毕映锦

查看人人主页

拥有1个小站,订阅1个话题,关注0个小站

辛几何&李代数

解决策略与人生选择

如何解决问题,有两种人一种只看目标条件,一种只看已有条件,谁会解决问题呢?当然是看已知条件的人,如果一个人只是急于得到结论,那么就会忽略已有条件,而找不到通向结论的途径,如果只看已有条件,那么就会考虑已有条件太多,而忘记了目标,但是只要充分的了解已有条件,就会到底预期结果。一个人也一样,如果只从人生目标出发,而不考虑过程,这种人就容易失败,人生的选择就是从实... 阅读全文

如何解决问题,有两种人一种只看目标条件,一种只看已有条件,谁会解决问题呢?当然是看已知条件的人,如果一个人只是急于得到结论,那么就会忽略已有条件,而找不到通向结论的途径,如果只看已有条件,那么就会考虑已有条件太多,而忘记了目标,但是只要充分的了解已有条件,就会到底预期结果。

一个人也一样,如果只从人生目标出发,而不考虑过程,这种人就容易失败,人生的选择就是从实际出发,做好身边的事,如果你一直讨厌现实,向往好日子,这种人就不会成功,必须从实际出发,找到解决问题的方法。目标不重要,只是过程很重要,不要刻意的追求目标,顺势而为

收起全文

辛几何&李代数

解题的一般准则

解题有没有方法?首先申明解题是有方法的,哪些认为解题无方法的人必然不怎么会解题,但是到底那一种方法是最合适的方法。解题方法有很多,到目前为止没有一种方法称为有效的,例如波利亚的如何解题,把解决问题的方法归于类比法或者猜的方法,他不能找到解决问题的有效方法,就在于他从人们的认知出发,把认知方法具体到数学方法,其次一些机器证明的问题解决把问题归结为逻辑与程序,也... 阅读全文

解题有没有方法?首先申明解题是有方法的,哪些认为解题无方法的人必然不怎么会解题,但是到底那一种方法是最合适的方法。解题方法有很多,到目前为止没有一种方法称为有效的,例如波利亚的如何解题,把解决问题的方法归于类比法或者猜的方法,他不能找到解决问题的有效方法,就在于他从人们的认知出发,把认知方法具体到数学方法,其次一些机器证明的问题解决把问题归结为逻辑与程序,也未能收到良好的效果,因为他们从计算机的模式出发,脱离了数学基础所以都失败了。那么哪种方法是较好的方法呢?

首相我们说一下这个方法的功能,他的功能就是法律在处理事务的功能,只要依照法律所有的行为都可以得到妥善解决,不因为个人的思想摆布处理的结果,所以这个方法也是这样,我们通过很少的规则来处理我们的问题,这个方法不因为人为的作用而忽略了某些东西而使得问题无法解决。我们想要的方法就是这种效果。既然我们不从认知出发,也不从逻辑出发,那么我们必然从数学本身出发,所以首要的问题就是数学本身的结构什么?这个结构不能太大,例如系统模型,那就是一个对象有三方面东西,一个是内部,一个是外部,一个是联系,这个结构太大无法符合所有的概念,第二这个结构不能太小,例如抽象与具体,所有的东西仿佛都可以和这个东西联系起来,所以中间结构才是最好的结构,系统模型是知识系统的结构太大,利用起来很困难,抽象具体太小利用起来很难把握,所以我们要的结构式中间结构,就像分子太小,实物太大,就是要找中间的结构。

 

 

 

 

收起全文

辛几何&李代数

近与远

有一种人只关注近期的利益,例如一门课的考试,考研,考公务员,考证。还有一种人只关注远期的打算,例如我要研究一个重大问题,考试可以不管,其他近期的目标都不管。我只看长远利益。这两种人那种人会成功呢?当然是关注近期利益的人,为什么?因为我们的选拔机制机制就是一个阶段一个阶段的成功才会最后取得成功,任何考试都是一个阶段的学习效果的体现,如果这个阶段学习不好,那么下... 阅读全文

有一种人只关注近期的利益,例如一门课的考试,考研,考公务员,考证。还有一种人只关注远期的打算,例如我要研究一个重大问题,考试可以不管,其他近期的目标都不管。我只看长远利益。这两种人那种人会成功呢?当然是关注近期利益的人,为什么?因为我们的选拔机制机制就是一个阶段一个阶段的成功才会最后取得成功,任何考试都是一个阶段的学习效果的体现,如果这个阶段学习不好,那么下一个阶段起点就低,所以很多人都是因为近期的成功导致人生的成功,近期的失败导致人生的失败。

 

近期的成功真的能产生创新吗?创新是一个长期的目标,创新本身就是一个尝试,看不到眼前的利益,看不到近期的结果,那些经历近期成功的功利主义必然导致信心上的失败,他们的能力本来可以解决问题,但是他们的短期目标打断了更长远目标的实现。

其实创新就是近期的失败,中国的科技为什么落后,创新性人才为什么很少,我记得今年的数学家大会没有一个中国人是做1小时报告的,即使做45分钟报告的也很少是纯数学的,即使是纯数学的也不是最主流的。中国的数学家很多,中国的奥赛冠军很多,为什么没有做出可喜的成果,可能就是中国本身的教育体制导致的,为什么?


中国的阶段性成功要求的共性,什么是共性,就是常识性知识,我们更多地是如何接受知识,如何利用知识,但是缺乏个性,什么是个性,就是对知识的理解是多元化的,知识有很多,最重要的是对知识的解释,而知识的解释没有统一的原则。

科学是什么就是解释事物的能力,这就是缺乏的,缺乏对事物新的解释,我们只接受知识没有把知识归为自己的灵魂。


所以问题的关键是教育更加注重个性化,而不是共性化,人的发展不一定就是一种或几种模式,一般人的命运都是高考,大学四六级,考研,考公务员,都是一样的。现在的自主招生表面上有点个性,实际无非是另一个共性取代这个共性。考试和选拔人才的方式要多元化,考试只是一个基础,在这个基础上发扬个性,选择有个性的人,而不是把这个基础作为选拔考试的门槛,这样就泯灭了人们的创造性。


也就是说共性是基础,个性才是选材的关键,一旦把共性作为选材的关键,那么就本末倒置了,中国的教育改革有进步,把英语基础化了,不在高考范围内了,这是进步的,南开大学博士生申请制了,也是进步,考试是基础,个性是根本。



收起全文

辛几何&李代数

学与思

做题重要还是研究题目重要,看书重要还是做题重要?有一些人总是一味的做题,而不思考,有些人一边做题一边总结做题规律,还有一些人只研究做题规律,不做题。其实凡是学数学的人必然是其中之一的情况,那个比较好呢?可能最后的胜利掌握在一边做题一边思考的人,不管是数学,即使一般的知识,也是这样的规律,因为做题的人不研究做题规律,自然搞不懂做题规律,而研究做题规律,而不做题... 阅读全文

做题重要还是研究题目重要,看书重要还是做题重要?有一些人总是一味的做题,而不思考,有些人一边做题一边总结做题规律,还有一些人只研究做题规律,不做题。其实凡是学数学的人必然是其中之一的情况,那个比较好呢?可能最后的胜利掌握在一边做题一边思考的人,不管是数学,即使一般的知识,也是这样的规律,因为做题的人不研究做题规律,自然搞不懂做题规律,而研究做题规律,而不做题的人,一般是理想主义者,因为他本是喜欢解释世界而不是改造实际,只有反复做题然后总结规律,然后再验证规律,修正规律。

我们更为形象的例子,例如求行列式,第一种人先做几道试题,总结几套类型题,第二种也是先做几道题,找到更为抽象的规律,如消元法,而且反复做题反复总结掌握实战经验,因为很多做题靠的是感觉,第三种人总结一条规律那就是初等变换,至于如何做变换。他并不关心,他们只注重解释现象。

通过这几个例子,大家就理解了如何做数学,正如马克思主义者所说的,走实践的道路。重要的是改造世界,你可以解释世界,但问题是改造世界,如果总是解释世界的就不要学数学了,因为数学是经验主义,要解释世界就去学经济学吧。

 

收起全文

辛几何&李代数

证明的模式

我们期望有一种方法论,使得用少量的原则,去解决所有的问题,也就是证明的模式,那就是在证明一个定理时,我们用一些较少的原则来利用知识点解决问题,实质就是对知识点的操作。 要找到证明的一般原则首要问题是对知识一般结构,只有知道知识的结构才能了解对知识的操作,到底数学知识有没有一般的模式,这是个关键的问题,我认为有一般的模式,一旦数学知识有了一般的模式,那么... 阅读全文

我们期望有一种方法论,使得用少量的原则,去解决所有的问题,也就是证明的模式,那就是在证明一个定理时,我们用一些较少的原则来利用知识点解决问题,实质就是对知识点的操作。

要找到证明的一般原则首要问题是对知识一般结构,只有知道知识的结构才能了解对知识的操作,到底数学知识有没有一般的模式,这是个关键的问题,我认为有一般的模式,一旦数学知识有了一般的模式,那么我们就可以找到证明的一般原则,我确信有这样的原则。

当然这里做的不是机器证明或者自动推理,按照现在的自动推理永远也无法完成这样一个目的。

收起全文

辛几何&李代数

关于个人数学的成长

任何一个人的成长都是要进过从小到大的过程,凡是学数学的人都有一个问题在问自己,我在数学方面能否有较好的成就。从数学的发展来看,数学研究的是越来越具体的东西,那种很一般的东西以前已经研究完了,我想这也是其他学科的特点,所以说某个人的工作可以对其他领域做出明显的影响是很困难的,但是并不是不存在,那就是多个分支的交点。而凡是跨领域的合作必然有人愿意和你合作才行。所... 阅读全文

任何一个人的成长都是要进过从小到大的过程,凡是学数学的人都有一个问题在问自己,我在数学方面能否有较好的成就。从数学的发展来看,数学研究的是越来越具体的东西,那种很一般的东西以前已经研究完了,我想这也是其他学科的特点,所以说某个人的工作可以对其他领域做出明显的影响是很困难的,但是并不是不存在,那就是多个分支的交点。而凡是跨领域的合作必然有人愿意和你合作才行。所以总的来说,一个人想要更大的成功必须要建立自己的人脉圈,人脉圈最关键的是自己的导师,和一个有实力的机构,导师牛逼,他认识的人就更为牛逼,于是你通过他,使得自己认识一些很牛逼的人,第二有实力的机构,不要认为某个领域很强就要去哪儿,而是数学的整体实力都很强才行,因为你可以认识各方面的牛人,这样才能有与高手合作的机会。

要与别人合作必须要有自己的实力才行,这样你对于别人才有价值。所以利用好一切资源发展自己的实力才是根本,这就相当于国家的GDP,GDP不高其他都是免谈,如何提高自己的实力,除了上面说的与人合作,还有一个就是反省,对知识点进行反省,这个东西不是说我十天看完了一本书,看完以后就把书放到一边,再看其他的书,这里面就缺少反省,这是很多人犯得毛病,认为看完书,做完题就完事了。再也不管了,我们要对书本研究,要反复的看书,不要认为看一遍书后的小小收获就不看了,而是要起琢磨书本的内容,一本书看上好几遍。有人会说如果每个人都把所有的书看完,那么每本书都精读,我们没有这么多时间,确实是这样的,我说的是一个人的能力是从小到大,当你的能力小时,你就要精读,当你实力大时,就可以泛读,因为你大脑中有熟悉的模式理解他们,总之,精读是非常适合初级学员方法,也适用于自己的薄弱环节。

 

 

收起全文

辛几何&李代数

如何能成功?

这个问题有点大,有人说只有成功者才有资格说如何成功,其实只有失败者才知道如何成功。第一个例子,我们的高考和考研如何成功?其实很简单第一个你要积蓄力量使得自己超过考试所要求的能力。所以我们的目的是积蓄力量,积蓄力量有几种因素,一是自己对于知识的悟性,二是自己对实际做题能力的大小,这是我们的目的,也就是说有了对应付考试的技巧,和实际做题能力的实践经验,有了这样两... 阅读全文

这个问题有点大,有人说只有成功者才有资格说如何成功,其实只有失败者才知道如何成功。第一个例子,我们的高考和考研如何成功?其实很简单第一个你要积蓄力量使得自己超过考试所要求的能力。所以我们的目的是积蓄力量,积蓄力量有几种因素,一是自己对于知识的悟性,二是自己对实际做题能力的大小,这是我们的目的,也就是说有了对应付考试的技巧,和实际做题能力的实践经验,有了这样两个能力才会使得考试成功,但是如何去提高这两种能力,有几个途径,1是自己研究题目自己悟出考试的规律,2通过老师或同学的交流获得这个做题技巧,3做大量的题目提高实践经验,第1,2 条是关键,当然3也很重要。我们举个简单的例子,如果你在一个数学较差的学校,想要考一个名校,这个难度是很大的,因为你要获得做题的技巧只能是通过自己的悟性,而你对数学的研究还是初步的,所以很容易失败,如果你可以在听课和与同学讨论中学到东西,那么成功的概率还是很大的,如果你只知道做题技巧而不做题,那么你失败的可能性也是较大的,因为你没有做题的实战经验。

再如你想要在大学中成为佼佼者,除了会考试是不够的,你要知道自己的力量是薄弱的,必须依靠力量强大的老师集团,只有得到老师的认可或者与老师搞好关系,才有可能在大学中出人头地。

通过这两个例子,我们得到一个结论,任何达到目标必须要增加自己的力量,要吸收有利于自己的力量,最大限度的发展自己的力量。这就是成功的秘籍。毛泽东就是吸收农民的力量壮大自己,邓小平通过改革开放吸收国外资金壮大自己,而薄熙来的失败是自己搞一套,自己的势力土蹦瓦解,连自己的老婆亲信都背叛自己。永远记住成功不是一个人的事,而是一群人在为成功者做事。

收起全文

辛几何&李代数

你理解数学吗?

什么是理解,一般认为把定理的证明看懂了就理解定理了,其实不然,有人说知道定理怎么用,就理解定理了,其实这就是废话,定理的利用就是具体化,所以这两个东西不能说是理解了数学定理,到底什么是理解,这就要从数学的思想去研究。某些定理是由于引入某种思想而产生的,例如伽罗华理论就是把伽罗华群作用在多项式的根上而产生的定理,而我们知道既然是群作用必然有轨道和固定点群,这样... 阅读全文

什么是理解,一般认为把定理的证明看懂了就理解定理了,其实不然,有人说知道定理怎么用,就理解定理了,其实这就是废话,定理的利用就是具体化,所以这两个东西不能说是理解了数学定理,到底什么是理解,这就要从数学的思想去研究。

某些定理是由于引入某种思想而产生的,例如伽罗华理论就是把伽罗华群作用在多项式的根上而产生的定理,而我们知道既然是群作用必然有轨道和固定点群,这样就理解了伽罗华定理。再如李代数的根系,我们怎么理解他呢,他的核心就是内积,由内积我们知道一切,而且他的定理都是从这个方向理解的。再如我们如何理解代数几何上的六个算子,那就是adjiont 函子,就是内积空间上的对称变换,也就是说我们看到的不是一大堆定理和证明,而是其背后的思想,什么样的思想有什么样的结论和定理。

那么我们如何了解定理背后的思想,那就是你要对这个东西有解释,你要用自己的语言解释数学定理,而这种解释不是空穴来风,而是以前的知识作为基础的解释。

这里说一点课外话题,说到解释,他不是小范围的解释,例如你高考时对数学有很好的解释,那么你考的很好,但是你没有对大学的数分高代的研究的话,你也不会考好,这样你必须解释数分和高代的东西,尤其是做题技巧。也就是说你的方法和知识点是同时发生的,你学了这些知识然后思考对他的解释和利用,这样的话,学习数学是很累的,而且一旦你掌握不了利用知识的方法,或对他的解释就无法走下去,这样就遇到。看不懂,看懂后没感觉,过几天就忘掉的循环。

所以我们要找到另一条捷径,就是说你先对这个数学有个大体的解释,然后再对具体的知识有具体的解释,这样我们就可以理解我们没学过的知识。有些东西是不需要看证明,就知道的怎么用的,我只看结论,再看一下他的思想,那么我就可以掌握它。

大家对数学的研究应该采取后者,而大多数国内的数学家走的是前者,这也许会解释为什么中国的数学走向专业化,而没有走向综合化,因为他们走的是前者,很多东西因为看不懂证明,而不会用。这样走的路越来越窄,其实国外的数学家也不一定能看懂所有的证明,只是他可以对定理有自己的解释。

总之,一句话,理解就是你对这个东西的解释。

收起全文

辛几何&李代数

数学中的双线性

数学中有几个原始的分析对象,其中最著名的是双线性,什么是双线性,就是线性代数中的内积的推广,就是把两个量对应到一个数或者第三量。<a,b>.向量空间的非退化双线性使得V和V的对偶等价起来,同时还有<a,b>=0,引发的正交关系。第一个推广是李代数中的kill双线性,还有根系的内积,这两个东西构成了典型的李代数发展,和根系,权等概念的拓展第二个推广是,流行上的... 阅读全文

数学中有几个原始的分析对象,其中最著名的是双线性,什么是双线性,就是线性代数中的内积的推广,就是把两个量对应到一个数或者第三量。<a,b>.向量空间的非退化双线性使得V和V的对偶等价起来,同时还有<a,b>=0,引发的正交关系。

第一个推广是李代数中的kill双线性,还有根系的内积,这两个东西构成了典型的李代数发展,和根系,权等概念的拓展

第二个推广是,流行上的对称2-form,好像与黎曼几何有些许关系,对称的2-form也和双线性有很好的类比,比如正交,对偶基对应的同构,

第三个推广是,上同调EXT和Tor双函子的对应,通过双线性的正交,有了tiling module。

收起全文

辛几何&李代数

为什么表示论可以与代数几何联系起来

首先是代数群本身的特点,代数群首先是代数几何的object,而他的环层K[G]是多项式代数,而重要的是代数群本身群的性质,导致G可以作用在K[G]上,于是他的环层就是一个可积表示,于是和代数联系起来了。我们把代数群看成一个代数几何的object时,他的tangent层恰巧是一个李代数,一旦这个代数群作用在某个概型上,那么这个李代数就可以作用在概型上,于是李代... 阅读全文

首先是代数群本身的特点,代数群首先是代数几何的object,而他的环层K[G]是多项式代数,而重要的是代数群本身群的性质,导致G可以作用在K[G]上,于是他的环层就是一个可积表示,于是和代数联系起来了。我们把代数群看成一个代数几何的object时,他的tangent层恰巧是一个李代数,一旦这个代数群作用在某个概型上,那么这个李代数就可以作用在概型上,于是李代数的表示出现了。

更巧妙的是flag簇,当我们把它看成代数几何object时,他的picard 群实际就是与wyle 群对应起来了,而wyle群与代数群的vema模对应,而这就使得代数几何的东西变成表示的东西,

所以代数几何能与表示联系起来就是因为代数群有表示和几何两个属性。

 

收起全文

辛几何&李代数

创作与做题

创作是研究新的东西,一种没有研究过的东西,所以我们不能从做题的角度出发,而是从发散思维出发,别人研究了什么问题,还有什么问题没有研究,所以创作就是找到别人的漏点。那么这个新的东西是不是和我们所知道的知识联系很少吗?不是的,但是说我看几本书就可以写论文,这是不现实的,因为新的东西你预先不知道运哪些知识点,这就是与做题完全不同的,就是说当我们做题时,我们的知识点... 阅读全文

创作是研究新的东西,一种没有研究过的东西,所以我们不能从做题的角度出发,而是从发散思维出发,别人研究了什么问题,还有什么问题没有研究,所以创作就是找到别人的漏点。那么这个新的东西是不是和我们所知道的知识联系很少吗?不是的,但是说我看几本书就可以写论文,这是不现实的,因为新的东西你预先不知道运哪些知识点,这就是与做题完全不同的,就是说当我们做题时,我们的知识点是有范围的,而创作运用的知识点不确定的。举个例子,我们知道李代数他的基础是线性代数,但是你不能从线性代数的知识点去研究李代数,只能是李代数归结到线性代数。

所以创作的知识点是从上而下的顺序搜索知识点,而不能从已知的知识点去推出新的东西,但是从已知的知识点是不是没有用了呢?不是,已知的知识点可以发散我们的思维,是我们找的新东西与旧东西的联系。

所以创作的起始点是找到新的东西,然后我们去研究它,而新的东西如何找,这就是创作的关键之处。

收起全文

辛几何&李代数

计算的目的

计算在数学中有着重要的作用,我们的困惑是如何利用公式来计算,我总结了两个原则。1,化简的目的,我们为什么要用这个公式,目的就是通过这个公式可以简化我们的计算。例如简单的消元法,我们为什么用一个未知数来替换另一个未知数,那就是通过代换后可以使得未知元只有一个,这样我们就化简了方程。再如:如何利用公式几何平均数小于算术平均数,我们的目的就是如果两个数的和变得更为... 阅读全文

计算在数学中有着重要的作用,我们的困惑是如何利用公式来计算,我总结了两个原则。

1,化简的目的,我们为什么要用这个公式,目的就是通过这个公式可以简化我们的计算。例如简单的消元法,我们为什么用一个未知数来替换另一个未知数,那就是通过代换后可以使得未知元只有一个,这样我们就化简了方程。再如:如何利用公式几何平均数小于算术平均数,我们的目的就是如果两个数的和变得更为简单,那么就积变和,若两个数的积更为简单就用和变积。

2,把表达式转化为特殊的情况,这个实际也是简化的目的,只不过他很重要就另外列了一条,我们为什么要用泰勒展开式,因为它可一把所有特殊的函数都化简为多项式。

收起全文

辛几何&李代数

逆推理

首先说什么是推理,那就是三段论:p&q,q&r,就有p&r,我们从p出发就是具体化方法,我们从r出发,找到q就是抽象化,那么什么是逆推理呢?就是说我们想要证p推出q,就先找到q推出r,这里我们做了一个假设,假如p成立,那么q就成立,而我们从q推出r,于是假如p推出q,那么p必然推出r,于是我们要证明p推出q,先要证明p推出r,这个方法就是逆推理。例如我们要证... 阅读全文

首先说什么是推理,那就是三段论:p—q,q—r,就有p—r,我们从p出发就是具体化方法,我们从r出发,找到q就是抽象化,那么什么是逆推理呢?就是说我们想要证p推出q,就先找到q推出r,这里我们做了一个假设,假如p成立,那么q就成立,而我们从q推出r,于是假如p推出q,那么p必然推出r,于是我们要证明p推出q,先要证明p推出r,这个方法就是逆推理。

例如我们要证明jordan-chavalley分解,就是说一个线性变换可以分解为一个半单元素和幂零元素之和,首先这个定理是怎么想得到的,那就是对与一般的jordan分解的推广,我们怎么证这个定理,我们假设这个定理成立,那么在不变空间(T-aE)^m上应该是对角的,那么他的半单分解在这个空间是特征值是a,如果是别的值,那么那个幂零元素在这个子空间就不是幂零的,而我们结合(T-aE)^m在子空间上是0的,那我们猜想如果半单元素师最初的线性变换的多项式,那么必然有p(x)=a(mod(T-aE^m))于是我们走到了这个证明最核心的问题,然后利用中国剩余理论就证明了结论。

关于这个定理的详细介绍查看

humphreys:introduction to lie algebras and representation theory .            pag 17

 

收起全文

辛几何&李代数

几何表示理论概要

几何表示就是要把概型上特殊的层范畴等价于李代数上的模范畴,具体有两个特殊的层范畴,一个是perverse sheave,一个是D-模,几何satake同构就是说affine grassman上的perverse层同构与langlands对偶群上的模范畴。一个是affine grassman上的D模等价于affine lie algebra 上的模范畴,当然我... 阅读全文

几何表示就是要把概型上特殊的层范畴等价于李代数上的模范畴,具体有两个特殊的层范畴,一个是perverse sheave,一个是D-模,几何satake同构就是说affine grassman上的perverse层同构与langlands对偶群上的模范畴。一个是affine grassman上的D模等价于affine lie algebra 上的模范畴,当然我这里只是简单的介绍,所以省略了一些条件。当然还有许多李代数的表示同构与代数簇层的表示。

这些同构有什么用呢?这个工作并不能解决一个问题,只是找到几何与代数的关系。所以尽管在这个领域的都是高手,却没有解决一个实际的问题,所以没有人获得菲尔兹奖,其次几何与代数两个领域本身就有相似之处,其实现在的想法都来自于前人的想法,他们做的不过是具体化一些结果。

但是你说他没用吗,也不是,他可以应用到数论,可以应用到物理。

 

 

 

收起全文

辛几何&李代数

范畴论

范畴论在现代数学中有着重要的作用,范畴论实际上研究的是模范畴,最简单的是环上的模组成的范畴,模又叫表示,所以什么是表示论,就是研究模的范畴,代数群的表示,李代数的表示,都是在研究模的范畴的结构,几何方面,模又叫做层,于是层的上同调就是模的上同调,当然有d-模。perverse模,都是研究模范畴的东西,什么又叫几何表示呢?就是这些模范畴的几何限制,也可以认为是... 阅读全文

范畴论在现代数学中有着重要的作用,范畴论实际上研究的是模范畴,最简单的是环上的模组成的范畴,模又叫表示,所以什么是表示论,就是研究模的范畴,代数群的表示,李代数的表示,都是在研究模的范畴的结构,几何方面,模又叫做层,于是层的上同调就是模的上同调,当然有d-模。perverse模,都是研究模范畴的东西,什么又叫几何表示呢?就是这些模范畴的几何限制,也可以认为是范畴的几何实现,一个抽象的范畴和一个具体的几何上的模形成的范畴有什么关系,最好是一个等价关系,而几何表示研究的就是这个问题,所以表示论的一般研究路径就是:环-模-模范畴-函子,cluster代数就是这样的研究思路。

代数数论其实就研究两个东西,一个det,一个tr,而这两个就是线性代数中模的范数和迹,所以关于模的问题又出现了,什么是算术几何,那就是研究模的两个量,这个模就是代数几何上的层,而重要的是weil层,所以那个几何范畴和算术几何就结合起来了。可见这几十年的数学史都在研究模范畴。

收起全文

辛几何&李代数

抽象与具体(再续)

一个定理如何应用,那就是符合条件的特殊东西有哪些,例如我要求数列的极限,要用到哪些东西呢,你可能会想到数列里面的东西,但是数列是连续性的一个特性,于是会想到把数想成一个点的极限的特例。点极限有哪些呢,具体的有,微分,积分,连续性,这样你就把整个数学分析的内容与数列的极限联系起来的。我只用了一个方法,那就是具体和抽象。... 阅读全文

一个定理如何应用,那就是符合条件的特殊东西有哪些,例如我要求数列的极限,要用到哪些东西呢,你可能会想到数列里面的东西,但是数列是连续性的一个特性,于是会想到把数想成一个点的极限的特例。点极限有哪些呢,具体的有,微分,积分,连续性,这样你就把整个数学分析的内容与数列的极限联系起来的。我只用了一个方法,那就是具体和抽象。

 

收起全文

辛几何&李代数

抽象与具体(续)

我们脑中的抽象多一点好,还是具体多一点好,我们要看抽象的作用是什么,抽象的作用实际是从未知出发找知识点,例如给了你一个三角形,你要抽象到一半三角形,内角和180度,两边之差和关系,在想到,余弦公式,三角函数,这些都是抽象下完成的,而具体是从知识点出发,因为定理之所以要应用,就在于特殊化,于是给了一个三角形,你就要想到,直角三角形,等腰三角形,和全等三角形,因... 阅读全文

我们脑中的抽象多一点好,还是具体多一点好,我们要看抽象的作用是什么,抽象的作用实际是从未知出发找知识点,例如给了你一个三角形,你要抽象到一半三角形,内角和180度,两边之差和关系,在想到,余弦公式,三角函数,这些都是抽象下完成的,而具体是从知识点出发,因为定理之所以要应用,就在于特殊化,于是给了一个三角形,你就要想到,直角三角形,等腰三角形,和全等三角形,因为,书中的很多定理都是研究这些东西。所以抽象和具体是解决问题的两种方法,所以数学中不需要记很多定理,只需要知道,有哪些抽象的object,有哪些具体object,这就够了

收起全文

辛几何&李代数

数学发现的神来之笔:论数学的抽象与具体

我们只讲一个交换环理论的发现过程,交换环首先是定义AXA&&A,我们把A抽象化,那就是一个加法群M,于是AXM&&M,于是模发现,若把它具体化,那就是A的理想P,于是理想发现了,把上面的字母特殊化:PXM&&N,于是[N:M]发现了,当N=0时,annl(M)发现了。我们知道整数环Z在有理数Q中,那么那就是除了0以外,其他都是可逆的,而0是素理想,于是我们抽... 阅读全文

我们只讲一个交换环理论的发现过程,交换环首先是定义AXA——A,我们把A抽象化,那就是一个加法群M,于是AXM——M,于是模发现,若把它具体化,那就是A的理想P,于是理想发现了,把上面的字母特殊化:PXM——N,于是[N:M]发现了,当N=0时,annl(M)发现了。

我们知道整数环Z在有理数Q中,那么那就是除了0以外,其他都是可逆的,而0是素理想,于是我们抽象成素理想以外的元素都是可逆的,于是局部化被发现了

 

收起全文

辛几何&李代数

有趣的数学现象

我们对形式为a&b=c进行一下分析。固定a,取c=1,求解ab=1中的b。于是有了逆元素。如果a=环的一个加法子集,b为环,c=a,于是有了理想。如果固定a,取c=0,如果ab=0有解,于是有了零因子。如果b=模M,取c=0,求解a,aM=0,于是有了ann(M)如果c属于A,则a,b都属于A,于是有了素理想。如果c=c&d,a,b,c,d都是态射ab=cd... 阅读全文

我们对形式为a×b=c进行一下分析。

固定a,取c=1,求解ab=1中的b。于是有了逆元素。

如果a=环的一个加法子集,b为环,c=a,于是有了理想。

如果固定a,取c=0,如果ab=0有解,于是有了零因子。

如果b=模M,取c=0,求解a,aM=0,于是有了ann(M)

如果c属于A,则a,b都属于A,于是有了素理想。

如果c=c×d,a,b,c,d都是态射ab=cd,固定a,c 求解b,d,得到(M, b,d),建立关系,(M, b,d)——(N,e,f),变化(M, b,d),求解(N,e,f),于是有了fiber product。

如果R×R=c,继续R×R×R,…,于是有了自由模。

如果a为一个模,c=自由模,求解a×b=c,于是有了投射模。

如果固定a,变化b,就得到一个群的自同态,于是有了有限群都是置换群的子群。

如果……,于是有了……。

这只是对运算的分析,实际可以推广到二元分析,他的普遍性让你惊奇。

 

收起全文
人人小站

TA关注的小站0

X 人人网小程序,你的青春在这里