辛几何&李代数

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1、极小曲面(Minimal surface) 简而言之,极小曲面就是平均曲率为零的曲面。给定一条闭曲线,可以设想蒙在这条闭曲线上的所有曲面中,有一个面积最小者,这个具有最小面积的曲面正是极小曲面。平面是仅有的极小可展曲面。除平面外,旋转极小曲面都是悬链面,直纹极小曲面都是正螺面。下图,螺旋面(Gyroid)是典型的三重周期极小曲面,由Alan Schoen... 阅读全文

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1、极小曲面(Minimal surface)

    简而言之,极小曲面就是平均曲率为零的曲面。给定一条闭曲线,可以设想蒙在这条闭曲线上的所有曲面中,有一个面积最小者,这个具有最小面积的曲面正是极小曲面。平面是仅有的极小可展曲面。除平面外,旋转极小曲面都是悬链面,直纹极小曲面都是正螺面。

下图,螺旋面(Gyroid)是典型的三重周期极小曲面,由Alan Schoen于1970年发现,它可近似定义为一个简单的等曲面方程cos(x)sin(y) + cos(y)sin(z) + cos(z)sin(x) = 0.

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Richmond的极小曲面(作者Paul Nylander)

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2、超复数分形(hypercomplex fractals)

    超复数类似于通常的二维复数,只不过它们扩充到三维空间甚至更高维空间。超复数分形就是n>=3维的分形,想必高维分形神奇得更令人惊叹吧。

   下图这个超复数分形基于Daniel White富有创造性的三维超复数(三重)公式,通过在球坐标系内作两次连续旋转而成。生成的图像,如星云一般。

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下图,是一个三维的Julia集,根据Daniel White的四维超复数开平方。

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下图为彩色的四维Julia集,即四元数分形。

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下图,采用逆Julia集方法。Dominic Rochon 采用寻找二重复数的平方根公式帮助作者绘制该图,该公式有四个根,所以在每次迭代后,点总数增加了四倍。

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 3、分形

克莱因1/15双尖群分形。一个异彩纷呈的多元宇宙大花园。

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克莱因1/15双尖群逆分形。

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 克莱因拟福克斯极限集(Kleinian Quasifuchsian Limit Set)。

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围绕十二面体的三维树分形。树木繁盛的生态星球。

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递归(7,3)庞加莱超双曲盘。圆盘内盛满更小的庞加莱双曲盘,盘内又有盘。小盘呈超双曲多边形,采用一种共形映射技术。

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周围镶嵌神马图的曼德布罗集(Mandelbrot Set Tessellation)。周围镶嵌的图案呈扭曲状,因为它不是超双曲瓷砖。

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黄金比螺旋轨道(Golden Ratio Spiral Orbit Trap )分形

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利沃夫的苏格兰咖啡馆

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From IU science Gallery: The Julia set

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The Julia set of a mapping is the set that carries the nontrivial (chaotic) dynamics of the map. If the mapping depends on a parameter c the associated Julia set Jc may or may not ... 阅读全文

The Julia set of a mapping is the set that carries the nontrivial (chaotic) dynamics of the map. If the mapping depends on a parameter c the associated Julia set Jc may or may not behave continuously. If we consider a parabolic parameter c0, then there are discontinuities of Jc as c approaches c0. These pictures represent such discontinuities. - Eric Bedford

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复杂性科学

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神秘的混沌理论

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该纪录片中,Jim教授试图解释科学界的一个秘密:宇宙如何以尘埃开始,又是如何创造出生命的;怎样从无序中产生有序。 这是让人纠结又困扰的新概念,与通常的直觉相背。Jim教授揭示出大自然的美丽和结构中隐藏的科学规律,而不是将其归因于神奇或者上帝的力量。它是物理定律的固有的组成。神奇的是,混沌中的数学可以解释宇宙中优美的斑图和有序是如何产生,为什么产生的。

爱丽丝的兔子洞

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[TED]非洲大陆的分形数学

原文地址:http://www.tedtochina.com/2008/10/28/ron_eglash_fractual_arts_in_africa/我想先讲一个数学家的故事。他叫康托(Georg Cantor). 康托某一天决定画一条直线,将其三等分,然后擦掉中间的一段,对于剩下来的两段,亦作同样的处理。如此反复:开始是1段,而后2段、4段、8段……假... 阅读全文

原文地址: http://www.tedtochina.com/2008/10/28/ron_eglash_fractual_arts_in_africa/

我想先讲一个数学家的故事。他叫康托(Georg Cantor). 康托某一天决定画一条直线,将其三等分,然后擦掉中间的一段,对于剩下来的两段,亦作同样的处理。如此反复:开始是1段,而后2段、4段、8段……

假如康托将这样的操作无限次的进行下去的话(数学上是可能的),他将得到无限个线段,每一段上面也会有无限个点。于是,康托认为他找到了一个集合,其元素的数目比无限还大。这使得他很恼火。他于是住进了一家疗养院,后来又搬了出来。出来的时候,他深信,他是被上帝委派到世上发现超限集理论 (transfinite set theory)的,他认为最大的无限集合是上帝。他可是一个信教的人。可谓数学布道师。

另一位数学家也做了同类的事情。一位叫Von Koch的瑞典数学家不是减少线段的数量,他选择增加线段之数量。并且由此得出一条美丽的曲线。事实上我们不一定非得以这一形状开始不可,任何的形状都是可以的。好,我现在改变一下初始的形状,通过多次演变后,我们得出一个看上去完全不一样的结构。这些图案都有一种特性,即自我重复,部分跟整体是相似的,不过是重复的次数不同而已。

数学家认为这是怪事,因为如果你缩短尺子的长度,你将发现曲线变的越来越长;无限迭代下去,曲线将变得无穷长。这显然不合事理。因而他们仅仅把这样的曲线放到数学课本的背后,还说这些东西是“病态的曲线”,没有讨论价值。这样的看法在数学界延续了百年。

直到1977年,法国数学界Benoit Mandelbrot通过电脑制图发现,要是在电脑上重复绘制此类的形状(他将其命名为“分形”),可以得出自然的形状,比如人体的肺叶、样槐树、蕨类植物,都是些很美丽的大自然的图案。还有,拿出你的手掌,观察一下拇指与食指相会的地方,你会看到皱纹,皱纹里面套有皱纹,皱纹的皱纹里头还有皱纹,对不对?你的身体也是充满分形的。刚才提到的那班说分形是妖术的数学家不也同样有因分形而成的肺腑吗?这倒是挺讽刺的。再来看一些自然形成的图案重叠。大家看这些线条,我们现在用完整的图案去覆盖它,再来一次,第三次,……

大自然自身具有这种自我重复的结构。它懂得利用这些自我组织(self-organizing)的系统。1980年代的时候,我有一次看到一张空中照下来 的一个非洲乡村的照片,就发现有分形。我感到很惊讶,并且渴望解开这个谜底。于是在Fulbright奖学金项目的资助下,我到非洲游历一年,询问当地的 居民为何要把村子建成分形的样子。那真是一段愉快的旅途。

于是我去了非洲,还准备了分形的模型,希望实地查看一番。到了那里,我用半吊子的法语跟当地人说,我是一位数学家,我想登上你们的屋顶。当地人很爽快,带我来到屋顶,跟我讲起分形的趣事。他说,“我们的屋子就是这样一个大长方形围着一个小的长方形,小的长方形里又有更小的长方形,这个我们都懂得。”事实也正是如此。而当地的神阁就在最小的长方形里,每往里进去一圈,就要加倍的有礼。可以说,他们的社会等级就通过房屋的特殊几何结构体现出来了。这是人为的,不像白蚁洞分形那样纯属自然。

这是位于津巴布韦南部的一个村庄,整个村子直径为400米。这是一个巨大的圆圈,每一个小的圆圈也代表着一户人家,而越是往后,家庭的规模就越大,族长的 家在这里(图片上右侧的小圈),他的家眷就住在这个圈上面。现在我们来看一下它的分形模型是怎样的。这是一户人家以及他们的祭坛,这是一个家族围成的圈,这是一个村子围成的圈,这是祭坛的位置。族长住这里,他的家眷住这里。这是另一个村子。很小。你可能会想这么小怎么能住人呢?事实上,这里住的是村子的神灵,就是他们的祖先,这些神灵们也有属于自己的小村落。这和康托说的循环不断出现一样。

这是Mondara山,位于喀麦隆与尼日利亚的边界上。我一开始是看到一位法国建筑师的建筑草图,当时感叹,这是多么美的一个分形!于是我尝试作出一个元 分形(seed shape)的模型,通过重复的叠加变化,即可得出这个图案。好,现在是大家看到的这个简单的图案,我们经过第一次递归变化、第二次、第三次、第四次。当我作出这个模拟之后,我发现整个村子其实就是按照这个方式从一小块展开为一个分形图案的。而图上看到的那条曲线就是村子里唯一的一幢方形建筑。于是我感到好奇,到了那里之后,我问当地人,“你们能带我去那方形建筑吗?”他们说,”可以带你去,但你是进不了里面的。那是我们的神坛,我们每年都在那举行祭奠的仪式,为我们下一年的丰收祈祷。“那时我意识到田野上的庄稼也有跟村里的房子一样的几何形状。有时候这种分形还会在最细小的物件上出现。

这是位于马里的一个Nankani人的村落。走到他们的屋子里,就能看到那放在炉子上的锅也是一个分形。这是呈现分形结构的葫芦,刚才Issa Diabate也给大家看过。顶端上那个最小的葫芦里头就放着女人的灵魂。女人一旦死去,他们就举行仪式,砸碎整一个葫芦架,女人的灵魂就飘逸到永恒之 境。我们再次看到了无限的重要意义。

此时你会问:这样的建筑模型在任何的原住民村落都有吗?我最初也这么想:“只要是没有建立国家社会的原住民村落,一定会有这样的由下而上的建筑风格。”可是后来我发现那并非事实。

我开始收集北美以及南太平洋的建筑图案(航拍图),只有来自非洲的是呈现分形的结构。事实上,不同的社会有不同的几何建筑规划方案,在北美,人们喜欢圆形 对称、四重对称(fourfold symmetry),你可以在陶罐和篮子上看出来……这是Anasazi遗迹的航拍图,图上看出大局上呈现圆形,而局部则呈现方形。这不是像分形那样的同一形状在不同的大小范围内获得复制。

此外,你会说,“非洲文化的多样性你怎么给忽略了?”我有三个理由说你误会了。首先,我赞同Mudimbe写的《非洲的发明》一书中的观点,即非洲是殖民 主义以及抵抗运动的人工产物。第二,非洲大陆上分形的普遍存在并不意味着文化的同一性,这样的建筑形式也不是写在他们的DNA里面的。最后,分形只是自我 类似,而不会出现不同的分形之间的相似,事实上不同的分形会有不同的用途。这是非洲人民共有的一种技术。

最后,你会说,“那该不会是一种直觉吧?不像是什么数学知识啊!非洲人不太可能应用分形几何的知识吧?在1970年代以前这些东西还没有发明出来呢。”确实,有些分形建筑的确是直觉。我漫步于达喀尔(Dakar)的街头,问那里的人为何要建分形的建筑,是不是依循某种逻辑?他们说,“唉,我们就是那么建房子的嘛!这样造出来的房子就是漂亮。”可是也有例外的情况。在有的地方,我们的确可以找到一种建房子的数学算法,并且是很复杂的算法。所以,从 Manghetu雕塑上,你可以看到这种循环的几何,在埃塞俄比亚的十字架上,也能看到此类自我重复的图形。

在安哥拉,Chokwe人会在沙地里画出美丽的线条,德国数学家欧拉称之为graph,我们现在管那作欧拉图——你的笔永远不能离开画布,也不能重复描绘同样的一条线。但是安哥拉人却以一种循环的方式来创作,并且这样的知识通过家族的长幼相传得以继承。最年幼的学这个,年龄稍大一点的学习这个,再大一点的就学这个。而每递进一级,你就学到更深的关于神话的知识,一层比一层深入。

最后,在非洲大陆的大片地方,你还可看到一种棋盘游戏,加纳人称之为Owari,在东岸,人们称之为Mancala,在肯尼亚则叫作Mancala,其他地方的人叫那作Sogo。这样的棋盘游戏也有一个不断自我循环的结构,加纳人懂得这点知识,并且会在游戏中加以应用,这一点很重要。

这里还有一个很漂亮的分形图案。只要是走到Sahel,你就会看到这种御风的屏障,自然,在别的地方,人们见到的都是笛卡尔构型的,并且都是线性的。而在非洲,你可以找到非线性的模型。于是我在马里找到一位制造这东西的小伙子,问他,“你们怎么专门做这样的分形形状的屏障啊?就因为别人都不做吗?“他的回答很有意思,他说,”要是我生活在森林里,只需准备长条的秸秆就行了,那样做得快,也不需要太多的秸秆。可以风和尘土会很容易的吹进来。村子里的房子顶端的秸秆的确可以抵御风尘,可是这得花费大量的秸秆和大量的时间去做。在村子里,假如你住得越高,风就会越猛。“这就跟成本收益分析有点类似。我于是测量了秸秆的长度,将其绘制于对数图(log-log plot)上,计算出其增长指数(这里指风速与秸秆高度之的关系),发现这居然和我们在工程手册上见到的数字完全吻合。所以说,非洲人是懂得应用这样的技术的。

我们在非洲发现的从算法上来说最复杂的分形不是见于大型几何形状的建筑,而是在Bamana的沙祭。这样的沙祭事实上在非洲大陆都能见到。不管在东岸还是西岸,都能见到这样的沙祭遗迹,并且上面的标记都保存完好,每一个标记都有四个字节,当地人在沙滩上随意的画几条线,然后数一数一共有多少线条,假如是奇数,就放一根木棍,假如是偶数,就放两根木棍。他们这种占卜的过程是如此快,我还为来得及看懂,他们的占卜已经完成,因为这样的动作他们只会重复4次。至于其余的12个标记又是哪里来的,我就一无所知了。对此他们守口如瓶。后来我说,“那好,我给你钱,你把秘密告诉我。我可以每天都给你送上金钱。”可他们说,那不是钱的问题,那是宗教问题。

最后,我实在是气急败坏,于是跟他们谈起康托,还讲到我来非洲的原因。当他们第一次看到康托的集合时,感到非常兴奋,其中一位表示愿意帮我解开这样的谜 团。于是他带我参加Bamana的祭祀仪式,开始时他在那摇头摆脑,而我仅仅对于数学的东西感兴趣。但是,我也得像他那样,在床的隔壁放上科拉螺母 (kola nut),并且是要埋在沙子里,此外还要向七位麻风病人纳贡七个硬币。最后,他终于说出了里头的秘密。那事实上是基于定命的一个随机的数字产生器。你手上有一个4字节的标记,就和另一个并排放在一起。因此,偶数加奇数得奇数,奇数加偶数得奇数。偶数加偶数得偶数。奇数加奇数亦得偶数。其实这就是以2为模的加法,就跟我们用的计算机里头发生的奇偶位检查一样。然后你取出标签,再把它们放回去,就可得到一个自我复制的标志,他们实际上运用的是确定性混沌的原理 (deterministic chaos)。同时由于这是一种二进制的数码,你还可以直接应用到硬件之上——运用在非洲的工程学院里头,这将会是一种多么美妙的教学工具!

而我发现最有趣的还是其历史。12世纪的时候,Hugo Santalia把这一伊斯兰神秘主义的习俗带回西班牙,后来在炼金术师的团体里开始流行,他们用这样的方法来占卜。这是1390年上呈给里查二世的一副 占卜用的图画。德国数学家莱布尼兹在他的题为De Combinatoria的论文里就讲到风水的问题。他的文章写道,“与其用一和二,我们倒不如用一和零,那样的话,我们就可以按2的数幂来计算。”岂不是吗?1和0,恰恰是能够组成二进制的两个字节。布尔(George Boole)将莱布尼兹的二进制加以发展,就产生了布尔代数,而冯·诺伊曼基于布尔代数则发明了数字计算机。所以我们今天见到的PDA、手提电脑以至世界上的每一条数字光缆,皆源自非洲。我听Brian Eno说非洲没有足够多的计算机,我想,也许是Brian拥有的关于非洲的知识还不够吧。

最后我想简单的讲一下这些东西的应用。只要你登陆我们的网站,就可以亲身体验所有这些美妙的分形艺术。国家科学基金会(National Science Foundation)旗下的“拓展计算机应用”项目最近给予我们一项资助,让我们开发出一种可编程的分形工具。我们估计,三年后,人人都有可能登陆我们的网站,创造出自己的分形作品。我们在北美的推广主要针对非洲裔美国学生,还有美洲土著和拉丁裔人口。通过对比,我们发现,使用这一软件的孩子比没有使用这一软件的孩子数学上进步更快。我们的推广是成功的,借此我们告诉孩子他们有这样的传统,而不仅仅是通常的唱歌跳舞。我们在加纳也开展试验项目,还只是小 规模的试验,要等待当地孩子的反应。我们对这一项目的未来充满信心。

我们还与设计界的朋友合作。图片上那个是我的同事Kelly,他是一位设计师,他给分形建筑分布较广的村落设计的邮政服务就带有分形的特征。哥伦比亚大学 的Bernard Tschumi为一间非洲艺术主题博物馆作的设计亦采用了分形的艺术。俄亥俄州立大学的David Hughes还写过一篇非洲建筑引论,里头就谈到分形。

最后,我想指出,这样的分形的思想其实是存在于我们的大脑中的,也存在于Google的搜索引擎当中。事实上,Google能取得那么大的成就,是因为他们懂得互联网是一个自我组织的存在。此外,在可持续研究、企业成长、民主的伦理力量等方面都能觅得分形的足迹。同样,在一些令人不快的事情中,也能见到分形的踪影。艾滋病蔓延得那么快,是因为它的传播遵循的是分形的规律。而资本主义呢?它不也给我们带来了许多不好的东西吗?不要忘记连资本主义本身也是自我管理的。所以我们要重新看待传统的非洲人处理分形的方法,他们懂得很复杂的算法,他们那样做不会给自己或别人带来坏的结果。因此,假如我们想改善我们做事情的方式,只要到非洲来就能找到最好的答案。

谢谢大家。

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