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数学那些人,那些事

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2013 / . 05 / . 08

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复道几何 万般流行皆自守                                                           

变分无限 孤心测度有同伦

 

2013 / . 04 / . 27

以前听过的一个笑话: 一个学生问教授什么是向量空间,教授想了一下,理所当然地回答,一个向量空间就是一个流形上向量丛的一个纤维。 (转自万门大学数学系)

2013 / . 04 / . 27

线性代数发展简史

代数学可以笼统地解释为关于字母运算的学科。在中学所学的初等代数中,字母仅用来表示数。初等代数从最简单的一元一次方程开始,一方面进而讨论二元及三元的一次方程组,另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展,代数学在讨论任意多个未知数的一次方程组,也叫线性方程组的同时,还研究次数更高的一元方程及多元方程组。发展到这个阶段,就叫做高等代数。

线性代数是高等代数的一大分支,是研究如何求解线性方程组而发展起来的。线性代数的主要内容有行列式、矩阵、向量、线性方程组、线性空间、线性变换、欧氏空间和二次型等。在线性代数中,字母的含义也推广了,它不仅用来表示数,也可以表示行列式、矩阵、向量等代数量。笼统地说,线性代数是研究具有线性关系的代数量的一门学科。线性代数不仅在内容上,更重要的是在观点和方法上比初等代数有很大提高。

在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。虽然表面上看,行列式和矩阵不过是一种语言或速记,但从数学史上来看,优良的数学符号和生动的概念是数学思想产生的动力和钥匙。

行列式出现于线性方程组的求解。行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的,他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作,标题的意思是“解行列式问题的方法”,书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家、微积分学奠基人之一莱布尼兹(Leibnitz)1750年克莱姆(Cramer)在他的《线性代数分析导言》中发表了求解线性方程组的重要基本公式(即人们熟悉的 Cramer 克莱姆法则)1764年,法国数学家贝佐特(Bezout)把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。对给定了含n个未知量的n个齐次线性方程,Bezout证明了系数行列式等于零是该方程组有非零解的条件。法国数学家范德蒙(Vandermonde)是第一个对行列式理论进行系统的阐述(即把行列式理论与线性方程组求解相分离)的人,并且给出了一条法则,用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。就对行列式本身进行研究这一点而言,他是这门理论的奠基人。法国数学家拉普拉斯(Laplace)1772年的论文《对积分和世界体系的探讨》中,证明了Vandermonde的一些规则,并推广了他的展开行列式的方法,用r行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式,这个方法现在仍然以他的名字命名。德国数学家雅可比(Jacobi)也于1841年总结并提出了行列式的系统理论。另一个研究行列式的是法国数学家柯西(Cauchy),他大大发展了行列式的理论,在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法,与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并证明了Laplace的展开定理。行列式现在的两条竖线记法是英国数学家凯莱(Cayley)最先给出的。

相对而言,最早利用矩阵概念的是拉格朗日(Lagrange)1700年后的双线性型工作中体现的。拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题,其方法就是人们知道的拉格朗日乘数法。为了判定多元函数的最大、最小值,他首先需要一阶偏导数为0,另外还要有二阶偏导数矩阵的条件。这个条件就是今天所谓的正、负定二次型及正、负定矩阵的定义。尽管拉格朗日没有明确地提出利用矩阵。1848年英格兰数学家西尔维斯特(Sylvester)首先提出了矩阵这个词,它来源于拉丁语,代表一排数。1855年英国数学家凯莱(Cayley)建立了矩阵运算的规则。Cayley研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义,使得复合变换ST的系数矩阵变为矩阵S和矩阵T的乘积。他还进一步研究了那些包括矩阵逆在内的代数问题。著名的凯莱-哈密尔顿(Cayley-Hamilton)理论即断言一个矩阵的平方就是它的特征多项式的根,就是由Cayley1858年在他的矩阵理论文集中提出的。利用单一的字母A来表示矩阵是对矩阵代数发展至关重要的。在发展的早期公式det(AB)= det(A)det(B)为矩阵代数和行列式间提供了一种联系。数学家Cauchy首先给出了特征方程的术语,并证明了阶数超过3的矩阵有特征值及任意阶实对称行列式都有实特征值;给出了相似矩阵的概念,并证明了相似矩阵有相同的特征值。1878年德国数学家弗罗伯尼(Frobenius)发表了关于矩阵论的很有影响的论文,提出矩阵的最小多项式(即以矩阵为根的次数最低的多项式)是特征多项式的因式而且是唯一的。他又将不变因子和初等因子的概念引进到矩阵理论中来,得到矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的初等因子或不变因子的结论。他还发表了埃尔米特使用过的正交矩阵这个术语的正式定义,引进了矩阵的秩的概念。他的论述还涉及矩阵的相似变换,合同矩阵等。

高斯(Gauss)大约在1800年提出了高斯消元法并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题。(这种涉及测量、求取地球形状或当地精确位置的应用数学分支称为测地学。)虽然高斯由于这个技术成功地消去了线性方程的变量而出名,但早在两千多年前我国的数学名著《九章算术》中就出现了解释如何运用“高斯”消去的方法求解带有三个未知量的三方程系统。在当时的几年里,高斯消去法一直被认为是测地学发展的一部分,而不是数学。而高斯-约当消去法则最初是出现在由Wilhelm Jordan撰写的测地学手册中。许多人把著名的法国数学家约当(Camille Jordan)误认为是“高斯-约当”消去法中的约当。

向量的概念,从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合,然而它以力或速度作为直接的物理意义, 并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。向量用于梯度、散度、旋度就更有说服力。第一个涉及一个不可交换向量积(v×w不等于w×v)的向量代数是1844年由德国数学家格拉斯曼(Grassmann)在他的《线性扩张论》一书中提出的。在这部名著中,他引入了欧几里得n维空间概念,研究了点、直线、平面、两点间距离等概念,并把这些概念推广到n维空间。在19世纪末美国数学物理学家吉布斯(Gibbs)发表了关于《向量分析基础》的著名论述。其后英国物理学家迪拉克(Dirac)提出了行向量和列向量的乘积为标量。我们习惯的列矩阵和向量都是在20世纪由物理学家给出的。

西尔维斯特在二次型的化简和创立标准形理论方面起了重要作用。在二次型化简的研究中西尔维斯特得到了两个二次型等价的充分必要条件是它们有相同的秩和相同的指数,相继得到的另一个重要结果就是著名的“惯性定律”,即秩为r的一个实二次型f(x1,x2, ...,xn)可以通过非奇异的线性变换化成规范形

y12+ y22++ yp2- yp+12--yr2

其中指数p是唯一确定的,现在教科书中称为正惯性指数.当时西尔维斯特没有给出证明,这个定律后来被J.雅可比(Jacobi)重新发现并证明.判定二次型是否正定具有重要的理论和实用价值。将二次型化为规范形来判定是方法之一,但是能否不用化简,只用二次型的系数进行判定呢?西尔维斯特对这个问题进行了研究,得到著名的西尔维斯特定理:一个n元实二次型正定的充分必要条件是该二次型的n个顺序主子式全为正数。

线性代数的主要理论成熟于十九世纪。由于代数运算是有限次的,而且缺乏连续性的概念,也就是说,代数学主要是关于离散性的。尽管在现实中连续性和不连续性是辩证的统一的,但是为了认识现实,有时候需要把它分成几个部分,然后分别地研究认识,再综合起来,就得到对现实的总的认识。这是我们认识事物的简单但是科学的重要手段,也是代数学的基本思想和方法。代数学注意到离散关系,并不能说明这是它的缺点,时间已经多次、多方位的证明了代数学的这一特点是有效的。其次,代数学除了对物理、化学等科学有直接的实践意义外,就数学本身来说,代数学也占有重要的地位。代数学中产生的许多新的思想和概念,大大地丰富了数学的许多分支,成为众多学科的共同基础。二次世界大战后随着现代数字计算机的飞速发展和广泛应用,许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数,成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。

2013 / . 01 / . 02

丘维声老师的高等代数(新版的) 国内很好的高等代数教材

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还有就是,丘维声老师讲课思路非常清晰
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2013 / . 01 / . 01

应用数学的哲学

应用数学的哲学

Phil Wilson

 

关键词: 应用数学,数学本质

我曾告诉一个友人,我用数学尝试去了解偏头痛。她以为我请偏头痛患者做心算,以减轻他们的症状。这当然不是,我真正做的是运用数学理解偏头痛的生物学原因。

生活中我们往往忽略的一个重要事实是:数学可以理解世界。你可能会提醒我:这一事实并不明显。在这篇文章中,我要讨论一个大问题:“为什么数学可以用来描述世界”,或更挑衅般地延伸为“为什么应用数学如此强大?”要做到这一点,我们需要回顾一般数学哲学---大体上称为元数学---的悠久历史。

什么是应用数学

应用数学的哲学 令人惊奇的事实:世界能由数学理解

在进一步阐述之前,我们应该清楚应用数学意指什么。我将借用一下20世纪和21世纪的一个重要应用数学家、剑桥大学的流体力学G.I.泰勒(G.I.Taylor)讲座教授Tim Pedley给出的定义。他在数学与应用研究所2004年的就职演说中指出:“应用数学是指用数学的技术,对非数学领域提出的问题给出答案。”这个定义是相当广泛的,包括从数值变化到气候变化,正是这种广泛定义的可能性是我们将要讨论的奥秘中的一部分。

为什么应用数学非常实用?这个问题比其他任何你可能会问的有关数学的本质的问题更重要。首先,由于应用数学是数学,它会引发传统上对元数学所产生的所有的同样问题。其次,作为应用,它在科学哲学上必然会提出一些需要讨论的问题。这个情况可以被视为我们的一个大问题,事实上它也是科学和数学哲学的大问题。讨论这些问题之前,让我们先转向元数学的历史:数学、它的本质及适用性已经被了解了多少?

元数学

应用数学的哲学 雅典学派的柏拉图和亚里士多德

历史上的数学一般没有纯粹和应用数学之间的区别。然而,近代数学在过去的两个世纪中出现了纯数学几乎独占鳌头的局面,尤其在强调了所谓的数学基础---即使数学命题为真的东西是什么?对基础感兴趣的元数学家们通常分为四大阵营:

 

  • 形式主义者,如大卫·希尔伯特,他们认为数学基于集合论和逻辑的组合,并在一定程度上把做数学的过程视为根据某些既定规则所作的本质上毫无意义的符号洗牌。
  • 逻辑主义者把数学看着是逻辑的延伸。著名的逻辑主义代表人物伯特兰·罗素阿尔弗雷德·怀特海花了数百页的篇幅,以(从逻辑上)证明一加一等于二。
  • 直觉主义者的响当当人物是L.E.J.布劳威尔,有人这样评价他说:“他不会相信是否在下雨,直到他看到窗外以后”(根据Donald Knuth)。这句话讽刺直觉主义者的中心思想:拒绝排中律。这普遍接受的定律说:一个命题(如“下雨”)或真或假,即使我们还不知道它到底是真是假。相反,直觉主义者认为除非你已经完全证明了该命题或构造了反例,它没有客观的真实性。此外,直觉主义者对他们能接受的无穷符号给出严格限制。他们相信数学完全是人类心智的产物,并且他们规定数学仅能把无穷用于1-2-3类型过程的算术延伸。结果,他们在证明中仅仅允许可数的运算,即能由自然数描述的运算。
  • 最后,作为这四个阵营的最老成员,柏拉图主义者相信外部的现实,以及数很数学之外其他事物的存在。对于像哥德尔(Kurt Godel)这样的柏拉图主义者,数学存在于人类心智之外,也可能在物理世界之外,但是在人类的心智世界和数学的柏拉图王国之间有一种神秘的联系。

 

人们争论着这四种流派的哪一个---如果有的话---可以充当数学的基础。好像这些被纯化的讨论与应用问题毫无关系,但也有说法认为这种关于基础的不确定性恰恰影响了数学的应用。在《确定性的消失》(The Loss of Certainty)这本书中,克莱因(Morris Kline)在1980年写道:“关于什么是健全的数学的危机和冲突也已经阻碍了数学方法论在哲学、政治学、伦理学、美学等文化领域中的应用[...]理性时代已经一去不复返了。”令人感激的是,数学现在开始用于这些领域,但是我们已经学到一个重要的历史教训:对于数学应用的选择,有一个敏感于元数学问题的社会学维度。

数学基础与数学可适用性

应用数学的哲学 世界是数学的,还是人类心智的构建?

思考数学适用性的元数学家合乎逻辑的下一步是问:关于我们的大问题,关于数学基础的这四大学派观念中的每一个将断言什么?关于这方面的讨论已出现在一些数学家和科学家的著作中,如彭罗斯(Roger Penrose)的著作《现实之路》(The Road to Reality)或戴维斯(Paul Davies)的著作《上帝的思考》(The Mind of God)。

我将通过倒转“合乎逻辑”的下一步来走另一条路:我想问“对数学的可适用性而言数学基础必须说些什么?”在问这一问题时,我先假定数学有用这个命题是没人反对的,现代科技极端依赖数学的众多例子已见证了这个事实。

那么一个形式主义者怎么解释数学的可适用性呢?如果数学真的除了是世界上这个历时最长、玩家最多的游戏中的数学符号洗牌之外,别无他物的话,那么它谈何去描绘世界?数学游戏有什么特权比其他游戏更能描绘世界?记住,该形式主义者必须在形式主义者的世界观里回答问题,故不允许诉诸柏拉图之类的数学更深层意义或与物理世界深藏不露的联系。由于类似的理由,逻辑主义者也挣扎不已,因为如果他们说:“嗯,也许世界是逻辑的体现”,那么他们悄然地假设能被体现的逻辑柏拉图王国的存在性。这就把逻辑主义置为柏拉图主义的一个分支,如我们下面要看到的,它将出现它自己的重大问题。因而对于形式主义者和非柏拉图主义的逻辑主义者而言,应用数学的存在性可以严重挑战他们的地位。

不仅逻辑主义而且形式主义都不再被广泛相信,尽管有这样的陈词滥调:数学家在一周之中是柏拉图主义者,而周末是形式主义者。这两种观念都不再受宠,其理由不是关于数学的可适用性这一潜在的大问题,而是基本上与哥德尔(Godel)、Thoralf Skolem及其他人的工作有关。

第三个的基础直觉主义自始至终就未获得大量支持。如果说它被考虑到的话,大部分时间是被数学家们抱怨地说起。它所提供的高度限制性的证明工具箱和奇怪的不确定符号,以及一个命题非真非假直到一个构造性证明出现为止,让这种观点对许多数学家而言都毫无吸引力。

然而,宇宙中各种过程及可数本质的中心思想似乎可从现实中导出。物理世界,至少我们人类所感知的,似乎由可数多个事物组成,且我们可能遇到的任何无穷性都是延伸一个计数过程后的结果。以这种方式,直觉主义或许来自于自然是至多可数的无穷这一物理世界的现实。直觉主义看上去给予数学的可适用性问题提供了一个优雅的回答:数学是可适用的,因为它来自于现实。

但是,更细的探究会让这个回答土崩瓦解。首先,现代数学物理中有许多东西,比如说量子理论,需要超过可数的无穷概念。单单这点就可能永远超过直觉主义数学的解释能力了。

有一个现代思想可能获益于直觉主义者的有穷论逻辑,即所谓的数字物理。它认为宇宙近似于巨型计算机。例如,基本粒子由它们恰好在某个给定时刻的量子状态描述,就像计算机科学中的比特由它的0或1值所定义一样。宇宙就像一台计算机那样建立在状态信息的基础之上,它的演变从理论上讲可以由巨型计算机模拟。因此有数字物理的座右铭:“它来自比特”。

但是,这个世界观也未能成为真正直觉主义的,它似乎潜入到柏拉图的一些想法之中。信息论的比特看似假定派生出物理世界的信息之柏拉图式存在性。

但更根本的是,直觉主义对非直觉的数学为什么是可应用的问题回答不了。很可能一个非直觉的数学定理有了直觉的证明时才适用于自然世界,但此断言尚未建立。此外,虽然直觉数学看起来好像从现实世界派生而来,但尚不清楚人类心智的对象是否就是需要忠实代表物理宇宙的对象。

建立在数学的形象中

应用数学的哲学 伽利略相信世界是以数学语言书写的。他面对罗马宗教裁判所宣称地球围绕太阳转。

形式主义和逻辑主义都没有回答我们的大问题。关于直觉主义是否能做到的判断也已经作出,但巨大的概念困难依然存在。那么,柏拉图主义能做什么?

柏拉图主义者认为物理世界是数学王国的一个不完善的影子。物理世界在某种程度上出现于这种柏拉图王国中并植根于它,因此世界的对象及其之间的关系是柏拉图王国的对应影子。世界由数学描述的事实不再是一个谜,因为它已成为一个公理:世界扎根于数学王国。

但是更大的问题出现了:为什么物理王国出现并植根于柏拉图王国?为什么精神王国来自物质世界?为什么精神王国与柏拉图王国有某些直接关联?

确实,我们生活在一个神圣的宇宙之中,并通过学习数学和科学来分享神圣的心灵,这一信念已经可以说是理性思维的时间最长的动机,世代相传,从毕达哥拉斯、牛顿,到今天的许多科学家。在这个意义上说,“上帝”似乎在时空世界既非一个对象,也非物理世界中的对象总和,更不是柏拉图世界中的一个元素。相反,上帝是接近柏拉图王国整体的某样东西。在这种方式中,上面所述的柏拉图主义者所面对的很多困难与犹太教和基督教世界神学家所面临的相同。

假如我们认为上面的大问题是有答案的,那么伽利略的“宇宙之书”写于数学“语言”的不朽言论是一种寻求答案的柏拉图式叙述。今天,甚至非宗教的数理学家经常表达探索柏拉图王国时的敬畏之感,认为他们不创造数学,而是发现它。保罗•戴维斯(Paul Davies)在其著作《上帝的思考》(The Mind of God)中走得更远,强调了这种动机的双向性:它不仅可以带动数学家了解数学以便一睹心中之神,而且接近“宇宙的关键”的这一能力给予了我们生存的一些目的或意义。

事实上,假设数学结构及宇宙的物理本质和我们对它们的精神接触是“上帝”的某种心灵、本质及身体的一部分,那么对数学基础及其适用性探讨将有比以上描述的那些学说大得多的一个答案。这样一个假设已在过去几千年中各种各样的宗教、文化和科学系统中发现。然而,让哲学家或科学家全心全意地接受这个观点不是件很自然的事,这样做也许会鼓励保全模糊面纱的神秘性,而不是揭开这个面纱。

应用数学的哲学 Penrose的三位世界图

罗杰•彭罗斯(Roger Penrose)用一个三位世界图清晰地说明了这个奥秘。柏拉图的、物理的和精神的世界是问题中的三个对象,他把它们勾勒为排成三角形的三只球。一个锥体连接柏拉图世界与物理世界:在最常见的形式下,该图显示锥体窄的那端穿透柏拉图世界,而宽的那端则渗透到物理世界。这至少部分表明物理世界嵌入在至少一些柏拉图世界当中。一个类似的锥体连接物理世界与精神世界,至少部分的精神世界嵌入在物理世界之中。最后,也是最神秘的,三角形以一个把精神世界连接到柏拉图世界的锥体完成:柏拉图世界至少部分地嵌入到精神世界。每个锥体和每个世界本身,仍是一个谜。

应用数学的哲学

我们似乎已经陷入相当令人沮丧的僵局中,关于数学基础的四个论点中没有哪个可以毫不含糊地回答数学的可适用性问题。不过,我希望你读完这篇文章研究后的感觉是:这是令人难以置信的好消息!梳理出应用数学为什么存在这一大问题的细微之处,是未来的一个项目,这个项目于探讨数学、物理宇宙及我们在这两个有意义的系统中所处位置的本质方面,可能产生深刻的洞察

原文链接:

http://plus.maths.org/content/philosophy-applied-mathematics

2012 / . 05 / . 16

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http://ishare.iask.sina.com.cn/f/16219403.html(压缩版)

苏州大学:

数学分析习题课讲义 全两册 谢惠民

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/17007977.html

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/17007976.html

华东师范大学:

数学分析 全两册(上、下)华东师范大学数学系

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/17007787.html

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/17007766.html

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/17007747.html(习题详解)

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/17007748.html(习题详解)

数学分析习题课教程 全两册(上、下)郑英元 毛羽辉 宋国栋

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/17007738.html

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/17007737.html

其他外国教材:

数学分析(Mathematical Analysis)全一册 Tom.M.Apostol

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/23537678.html(华章数学译丛 中文版)

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/14974343.html(英文版第二版)

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/14974343.html(非pdf格式)

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/21797362.html(习题答案,不知道是否匹配)

数学分析原理(Principles of Mathematical Analysis)全一册 Walter Rudin 

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/6696610.html(中文版上册)

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/6696640.html(中文版下册)

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/14400076.html(第三版 英文版)

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/15142854.html

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/21141146.html(没有验证是否重复)

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/22825231.html(三个的合压缩)

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/18717273.html(习题答案)

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/12536208.html(学习笔记)

高等微积分 全一册 L.H.Loomis  S.Sternberg

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/21665269.html(中文版)

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/7339225.html(非pdf)

现代分析基础 全两册 迪厄多内

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/21665602.html

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/21665604.html

普林斯顿微积分读本

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/22738170.html(英文版)

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/16775764.html

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/16776836.html

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/16775899.html(注!三个必须都下完才能解压!)

微积分与数学分析引论 全两卷(共四册)柯朗

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/23942129.html

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/23942144.html

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/23942177.html(好像没有第二卷第二分册)

 

所有书籍是自己去寻找的,其中大部分书籍我都已经尝试过下载,不过并不能保证所有资源全都是好的,出现了什么问题,还希望大家指出,同时还有什么推荐也希望大家能够一起补充!如果能对谁有所帮助,都是再好不过的,这也是我的初衷。当然没有二哥(关志达——我最好的同学)的帮助也不可能做好这个,过多的感谢不多说了~~

很惭愧……我并没有完整看过这些中的一本,自然也没有什么资都格去评论,所以只把这些书籍找来,希望看过的朋友能够给出意见!

我和二哥也在制作关于高等代数的东西,不久也能出来,希望大家能推荐一点什么~谢谢~

2012 / . 05 / . 10

如何成为了名理论物理学家(ZZ科学网论坛)

作者:Gerard 't Hooft 译者:hmy
【译注】
本文作者Gerard 't Hooft,荷兰人,1999 年诺贝尔物理学奖得主,当今理
论物理学的大牛。如果对物理学感兴趣而不知道Gerard 't Hooft,那么我的建
议是,要么自己去查找资料,要么乘早去关心其他任何除了物理学之外的东西。
原文见:http://www.phys.uu.nl/~thooft/theorist.html 
【正文】
这个网站(在建中)为青年学生和其他任何人所做——那些和我一样面对真
正科学的挑战而兴奋的人,那些和我一样决定以他们的大脑在我们生活的现实世
界中做出新发现的人。简而言之,是为了那些决定以毕生精力研究理论物理学的
人。
我经常收到来自业余物理学家们的计划周密而一无是处的信件,他们坚信自
己已经解释了整个世界。他们坚信这一点,只是因为他们对于解决现代物理学问
题的真正方法完全一窍不通。如果你真的想对物理学定律的理论解释作出贡献
——如果你成功了,那将是一种令人兴奋的体验!——你需要懂的东西太多了。
首先,要认真对待之。所有必要的科学课程都是在大学中教的,因此,很自然,
你首先要做的事就是读大学并学习你能够学到的所有知识。但是,如果你还年轻,
还在上中学,你进大学之前不得不忍受那些被称之为幼稚的趣闻的科学时,你怎
么办?如果你已经年长,你完全不希望跟那些吵吵嚷嚷的年轻学生混在一起,你
又怎么办?
如今这个年代,你完全可以从Internet 上得到所有知识。问题是,Internet
上的垃圾太多了。你能从中筛选出那些真正有用而少的可怜的网页吗?我很清楚
应该教什么东西给那些刚入门的学生。列出那些绝对必要的课程和课题的名称是
很容易的,而这就是我下面已经完成了的。我的目的是搜集那些真正有用的论文 
和书籍所在的网页,最好是可下载的。通过这种方法,成为一个理论物理学家的
成本不会超过一台可连接Internent 的电脑、一个打印机、很多纸和笔。不幸的
是,我不得不建议去买一些教材,但在此很难给出建议,或许将来的网站上会有。
让我们先给自己一个最低限度。下面列出的科目是必须学习的。任何遗漏都将受
到惩罚:失败。要相信我是对的:你不需要任何宗教式的笃信——去验证它吧。
尽你所能,不断尝试。你将一次又一次地发现,那些人的工作的确是最聪明的。
令人惊奇的是,最好的教材都有习题。去做习题,然后你会发现可以理解所有内
容。你需要达到这种程度:发现大量的印刷错误、无足轻重的失误和重大差错,
并想象你怎样以一种更聪明的方式撰写那些教材。
我可以告诉你我自己的经验。我很幸运,周围有那么多优秀的老师。这使我
不致于误入歧途。这使我获得……。我将尝试做你的老师。这是一个艰巨的任务。
我正在请求学生、同事和老师们帮助我改进这个网站。目前建立的这个网站仅仅
针对那些力图成为理论物理学家的人,不是普通人,而是那些很棒的人,是那些
下定决心要夺取诺贝尔奖的人。如果你是一个非常谦虚的人,很好,首先完成那
- 2 -
些令人生厌的中学教育,并且循序渐进地吞下那些教育家和专业玩家如此混帐地
把每一个细小的部分都仔细嚼碎了再喂给你的东西。这个网站针对雄心勃勃者。
我确信任何人都能做到,只要你有足够的智力、兴趣和决心。
理论物理学就象一座摩天大楼。它有着初等数学和20 世纪前经典物理学的
坚实基础。虽说我们已拥有更多,也不要以为20 世纪前的物理学是“不相干
的”。在那些日子里,那坚实基础中保存着我们如今正享受着的知识。在你自己
重新构建基础之前,不要去尝试造你自己的摩天大楼。摩天大楼的下面几层是由
高等数学构成的,它们使经典物理学理论变得更加美丽动人。如果你想爬得更高,
它们是必需的。因此,下面将列出其他一些课程。最后,如果你够疯而打算解决
那些协调重力物理学与量子世界的极其困难的问题,你就拼了老命学习广义相对
论、超弦理论、M-理论、Calabi-Yau 流形,等等。这是摩天大楼目前的顶端。
还有其他一些山峰,诸如玻色-爱因斯坦凝聚态、分数量子霍尔效应,等等。正
如过去几年所显示的,这些也是角逐诺贝尔奖的好课题。一个必要的警告:即使
你聪明绝顶,你还是会在某些地方卡死。你自己去网上冲浪吧。去发现更多。告
诉我你的发现。如果这个网站对准备读大学的人有所帮助,如果激励了某些人,
帮助一些人沿途而行,清除了他或她通往科学的道路,那么我认为这个网站就成
功了。请让我知道。这里是课程列表。
记住,这个网站并不十分符合教育法,我使用颜色而不是令人分心的画面来
避免使用文字以区分那些一点都不风趣的作者。同时,包含的课程也略微倾向于
我的个人爱好。
课程列表,按照逻辑次序(并不是一切都必须依照这个次序,但是它大致的
指明了了不同科目之间的逻辑关系。某些标题比另一些级别更高。)
·语言
·基本数学
·经典力学
·光学
·统计力学和热力学
·电子学
·电磁学
·量子力学
·原子和分子
·固体物理
·核物理
·等离子体物理
·高等数学
·狭义相对论
·高等量子力学
·唯象理论
·广义相对论
·量子场论
·弦论
更多资源 
.ps 文件是PostScript 文件§。
(现在是初级阶段,这个网页还很不完整!)
- 3 -
语言
英语是不可或缺的。如果你还不能熟练运用,就去学。你必须能够读、写、
说,并且理解英语,但你在这里并不需要完美。这篇文章里的蹩脚英语就是我自
己写的。这就够了。所有出版物都是英语的。要注意到英语书写能力的重要性。
你很快就会希望发表你自己的成果。人们必须能够阅读和理解你的材料
法语、德语、西班牙语和意大利语可能也有用,但他们不是必要的。他们并
不靠近我们摩天大楼的基础,所以别担心。你确实需要希腊字母。希腊字母使用
广泛。学习他们的名字,否则你演讲用到它们的时候会成为一个呆瓜。现在,开
始给出严肃的材料。不要抱怨这些东西看起来很多。你休想无偿得到诺贝尔奖,
而且记住,所有这些加在一起至少要需要我们的学生进行近5 年的勤奋学习(至
少有一个读者对这个说明表示惊讶,声称他/她绝不可能在5 年里熟练掌握这些
内容;的确,我是对那些计划在这个学习上花很多时间的人说的)。现在假定仍
有可待开发的智力,因为普通学生可以在教师的协助下熟习之。做习题是必要的。
要力图比作者更聪明,但是在全部学会之前千万别写信告诉我你那非主流理论;
如果你彻底学会了,你将发现那些作者毕竟不蠢。
现在,首先要学的是:
基本数学
你喜欢数字、加法、减法、平方根等等么?
*西德克萨斯A&M 大学《代数入门》*:
http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/beg_algebra 
*西德克萨斯A&M 大学《代数进阶》*:
http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/int_algebra/index 
.htm
·自然数
·整数
·有理数
·实数
·复数
它们非常重要!
Dave E. Joyce 的三角函数课程:
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/trig/ 
这是必须的:James Binney 教授的复数课程:http://wwwthphys.
physics.ox.ac.uk/users/JamesBinney/complex.pdf
肯塔基K.Kubota 的“初等数学一览”:
http://www.msc.uky.edu/ken/ma109/notes.htm 
还可参看Chris Pope 的讲义:
http://faculty.physics.tamu.edu/pope/mch1.ps 
http://faculty.physics.tamu.edu/pope/mch2.ps 
亚特兰大G. Cain 的复平面、柯西定理和线积分:
http://www.math.gatech.edu/~cain/winter99/complex.html 
集合论:开集,紧致空间,拓扑。你可能会惊讶,它们在物理学中的确扮演
- 4 -
了角色!
代数方程:求近值方法。级数展开:泰勒级数。解复数方程。三角函数:sin(2x)
= 2*sin(x)*cos(x),等等。
无穷小。微分。初等函数的微分(sin,cos,exp)。
积分。初等函数的积分。微分方程。线性方程。
傅里叶变换。复数的应用。级数的收敛。
复空间。柯西定理和线积分(现在这些很有趣)。
Γ函数(享受在学习其性质时的乐趣)。
高斯积分。概率论。
偏微分方程。狄里克莱和诺依曼边界条件。
这些是针对初学者的。有些内容可能成为一个完整的讲座课程。这些内容大
多是物理学理论中必须的。你开始学习后面的内容时并不需要学完所有这些课
程,但记住以后要回来完成那些你第一次漏掉的。
经典力学
一个来自哈佛的很棒的笔记:http://www.courses.fas.harvard.edu/~phys151/ 
德克萨斯Austin 大学R. Fitzpatrick 的一个经典分析动力学的进阶课程:
http://farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/lectures/ 
·静力学(力,张力);流体静力学。牛顿定律。
·行星椭圆轨道。多体系统。
·作用量原理。哈密尔顿方程。拉格朗日方程。(不要跳过,极其重要!)
·谐振子。摆。
·泊松括号。
·波动方程。液体和气体。纳维-斯托克斯方程。粘滞性和摩擦。
光学
A. A. Louro 的光学讲义:
http://www.phas.ucalgary.ca/phys323/fall/notes/optics.pdf 
·折射和反射。
·透镜和镜子。
·望远镜和显微镜。
·波的传播初步。
·多普勒效应。
·波的叠加的惠更斯原理。
·波前。
·焦散面。
统计力学和热力学
Alfred Huan 的统计力学课程:
http://www.ntu.edu.sg/home/alfred/teaching.htm 
Donald B. Melrose 教授的热力学讲义:
http://www.physics.usyd.edu.au/rcfta/thermo.html 
·热力学第一、第二和第三定律。
·玻尔兹曼分布。
- 5 -
·卡诺循环。熵。热机。
·相变。热力学模型。
·伊辛模型(把求解2 维伊辛模型的技术推迟到后面)。
·普朗克辐射定律(作为量子力学的序曲)。
电子学
(只有一些非常基本的电路方面的东西)
·欧姆定律,电容,电感,用复数计算他们的效应。
·晶体管,电子管(其工作原理以后再学)。
电磁学
James Kelly《自然科学学生的数学必读》:
http://www.physics.umd.edu/courses/CourseWare/EssentialMathematica 
Angus MacKinnon《计算机物理》:
http://www.sst.ph.ic.ac.uk/angus/Lectures/compphys/ 
W.J.Spence《电磁学》:
http://monopole.ph.qmw.ac.uk/~bill/emt/LecNotes.html 
Bo Thide 的高等电磁场理论习题:http://www.plasma.uu.se/CED/Book 
Jackson 的习题答案:
http://www.physics.rutgers.edu/~rmagyar/physics/jackson.ps 
http://samizdat.mines.edu/jackson/main.pdf 
即便是纯粹的理论家也可能对计算物理的某些方面感兴趣。
电磁学的麦克斯韦理论:
·各向同性的和各向异性的
介质中的麦克斯韦定律。边界。求解以下方程:
·真空和各向同性介质(电磁波)
·箱体(波导)
·边界(折射和反射)
矢势和规范不变性(极其重要)
电磁波的发射和接收(天线)
光的散射
量子力学(非相对论性)
Michael Fowler 的量子力学和狭义相对论入门:
http://www.phys.virginia.edu/classes/252/home.html 
曼彻斯特Niels Walet 的量子力学讲义:
http://walet.phy.umist.ac.uk/QM/ 
http://walet.phy.umist.ac.uk/QM/LectureNotes/ 
·玻尔的原子论
·德·布罗意关系(能量-频率,动量-波长)
·薛定谔方程(带电磁场)
·欧伦菲斯特定理
·箱体中的单粒子
·氢原子,详细的求解。塞曼效应。斯塔克效应。
- 6 -
·量子谐振子。
·算子:能量,动量,角动量,产生和湮灭算子。
·其变换规则。
·量子力学散射初步。S 矩阵。放射性衰变。
原子和分子
·化学
·轨道
·原子和分子光谱
·光的发射和吸收
·量子选择规则
·磁矩
固体物理
固体物理:Chetan Nayak 的笔记(UCLA):
http://www.physics.ucla.edu/~nayak/solid_state.pdf 
·晶格
·布拉格反射
·电介常数和反磁性常数
·布洛赫谱
·费米能级
·导体,半导体和绝缘体
·比热
·电子和空穴
·晶体管
·超导
·霍尔效应
核物理
·同位素
·放射性
·裂变和聚变
·液滴模型
·核的量子数
·幻数核
·同位旋
·汤川理论
等离子体物理
·磁流体力学
·阿尔文波
高等数学
参看佛吉尼亚John Heinbockel:
- 7 -
http://www.math.odu.edu/~jhh/counter2.html 
参看Chr. Pope: Methods2§:
http://faculty.physics.tamu.edu/pope/methods2.ps 
数学习题集:http://www.geocities.com/alex_stef/mylist.html 
G.'t Hooft 的《李群》(荷兰文+习题):
http://www.phys.uu.nl/~thooft/lectures/lieg.html 
关于李群还可参看Chr. Pope 讲义最后一章(“广义相对论”后面)
《特殊函数和多项式》(理解那些原理即可):
http://www.phys.uu.nl/~thooft/lectures/specialfct.pdf 
·群论,群的线性表示
·李群理论
·矢量和张量
·更多的求解(偏)微分方程和积分方程的技巧
·极值原理和基于它的近似技巧
·差分方程
·母函数
·希尔伯特空间
·泛函积分初步
狭义相对论
Peter Dunsby 的张量和狭义相对论课程:
http://vishnu.mth.uct.ac.za/omei/gr/ 
·洛仑兹变换
·洛仑兹收缩,时间膨胀
·E = mc^2
·4 维矢量和4 维张量
·麦克斯韦场的变换规则
·相对论多普勒效应
高等量子力学
密歇根州立大学高等量子力学笔记:
http://www.nscl.msu.edu/~pratt/phy851/lectures/lectures.html 
·希尔伯特空间
·原子跃迁
·光的发射和吸收
·受激发射
·密度矩阵
·量子力学的解释
·贝尔不等式
·过渡到相对论性量子力学:狄拉克方程,精细结构
·电子和正电子
·超导的BCS 理论
·量子霍尔效应
·高等散射理论
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·色散关系
·微扰展开
·WKB 近似,极值原理
·玻色*爱因斯坦凝聚态
·超流氦
唯象理论
亚原子粒子(介子,重子,光子,轻子,夸克)和宇宙射线;材料性质和化
学;核同位素;相变;天体物理(行星系,恒星,星系,红移,超新星);宇宙
学(宇宙学模型,暴涨宇宙论,微波背景辐射);测量技术。
广义相对论
G. 't Hooft 的入门和习题:
http://www.phys.uu.nl/~thooft/lectures/gr.html 
选读:Sean M. Carrol 的广义相对论讲义:http://xxx.lanl.gov/abs/grqc/ 
9712019
Chr. Pope《几何和群论》:
http://faculty.physics.tamu.edu/pope/geom-group2006.ps 
http://faculty.physics.tamu.edu/pope/geom-group2006.pdf 
·度规张量
·时空曲率
·爱因斯坦引力方程
·斯瓦兹察尔德黑洞
·雷斯纳-诺斯陶姆黑洞
·近日点位移
·引力透镜
·宇宙模型
·引力辐射
量子场论
Pierre van Baal 的量子场论笔记:
http://www.lorentz.leidenuniv.nl/vanbaal/FTcourse.html 
G. 't Hooft 的《量子场论的概念基础》:
http://www.phys.uu.nl/~thooft/lectures/basisqft.pdf 
《科学哲学手册》中的一章:http://people.uleth.ca/~woods/HPS_WP/hps.html 
磁单极和瞬子:http://xxx.lanl.gov/abs/hep-th/0010225 
·经典场:标量场,狄拉克旋量,杨-米尔斯矢量场。
·相互作用,微扰展开。自发对称性破缺,戈德斯通方法,黑格斯机制。
·粒子与场:福克空间。反粒子。费曼规则。π介子和核子的盖尔曼-李维
Σ模型。圈图。么正性、因果律和色散关系。重正化(泡利-维拉斯;维数重正
化)。量子规范理论:规范不变,法捷耶夫-波波夫行列式,斯拉夫诺夫恒等式,
BRST 对称。重正化群。渐进自由。
·孤立子,斯卡米子。磁单极和瞬子。夸克永久禁闭机制。1/N 展开。算符
乘积展开。贝瑟-萨佩特方程。标准模型的建立。P 和CP 破坏。CPT 定理。自旋
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和统计的联系。超对称。
超弦理论
入门和习题:http://www.phys.uu.nl/~thooft/lectures/string.html 
一个超弦大众网站:http://www.superstringtheory.com/ 
更多的网上讲义可以在这里找到:
http://www.hostultra.com/~mhegazy/online_physics_lecture_notes.htm 
有许多理论物理各种课题的好书,这里列出少量书目:
·J.B. Marion & W.F. Hornyak, Principles of Physics, Saunders College
Publishing, 1984, ISBN 0-03-049481-8
·H. Margenau and G.M. Murphy, The Mathematics of Physics and
Chemistry, D. v.Nostrand Comp.
·R. Baker, Linear Algebra, Rinton Press
·L. E. Reichl: A Modern Course in Statistical Physics, 2nd ed.
·R. K. Pathria: Statistical Mechanics
·M. Plischke & B. Bergesen: Equilibrium Statistical Physics
·L. D. Landau & E. M. Lifshitz: Statistical Physics, Part 1
·S.-K. Ma, Statistical Mechanics, World Scientific
·J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd ed., Wiley & Sons.
·A. Das & A.C. Melissinos, Quantum mechanics, Gordon & Breach
·A.S. Davydov, Quantum Mechanics. Pergamon Press
·E. Merzbacher, Quantum Mechanics, Wiley & Sons
·R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics, Plenum
·J.J. Sakurai, Advanced Quantum Mechanics, Addison-Wesley
·B. de Wit & J. Smith, Field Theory in Particle Physics, North-
Holland
·I.J.R. Aitchison & A.J.G. Hey, Gauge Theories in Particles Physics,
Adam Hilger
·L.H. Ryder, Quantum Field Theory, Cambridge Univ. Press
·C. Itzykson & J.-B. Zuber, Quantum Field Theory, McGraw-Hill.
·J.B. Hartle, Gravity, An Introduction to Einstein's General
Relativity, Addison Wesley, 2003.
·T.-P. Cheng, Relativity, Gravitation and Cosmology, A Basic
Introduction, Oxford Univ. Press, 2005.
·Barton Zwiebach, A First Course in String Theory, Cambridge Univ.
Press, 2004
·M.B. Green, J.H. Schwarz & E. Witten, Superstring theory, Vols. I &
II, Cambridge Univ. Press
·J. Polchinski, String Theory, Vols. I & II, Cambridge Univ. Press.
其它有用的教材书目:
数学:http://www.alibris.com/search/search.cfm?wtopic=mathematics 
物理:http://www.alibris.com/search/search.cfm?wtopic=Physics 
(其中很多只是消遣读物,而不是理解世界之必不可少的。)
- 10 -
已经有了一些反响。我要感谢:Rob van Linden、Robert Tough、Thuy Nguyen、
Tina Witham、Jerry Blair、Jonathan Martin 以及其他人。

  转自 数学的美学世界
2012 / . 05 / . 08

德国那些人的工作

随着高斯的出现,数学的花朵从法国逐渐一直到了德国。在这个科学活动中心区,仅有的过数学家作出的重大成果,就占当时世界重大数学成果总数的42%以上。处了高斯和希尔伯特,在这个时期值得提出的杰出数学家还有:

莫比乌斯:拓扑学,提出著名的”莫比乌斯带“

斯太纳:射影几何学

古德曼:函数论,推广函数的幂级数表示法

斯陶特:射影几何学

普吕克:解析几何,建立广义同坐标和正切坐标

雅克比:椭圆函数论,数论,线性代数,变分学和微分方程

狄利克莱:解析数论,数学分析和位势理论

里斯丁:拓扑学,提出单侧曲面

格拉斯曼:多维欧几里德空间理论,引出矢量的数量积概念

库莫尔:理想数论

魏尔斯特拉斯:实数理论,数学分析,解析函数吧,变分学,微分几何和线性代数

海涅:集合论,提出著名的”有限覆盖定理“

克隆尼克:数论和椭圆函数论,提出有名的”克隆尼克代数乘积“

黎曼:黎曼几何学,数学分析,复变函数论和数论,提出著名的”黎曼猜想“

戴德金:代数学,提出算术公理的完整系统

果而丹:代数不变理论

韦伯:函数论,建立有名的韦伯函数

施瓦尔兹:微分方程论,提出有重要应用的施瓦尔兹函数

康托尔:集合论和实数理论

弗雷格:数理逻辑

克莱因:代数方程论,椭圆函数论,自守函数论,连续群论和非欧几何,提出著名的《爱尔朗根纲领》

林德曼:函数论,证明π的超越性

龙格:解析函数的多项式逼近,现代计算数学的先驱者

赫尔维茨:线性结合代数

豪斯道夫:集合论,拓扑学,泛函分析和数论,建立多维空间的度量理论,称为豪斯道夫度量

闵可夫斯基:提出四维几何公式,为爱因斯坦建立相对论提供重要的数学工具

兰道:解析数论

诺德:抽象代数

外尔:黎曼曲面理论,积分方程论,联络空间微分几何学和群表示论

柯朗:复变函数论,偏微分方程论和应用数学

2012 / . 05 / . 08

代数与几何互相渗透不可分割,这是线性代数的一个基本特点。线性代数名曰代数,其实也是几何。在某种意义上可以说:空间解析几何是三维空间的线性代数,而线性代数是n维空间的解析几何。可以用“空间为体,矩阵为用“来概括。—— 李尚志

2012 / . 05 / . 01

希尔伯特是活跃在20世纪初的伟大德国数学家。他的学生买了一部汽车,后来不幸死于一场车祸。在葬礼上,死者家属请希尔伯特老师说几句话,于是他说:“小克劳斯是我的学生当中最优秀的,他生前在数学方面,具有不同凡响的天分。他对数学的兴趣非常广泛,诸如……”他暂停了一会儿,然后说:考虑考虑单位区间上一组可微函数,然后去他们的闭包……”

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我毫不犹豫地说,数学家值得为自己的天空去耕耘,值得为了那些在物理学中没有应用的理论去研究. ———— 庞加莱

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数学的主要研究方向

按美国《数学评论》杂志的分类,现代数学的研究方向包括90多个二级学科,400多个三级学科,更细的分科已难以统计。下面为主要研究方向:

(1)数理逻辑与数学基础

a.演绎逻辑学(符号逻辑学)                                    b.证明论(元数学)

c.递归论                                                                    d.模型论

e.公里集合论                                                            f.数学基础

(2)数论

a.初等数论                                                                b.解析数论

c.代数数论                                                                d.超越数论

e.丢番图逼近                                                            f.数的几何

g.概率数论                                                               h.计算数论

i.模型式与模函数论            

代数学

a.线性代数                                                                b.群论、环论和域论

c.序结构研究                                                             d.李群和李代数                                  

e.可出代数和体                                                         f.Kac-Moody代数              

g.编码理论和方法                                                     h.模论和格论                                        

i.代数群                                                                     j.泛代数理论

k.范畴论和同调代数                                                  l.群表示论

m.代数K理论                                                             n.微分代数

o.代数编码理论

(4)代数几何学

a.连续与离散的对偶性                                               b.Riemann-Roch-Grothendick理论

c.Scheme theory                                                      d.Topis theroy

e.L-adic上同调和etale上同调                                    f.Grothendick圈

g.晶体与晶状上同调                                                   h.de Rahm系数

i.Hodge系数理论                                                       j.新同伦代数

k.Topis的上同调                                                        l.稳和拓扑

(5)几何学

a.几何学基础                                                             b.欧式几何学

c.非欧几何学                                                             d.球面几何学

e.向量和张量分析                                                      f.仿射几何学

g.射影几何学                                                             h.微分几何学

i.分数维几何学                                                           j.计算几何学

k.流形上的分析                                                          l.黎曼流形和洛伦兹流形

m.齐性空间与对称空间                                              n.调和映照及其在理论物理中的应用

o.子流形理论                                                             p.杨-米尔斯场

q.辛流形

(6)拓扑学

a.点集拓扑学                                                              b.代数拓扑学

c.同伦论和同调论                                                       d.低维拓扑学

e.微分拓扑学                                                              f.维数论和奇点理论

g.格上拓扑学                                                              h.纤维丛论

i.几何拓扑学

(7)函数论

a.微积分学                                                                 b.函数逼近论和级数论

c.Rn中调和分析实方法                                               d.多单复变函数论

e.复流形和复动力系统                                                f.非紧半李群的调和分析

(8)非标准分析

(9)常微分方程

a.定性理论                                                                  b.稳定性理论

c.解析理论                                                                  d.泛函微分方程

e.特征与谱理论及其反问题                                         f.分支理论

g.混沌理论                                                                 h.奇摄动理论和动力系统

i.复域中的微分方程

(10)偏微分方程

a.椭圆形偏微分方程                                                   b.双曲形偏微分方程

c.抛物形偏微分方程                                                   d.非线性偏微分方程

e.连续介质物理与力学及反应                                     f.非线性波

g.微局部分析与一般偏微分算子理论                          h.调混合形及其他带奇性的方程

i.非线性发展方程                                                       j.无穷维动力系统

k.偏微分方程其他学科 

(11)动力系统

a.微分动力系统                                                         b.拓扑动力系统

c.复动力系统

(12)积分方程

a.线性积分方程                                                         b.第一类Fredholm方程

c.奇异积分方程                                                         d.积分方程组

e.非线性积分方程

(13)泛函分析

a.线性算子理论                                                         b.变分法

c.拓扑线性空间                                                         d.希尔伯特空间

e.函数空间                                                                f.巴拿赫空间

g.算子代数和非线性泛函分析                                    h.测度与积分

i.广义函数论

(14)计算数学

a.插值法与逼近论                                                      b.常微分方程数值解

c.偏微分方程数值解                                                   d.积分方程数值解

e.数值代数                                                                 f.连续问题离散化方法

g.随机数值实验                                                         h.误差分析

i.计算数学其他学科

(15)概率论

a.几何概率                                                                 b.概率分布

c.极限理论                                                                 d.随机过程(含平稳过程)

e马尔可夫方法                                                           f.随机分析

g.鞅论                                                                        h.应用概率论

i.随机场

(16)数理统计学

a.抽样理论                                                                 b.假设检验

c.非参数统计                                                              d方差分析和回归分析

e.蒙特卡洛方法                                                          f.统计推断

g.贝叶斯统计                                                             h.试验设计

i.多元分析和统计线性模型                                         j.统计判决理论    

k.时间序列分析                                                          l.数据分析及其图形处理

(17)应用统计数学

a.统计质量控制                                                         b.可靠性数学和统计模拟

c.保险数学

(18)运筹学

a.线性规划                                                                b.非线性规划

c.动态规划                                                                d.组合最优化

e.参数规划                                                                f.整数规划和图论

g.随机规划                                                               h.排队论

i.对策论(博弈论)                                                   j.库存论和最优论

k.决策论和统筹论                                                     l.搜索论

(19)组合数学

a.组合计数和组合设计                                              b.组合算法

c.组合概率方法                                                         d.密码学和图论

e.复杂度分析                                                            f.线型计算几何

(20)模糊数学

a.模糊控制和决策                                                     b.模糊识别和评判

c.模糊聚类分析

(21)数学物理

a.规范场论                                                                b.引力场论的经典理论与量子理论

c.孤立子理论                                                             d.统计力学

e.连续介质力学等方面的数学问题

(22)控制论

a.有限维非线性系统                                                  b.分布参数系统的控制

c.随机系统的控制                                                      d.最优控制理论与算法

e.参数识别与适应控制                                               f.稳健控制

g.线性系统的代数与几何方法                                    h.控制的计算方法

i.微分对策理论

(23)计算机的数学基础

a.可解性与可计算性                                                 b.机器证明

c.计算复杂性                                                            d.VLSI数学基础

d.计算机网络与并行计算                                                           

(24)计算科学与科学工程计算

a.偏微分方程数值计算                                              b.初边值问题数值解法及应用

c.奇异性问题                                                            d.非线性微分方程及其数值解法

e.边值问题数值解法及其应用                                    f.代数微分方程

g.有限元和边界元数值方法                                       h.变分不等式的数值方法

i.辛几何差分方法                                                      j.数理方程反问题的数值解法

k.常微分方程数值解法及其应用                                l.二点边值问题

m.STIFF问题研究                                                      n.数值代数大型稀疏矩阵求解

o.代数特征值问题及其反问题                                   p.非线性代数方程

q.一般线性代数方程组求解                                       r.快速算法

s.有理逼近和多元逼近                                               t.曲面拟合和光滑拼接

u.曲面造型和曲面设计                                              v.散乱数据插值

w.计算几何

(25)若干交叉学科

a.信息论及应用                                                        b.经济数学

c.生物数学                                                               d.不确定性的数学理论

e.分形论及其应用      

注:虽然具体不了解这些东西都是做什么工作的,但是也打出来和大家分享一下,由于打字速度比较慢,所以也是分了几次才打出来。根据的则是电子工业出版社徐传胜、周厚春的《数学史讲义概要》,如果能对任何一个人有所帮助,也算我没有白费力气打出来。

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数学的极端形式化

数学的极端形式化(从布尔巴基开始的),不仅阻碍了一般公众了解和欣赏数学的可能,而且有时甚至连职业数学家都大叫其苦。特别是有许多人病态的将这种形式化倾向反战到不可理解的地步。阿诺德是前苏联著名数学家,他曾经成功证明了希尔伯特第十三问题(不可能用只有两个变数的函数解一般的7次方程),是一位世界级大师。当有一记者采访他,问他:“关于数学,你念些什么?”他回答说:对于我来说,要想读当代数学家的著作,几乎是不可能的。因为他们不说“彼嘉洗了手”,而只是写道:

          “存在一个t1<0使得这t1在自然映射t1》彼嘉(t2)之下的像属于脏手的集合,并且还存在一个t1<t2≤0,使得t2在上面得到的应设置下的像属于前一句中定义的集合的补集。”

                                                                   《从毕达哥拉斯到怀尔斯》

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