件下,热产生的过程会被抑制。而且,整个不利过程发生的几率,随着干扰源经过距离的增加,呈指数衰减。因此,通过建造足够大的计算机,保持工作任意子在被编成辫时离得足够远,我们可以达到任意的精度。

  拓扑量子计算的研究才刚刚起步。它的基本工作单元——非交换任意子的存在还没有得到证实,而且就连最简单的逻辑门都没有造出来。如果在前面提到的弗里德曼、达斯·萨尔马和纳亚克的实验中所用到的任意子,如所期望的那样,实际上真是非交换的,那么该实验就达到了这两个目的,实验装置将在量子比特状态上完成逻辑非运算。他们估计运算过程的差错率不超过10-30。差错率能达到如此之低,是因为差错率随温度的降低和长度的增加以指数比率下降。这里的指数比率是拓扑实质性的贡献所在,而在相对经典的量子计算方法中没有类似的机制。

  正是拓扑量子计算有潜力具备比现有的任何其他量子计算方案低许多数量级的超低差错率,才使它这么有吸引力。同时,制造分数量子霍尔装置所需要的技术也是成熟的,正好是微型芯片工业所采用的技术;惟一需要克服的是为了使那些神奇的准粒子稳定,这些装置必须运行在毫K数量级的极低的温度下。

  如果真的存在非交换任意子,那么在用单个量子比特和逻辑门来建造完整的更名副其实的“计算机”装置的竞赛中,拓扑量子计算机就会大大领先于传统的量子计算机设计。虽然用量子纽结和量子辫来完成计算的方案起初是一种另类的设计,但是它将来或许会成为实现实用的无差错量子计算的标准途径。

  转自 Mathephysician   转自 应用物理
2014 / . 04 / . 18

薛定谔方程意味着什么?

薛定谔方程之于量子力学宛如牛顿运动第二定律之于经典力学:牛顿第二定律描述一个物理系统,例如某些力作用下的一组粒子,怎样随时间而变。在经典力学中我们所要的是所有粒子在每个时间薛定谔方程意味着什么?
 的位置和动量:这给了你系统的全部描绘。而在量子力学中,关于系统的信息包含在薛定谔方程的波函数解薛定谔方程意味着什么?
 中。波函数的绝对值平方薛定谔方程意味着什么?
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  被解释成一个概率密度。例如,对于我们在盒子中的粒子,薛定谔方程意味着什么?
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  给出在位置薛定谔方程意味着什么?
 处发现粒子的概率密度。但是对许多粒子的系统也可以求解薛定谔方程,找到用于其它可观察量(比如粒子的动量)的波函数。

 

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照片摄于1927年第五届苏威会议
沃尔夫冈·泡利,维尔纳·海森堡(后排左数第五位,第六位)
路易·德布罗意,玻恩,尼耳斯·玻尔 (中间排左数第七位,第八位,第九位)
普朗克,阿尔伯特·爱因斯坦 (前排左数第二位,第五位)

 

波在哪里?

 

量子力学到底精确地告诉了我们什么?薛定谔方程出自如下的想法:像电子这样的粒子在有些情况下行为像微粒,而在其他情形下又像波:这就是所谓的波粒二象性。马上出现的一个问题是:为什么我们从未见到像桌子、椅子这样的大物体有波的行为。

 

作为具有启发性的一个论据,回忆德布罗意关于一个“质量波”的波长薛定谔方程意味着什么?
 和动量薛定谔方程意味着什么?
 之间的关系

 

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其中薛定谔方程意味着什么?
 是普朗克常数。物体的动量薛定谔方程意味着什么?
 等于质量乘以它的速度。量子力学的一个结果是没有物体完全静止,因此薛定谔方程意味着什么?
 从不为零。但是普朗克常数薛定谔方程意味着什么?
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 是如此不可思议地小,以至于即便最小的质量和速度还是使得波长薛定谔方程意味着什么?
 也可以忽略不计。它如此之小使得我们通常感知不到宏观物体的波动。

 

有物理波吗?

 

下一个问题是怎样解释波函数。不像以往对物理系统的经典解释,波函数并不给出一个粒子于时刻薛定谔方程意味着什么?
 关于其位置的确定信息---它仅仅给出时间薛定谔方程意味着什么?
 在 一个给点位置发现粒子的概率。我们通常用概率来量化我们的不确定:如果我说一只硬币有二分之一的机会面朝上或底朝上,这仅仅反映出我不知道下一次抛掷后哪 面朝上的这一事实。故由波函数给出的概率也许以类似的方式度量我们的不知道程度:比如说当一个粒子在盒子中运动时,它任何时刻总是在之中某处,只是我们在 度量出它之前并不知晓。德布罗意的确是开辟了这种确定性处理的先驱。它后来由大卫·玻姆发展而以量子力学的引导波学说解释,或以玻姆力学闻名点。但这是少 数人的观点。大多数物理学家相信像双孔实验表明一个粒子在空间中真的能变得不受原地限制的。“有一种知觉认为粒子同时在所有的这些位置上,但这样说所担心 的是仍然只有一个粒子,”Short说。

 

所以,也许波函数描述了空间的一种物理波,该粒子像粘性物质一样沿着它传播---我们从来没有看到这个粘性物质粒子,因为当我们测量时它不知怎的可以收缩到一个点。在我们盒子内粒子的例子中,薛定谔方程的解

 

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确 实描绘“粘性物质”粒子可以合理传播波。但一旦我们有几个粒子,麻烦就来了。设想,有三个粒子。在这种情况下波函数是一个多变量的函数(三个粒子中的每一 个可能的三个位置坐标及时间),一般是不可能把它分解成对应于每个粒子的分量,甚至都不能绘制这个“波”,因为你需要超过三个以上的维数来做到这一点。通 常波函数不能描述一个物理波,因为它不是一个在物理空间上定义的函数。相反,它是在相空间中定义的:它的输入是粒子在所有位置上所有可能的配置,它取的函 数值与在给定的时刻于给定的配置中发现粒子的概率有关。

 

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盒子中的粒子:x轴表示粒子的位置,y轴表示粒子的能量。允许的前4级能量水平在图中用水平虚线表示。
波函数叠加显示在图中相应的能量水平位置上。图片来源:Papa November

 

不总能将一个多粒子系统的波函数整齐地分解成各个组成部分这一事实说明了量子力学的另一古怪之处:曾经相互作用,使得它们形成的系统由一个单一波函数描述的两个粒子,可以神秘地保持链接,即使它们已经移动到相隔几个光年。

 

这个神秘的连接被称为量子纠缠。当作用对纠缠态粒子之中的一个发生时,相应的作用可以发生于远处的伙伴粒子,这是爱因斯坦所形容的“幽灵般的超距作用”的现象。

 

但是,即便当波函数一般不表示三维空间中的一个直接的波,问题仍然存在:是否存在某种与之相关的物理波。一些物理学家,包括德布罗意,薛定谔和玻姆认为是应该的。虽然努力到今天仍在继续,人们并没有找到能让主流物理学家认同的理论。

 

其他人,包括沃尔夫冈·泡利、维尔纳·海森堡和尼尔斯·玻尔反对这逼真的画面,并把波函数作为提供或然性的一个单纯的数学工具。事实上,他们认为像 “我们并没有寻找的粒子在哪里”这样的问题是没有意义的:科学无法描述自身的性质,但人们可以对它有一定的知识。所以我们可以回答的唯一问题是关于测量的 可能结果这一问题。而这恰恰就是波函数所给予我们的。这种观点被称为量子力学的哥本哈根解释。它与经典物理学所基于的直觉形成了鲜明的对比:存在一个客观 的现实,它即使不是我们所寻找的,却是科学能描述的。

 

测量奇迹

 

无论有没有一个物理波,遗留的大问题仍然是,当我们来到一起并进行测量时究竟发生了什么。我们将只在一个地方发现粒子,但薛定谔方程并没有告诉我们 为什么会是这样的情况,或这个位置应该是在何处。它的解仅仅为我们提供了概率。而且,还有该方程的另一个方面,它甚至更有力地说明了这种与现实之间的紧张 局面:这是一个线性方程。这意味着,如果波函数薛定谔方程意味着什么?
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  是解,则它们的和薛定谔方程意味着什么?
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  也是一个解。但是薛定谔方程意味着什么?
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  可以对应于大大不同的情况,例如薛定谔方程意味着什么?
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  可能对应于月球上的粒子(所以它于不在月球的所有位置都为零),而薛定谔方程意味着什么?
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  可能对应于地球上的粒子(所以除了在地球之外处处为零)。由于和薛定谔方程意味着什么?
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  也是一个解,这给出一种感觉,粒子在这两个地方都出现过。当发生这种情况时,我们说粒子是在这两种状态薛定谔方程意味着什么?
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  叠加。

 

“当我们做一个实验时,我们看不到所有这些叠加的解,我们看到的只是其中之一,”Bouatta说。“这是与方程对峙的紧张局势。当你仅看方程时你 不明白测量时发生了什么。”测量奇迹如何而来,物理学家没有达成共识。“大多数人可能不肯定任何解释,他们只是说,我们不能确信,”Short说。

 

塌缩的波

 

有些人认为,当作测量时,粒子以某种方式“决定”走向何方,而相应的波函数有可能出现塌缩。在盒内粒子的例子中,波函数在盒中的许多地方不为零,即 说明在这些地方找到粒子的概率不为零。一旦盒子被打开,发现了粒子在一定的位置,所以波函数在该位置有一个非零值,而在其他地方是零,而波函数在非零的位 置有一个尖峰。瞬间之后,再进行测量,粒子很可能仍然在附近,所以波函数展开了一点,并有一个单峰。随着时间的推移,它会传播得越来越多。

 

关于塌缩处理的一个问题是波函数的远处粒子怎样“知道”已有一个测量并因此它们应该塌缩。例如,假设一个粒子是如上所述在两个位置之间的叠加处,这 些位置之一是在地球上,另一个在月球上。如果现在地球上的观察者检测到粒子,那么在月球上波函数必须瞬间消失。但是,爱因斯坦的相对论说,没有任何信息或 信号可以超光速运动。

 

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罗杰 · 彭罗斯,认为观察者的意识导致波函数塌缩
图片来源:Festival de la Scienza.

 

塌缩的想法也引发了另一个问题:什么是测量?一些物理学家,如尤金·魏格纳和罗杰·彭罗斯,一直持有这样的想法,即测量需要观察者,而观察者的意识 导致塌缩。但是,这种看法已经在很大程度上不流行了。相反,测量可以定义为你要测量的系统和测量设备之间的相互作用。“举个例子,一个互动可能是:如果粒 子是在右边,我设备上的指针移动到右边,如果是在左侧,将指针移动到左边,”Short说。“在正常的量子理论中你可以很容易地模拟这一点。”

 

塌缩处理的倡导者所面临的挑战是要拿出模型来描述塌缩的运作---它究竟是如何发生的?又是什么原因造成的呢?少数人认为可能来自一种物理学家们尚未能够与量子力学协调的力量:重力。找到一个统一的量子引力理论是现代物理学的伟大目标,一些人认为它可能揭示了塌缩的行为。

 

多元的世界

 

既然这样,波函数在测量后塌缩的这个想法需要被假定为量子力学的一个额外规则。像这样凭空拉出自然规律的做法对纯理论家是非常不满意的。但还有另一 种可能:所有可能的测量结果也许都是同样真实的。“我们的想法是有不同的世界,它们都是真实的,在它们当中每个粒子都在不同的位置上,”Short解释 说。问题就变成如何解释波函数给出的概率。“你可以把它作为赋予每个世界的一种权。如果你随机选择一个世界,你最有可能选的是有更大概率的世界。”

 

当你只想到小小的粒子时,这已经是很奇怪的。但是,对于作为观察者的我们呢?如果你把他们放在这个多世界的视图中,你会得到所谓的量子力学的埃弗雷 特解释(以物理学家休·埃弗雷特的名字命名)。“假设你有一个小的微观粒子,可能是在这里或那里,然后我看着它,”Short说。“塌缩模型会说这真的决 定了问题,粒子主意已定,我看到它在这里,我看到它在那里,但是对于我看到了什么,仍然只有一个真理。但宏观物体由粒子组成,因此没有任何理由相信它们应 该遵循不同的物理规律。如果你将[对作为观察者的我来说]相同的物理定律应用于微观物体,你发现的是,你得到‘粒子在这里,我看到它在这里’和‘粒子在那 儿,我看到它在那儿’的这种叠加。埃弗雷特的解释说,这也许就是发生的东西。这似乎是相当疯狂的,因为对于看到不同东西的我,竟然有两个副本。但是,每个 人,如果你问他们是否看到了一些合理的事情,他们会说是的。”

 

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埃弗雷特提出了一个著名的思想实验,把试验看作盒子里的猫,则猫是由两种状态构成的:死了和活着。
但是当你打开盒子去观察的时候你只能看到其中一种状态。根据埃弗里特的解释,当你决定观察的时候,情况就分成了两个分枝:其中一个分枝盒子里的猫死了,而另外一个还活着。图片来源:Dc987.

 

现在很明显的问题是,为什么我们从来没有意识到自己的这些其他副本。但有一个直接的答案。两个不同的世界,如果它们的波函数在配置空间的同一区域内 非零,只能互相干扰---配置空间里包含了构成你的粒子、你正在观察的粒子,测量仪器等所有不同配置的可能性。但是,这意味着你的两个副本必须具有相同的 记忆。“为了你的两个副本映射到配置空间的相同状态,你本质上必须在他们的大脑中放松一切,”Short说。“如果他们有任何记忆,那么他们不会在配置空 间的同一个地方,因为记忆是他们的一部分。如果他们的大脑是不同的,那么他们就无法遇见。”因此,只有完全失忆,才能让你能够与自己相遇并与自己合并。

 

埃弗雷特的解释可能会不符合常识,但你可以说它获得了数学的简单性。“人们说,平行的世界和这一切的疯狂,似乎完全没有道理。但实际上它很简单:所 有你要做的就是薛定谔方程,并把它所有的方式保持到宏观层面。埃弗雷特只不过丢掉了第二定律[假设波函数完全塌缩],”Short说。Bouatta建 议,我们不应该把我们对世界认识的常识推到太远。“我们对每一天的生活有一种直觉---椅子、桌子,鸟类等---我们尝试将其应用到宇宙中所有不同的体 制:既有尺度最大的,也有尺度最小的。但是,为什么每一个尺度的世界要用我们的常识、日常生活的直觉来描述?埃弗里特的后果可能似乎是有点怪怪的,但有人 可能会说,这是对量子力学最保守的处理,因为你不必引入新的定律。”

 

塌缩模型和的埃弗雷特视图是量子力学最突出的解释,尽管还有其他解释。事实是,我们根本不知道在现实世界中什么在真的发生,以及如何解释把它描述得 如此之好的数学形式。可以肯定的是,我们必须从根本上扩大我们对世界的看法:一千年前谁会相信地球是巨大的膨胀的宇宙中的一个很小的球形斑点呢?

 

最后,我们用一句据说是理查德·费恩曼的名言来安慰一下自己吧:“任何声称理解了量子理论的人,不是说谎就是疯狂。”

 

原文链接:http://plus.maths.org/content/schrodingers-equation-what-does-it-mean
作  者:Marianne Freiberger,剑桥大学主办的“千年数学项目”之下的网络杂志Plus的共同主编
翻  译:丁玖,密执安州立大学博士,南密西西比大学数学教授
校  对:汤涛,香港浸会大学数学讲座教授
  转自 拉普拉斯的愤怒
2013 / . 12 / . 03

庞蒂科夫-牧-中川-坂田矩阵

粒子物理学中,庞蒂科夫-牧-中川-坂田矩阵英语Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata Matrix,简称PMNS矩阵),又称牧-中川-坂田矩阵MNS矩阵)、轻子混合矩阵中微子混合矩阵,是一个幺正矩阵[注 1],内含自由转播中与弱相互作用中的轻子间量子态的相异之处,因此是研究中微子振荡的重要工具。此矩阵最早由牧二郎中川昌美坂田昌一于1962年提出[1],用于解释布鲁诺·庞蒂科夫所预测的中微子振荡现象[2][3]

 

 

 

矩阵

三代轻子的混合矩阵如下:

庞蒂科夫-牧-中川-坂田矩阵

其中左边的是参与弱相互作用的中微子场,而右边的是PMNS矩阵,还有一个由中微子场本征态组成的矢量,将中微子质量矩阵对角化后可得这个矢量。PMNS矩阵描述某种味 庞蒂科夫-牧-中川-坂田矩阵 进入质量本征态 庞蒂科夫-牧-中川-坂田矩阵 的概率。这些概率与 庞蒂科夫-牧-中川-坂田矩阵 成正比。

这个矩阵有好几种不同的参数化[4],但是由于中微子探测的难度,各参数的测量要比这个矩阵的夸克对应版本(CKM矩阵)要难得多。这个矩阵最常见的参数组为三个混合角(即 庞蒂科夫-牧-中川-坂田矩阵庞蒂科夫-牧-中川-坂田矩阵 及 庞蒂科夫-牧-中川-坂田矩阵)与一个相位庞蒂科夫-牧-中川-坂田矩阵

庞蒂科夫-牧-中川-坂田矩阵

从2011年以前的实验结果得知,混合角 庞蒂科夫-牧-中川-坂田矩阵 约为 45 度,庞蒂科夫-牧-中川-坂田矩阵 约为 34 度,而 庞蒂科夫-牧-中川-坂田矩阵 则小于 4 度。

作为这项研究的一个起步点,以下是一份近期讲义中[5]引述的矩阵参数约化值 (当中假设 庞蒂科夫-牧-中川-坂田矩阵,因此矩阵中无虚数项。 这样的假设在2011年以前与实验结果并无冲突,然而T2KDouble Chooz以及大亚湾等实验结果都指出 庞蒂科夫-牧-中川-坂田矩阵 ,其值约为 4.4 度。[6] ):

庞蒂科夫-牧-中川-坂田矩阵
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