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习惯上，研究体系（矿物岩石等）中，分为： 1.常量元素/主要元素（major element）：元素含量大于1%； 2.次要元素（minor element）：元素含量在1%~0.1%之间； 3.微量元素/痕量元素（trace element）：元素含量小于0.1。微量元素的范围是相对的，取决于研究者... 阅读全文

习惯上，研究体系（矿物岩石等）中，分为：
1.常量元素/主要元素（major element）：元素含量大于1%；
2.次要元素（minor element）：元素含量在1%~0.1%之间；
3.微量元素/痕量元素（trace element）：元素含量小于0.1。
微量元素的范围是相对的，取决于研究者的兴趣和对研究问题的帮助。
微量元素的主要4种分类方法：
1.按元素周期表，依化学性质分类：
（1）稀碱元素；
（2）稀有元素；
（3）稀土元素；
（4）过渡族元素。
2.戈尔德施密特的元素地球化学分类系统：
（1）亲石元素；
（2）亲铁元素；
（3）亲铜元素；
（4）亲气元素。
3.地球化学作用过程中常常存在液相（熔体相、流体相）和固相（结晶相）共存关系，有些元素容易进入固相，另一些则容易进入液相。
（1）相容元素：倾向于集中在固相；
（2）不相容元素：倾向于集中在液相。
4.在行星和陨石的研究中，分类为：
（1）难熔元素；
（2）挥发性元素；
（3）亲铁（铜）元素；
（4）仅在球粒陨石中挥发的元素。
其中对不相容元素，又有3种进一步划分的方案：
（1）根据分配系数：
      ①强不相容元素；
      ②中等不相容元素；
      ③弱不相容元素。
（2）根据离子半径和离子电荷：
      ①大离子亲石元素；
      ②高场强元素；
（3）根据熔体：
      ①长期不相容元素；
      ②短期不相容元素。

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辛几何&李代数

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矿物质对人体的作用

有机锗：是制氧机、体内的消毒剂清道夫，能清除体内的致癌物质，有抗癌防癌的功效。有机硒：对人的大脑十分重要，具有明目、清肝、对眼睛的视网膜有很好的保护作用。有机钴：是补血造血的必须元素，是维生素B12的组成部分，对红细胞的生成有很好的促进作用。三价铬：是人体内胰岛素代谢的必须元素，对血清胆固醇的内环境有稳定作用，更可促进蛋白质的代谢和生长发育。有机锰：... 阅读全文

有机锗：是制氧机、体内的消毒剂清道夫，能清除体内的致癌物质，有抗癌防癌的功效。

有机硒：对人的大脑十分重要，具有明目、清肝、对眼睛的视网膜有很好的保护作用。

有机钴：是补血造血的必须元素，是维生素B12的组成部分，对红细胞的生成有很好的促进作用。

三价铬：是人体内胰岛素代谢的必须元素，对血清胆固醇的内环境有稳定作用，更可促进蛋白质的代谢和生长发育。

有机锰：缺少有机锰会造成性欲减退，排精障碍，早泄、阳痿。

有机镍：对脑神经安眠有很好的促进作用，更可促进体内红细胞的增长和氨基酸的合成。

有机铁：缺少有机铁会影响代谢和吸收，人体内就难以产生血红蛋白，造成血色素降低，甚至发生缺铁性的贫血。

有机锌：对基体的性发育、性功能、生殖细胞的生成起到举足轻重的作用，固有“生命的火花”、“性和谐素”之称。

有机锶：是人体骨骼和牙齿的必须元素，具有强壮骨骼、促进新陈代谢的功效。还与神经肌肉的兴奋和心血管发病有关。

有机钼：使肾脏排泄增加，钼不足可表现为发育迟缓。

有机锡：与蛋白质和生物合成有关，能促进体内铁的吸收，红细胞的增长和氨基酸的合成作用。

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22

辛几何&李代数

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Birch and Swinnerton-Dyer 猜想有望破解华数学家轰动学界

中国数学家田野对解开世界七大数学难题之&&BSD猜想迈出一大步 BSD猜想在2和导子以外均成立据韩国《中央日报》17日消息：2000年5月24日，美国克雷数学研究所公佈了千喜年七大数学难题，每解破一题的解答者，会获颁奖金100万美元，11年来，数学界只攻破了一题。韩国浦港工大日前举办了国际冬季学校，向其中的BSD猜想发起衝击，来自中国的田野给... 阅读全文

中国数学家田野对解开世界七大数学难题之——BSD猜想迈出一大步

BSD猜想在2和导子以外均成立

据韩国《中央日报》17日消息：2000年5月24日，美国克雷数学研究所公佈了千喜年七大数学难题，每解破一题的解答者，会获颁奖金100万美元，11年来，数学界只攻破了一题。韩国浦港工大日前举办了国际冬季学校，向其中的BSD猜想发起衝击，来自中国的田野给出了答案的线索，成為全场焦点。

BSD猜想在2和导子以外均成立

    在浦港工大的国际冬季学校，来自中国数学研究所41岁的田野博士作為演说嘉宾，是关於BSD（Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture）猜想领域中的5名权威者之一。针对解开BSD猜想时必须要回答的问题（即「是否存在同餘数」（congruent number）），田野说：「存在无数个同餘数」，首次给出了答案的线索。田野连续用5个多小时来进行证明，他说，「我也是在一个月前才得出了这个结论」。

    听完其报告后，该领域泰斗剑桥大学教授约翰．科茨（John Coates，67岁）评价称「虽然这并不是完美的答案，但是对於解决BSD猜想确实是一个巨大的飞跃。」

    将接受数学界检验

    浦港工大立即决定将田野的证明在春季学期集中研讨，科茨教授也承诺将在秋季学期中就自己的分析进行特别演讲。田野计划立刻将这一证明整理成论文，以接受数学界的精密检验。

    受中国近年来吸引优秀海外科学家回国政策的影响，田野在美国获得博士学位后回到中国，成了中国数学界的新秀。在中国吸引人才回国政策中起核心作用的人物是「菲尔茨奖」的唯一中国获奖者──哈佛大学教授丘成桐（63岁），菲尔茨奖被称為数学界的诺贝尔奖，是数学界的权威奖项。

    韩教授有危机意识

    浦港工大教授崔映周（54岁）称「在对田野的发表内容感到印象深刻的同时，也感到中国正在在解决问题方面有主导权，（我）产生了危机意识」。韩国出席人士称「中国等世界数学界的动向让我们受到了强烈的刺激」。

    為挑战悬赏100万美元的这一问题，冬季学校已经不分昼夜。参加人员每天都会拿到必须要解决的数学问题，这样，他们自然地形成了解决BSD猜想的国际网络。此外，在举行冬季学校期间还有读者写出自己的答案送来等，一般民眾对此也十分关心。浦港工大还将於2013年及2014年举办冬季学校来挑战悬赏100万美元的BSD猜想。

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阶级与秩序

圣谛尚不为，何阶级之有！ &&青原行思禅师 Order without liberty and liberty without order are equally destructive. &&Theodore Roosevelt 　　1 引子笔者来自穷乡僻壤，因此家乡话里就保有一些化石级的文化... 阅读全文

圣谛尚不为，何阶级之有！

——青原行思禅师

Order without liberty and liberty without order are equally destructive.

——Theodore Roosevelt

　　1 引子

笔者来自穷乡僻壤，因此家乡话里就保有一些化石级的文化痕迹。旧时待客，主人会根据客人的阶级层次决定接待规格，俗谓看人下菜碟。对于拥有这种自觉的人，文化点的表述是具有较高的阶级觉悟，俺们老家的土话就说这人“长就一对阶级眼”，属于天赋异禀的一类。阶级繁杂且森严，是中国文化的精髓。历史上不仅是对官员，就连嫔妃、奴才、太监和教授都分成三六九等，都有系统科学的标识和具体而微的待遇安排。比如，汉朝是个有文化的朝代，帝妇初分为皇后、夫人、美人、良人、八子、七子、长使、少使八等，后又引入婕妤、妌娥、容华、充依、五官、顺常和无涓(共和、娱灵、保林、良使和夜者)共十五等。清朝帝妇则分为皇后、皇贵妃、贵妃、妃、嫔、贵人、常在和答应，从命名上就能看到文化的缺乏。不同阶级之间，有递补、提拔、贬谪与自甘堕落，但平时一般各以本分，这正应了原子中电子的隧穿、受激向上跃迁、受激向下跃迁和自发向下跃迁，以及大多时间在稳定状态上的无所事事。

用来区分人或物之不同等级的汉语词包括阶-级、秩-序、品(秩)、次(幂)等词，用这些词加以翻译的英文词有level，order，degree，grade，rank，等等。这些词在数学物理中频繁出现，且意义多有不同甚至混淆，中西文皆然。中文的阶级，其中的阶(堦)见于台阶，庭阶寂寂，是实体，而级，见于拾(shè) 级而上，由计数(enumeration)而来，有抽象的内容。容易理解，台阶是一种实用的、但也被故意符号化了的存在，许多建筑在面前都筑起多层次的台阶，陡然而出威严(图1)。阶-级、秩-序这种得自自然和日常生活的词必然散布于数学物理的表述，弄不清level，order，degree，grade，rank 这些词的用法，看数学物理和看宫斗剧一样有点稀里糊涂。学物理者，将一双阶级眼用在这里，正得其宜也。

　　　2 Level

谈到汉译为阶级的词，容易想到的一个便是level，见于energy level (能级)，但这可能是误解。英语的level，来自拉丁语的libra，与平、衡有关。水平的线或者面，即为level，如sea level (海平面)，on a level line (水平线上)。牛顿流体在重力场下的静止状态，其表面的法向应该是重力的方向，此即waterseeks its level 之意。利用这个事实，可以制作水平仪(level，见图2)，这是工程中必不可少的工具。Level 不是级，而是阶、阶之面。在日常用法中，level 不仅表示层面，还暗含平衡之意，如high-leveltalk，不仅是说会谈的层次高，而且是对等的。Level 还有equally advanced in development & even or uniform in some characters (等间距的、均匀分布的)，因此level暗含“equal in importance， rank， degree， etc.”的意思，这也可能是我们愿意拿级来翻译level 的原因。但是，把energy level 翻译成能级还好，习惯性地把atomic level，sub-levels 中的level也翻译成“ 能级”这就麻烦了，它掩盖了轨道(也许就是个数学的函数)自身的排列问题，这里的level强调的也许只是轨道可分辨这个事实。在象levels of consciousness，levels of difficulty 这样的概念中，谈论的都是抽象概念的分层次，没有定量的成分。许多时候，把level 译成层次、层面也许是更合适的，哪怕是energy level。比如加速器的energylevel，如在例句LHC experiments run at the highest energy level 中，就应该译成“能量水平”，目前欧洲大型强子对撞机就运行在13 TeV 的能量水平上。此外，象the macroscopic level of quantum mechanics一文，显然讨论的是量子力学的宏观层次。

　　3 Degree

Degree，来自拉丁语动词degradare，就是英文的degrade，是一串台阶(steps or stages)的意思，注意它更多强调了降序的排列，这一点从a cousin in the second degree (二度表亲，拥有同一个太爷爷、太奶奶辈分的前辈)一词中很容易看出来。Degree 和grade (gradus) 意义相同，两者可连用。我们在学校里学习的难易程度也是分级的(同学，你物理是第几grade 的？)。如果是沿着不易觉察的台阶或者刻度一点一点向前(向上)推进，这就是一个gradual(逐渐的)过程。达到一定程度就能graduate (毕业、爬到头了)，就可以receive a degree (获得一个学位，拿到一个刻度标记)了。常用的摄氏温标(temperature scale)的量度名称为degree Celsius (摄氏度)，也称degree centrigrade (100 刻度制)，后一词透露了其是如何被定义的。将标准大气压(维也纳夏季的气压)下冰—水混合物的温度定为0 ℃，把水的沸点定为100 ℃。利用稀薄空气在等压条件下体积随温度线性变换的假设，可以根据稀薄气体体积相较于0 ℃下的增量给0 ℃到100 ℃间的任意温度赋值。这就是摄氏温标的定义。注意，对于稀薄空气，在0 ℃到100 ℃之间温度每增加1 ℃，体积增加约1/267。明白了这一点，也就明白了作为对摄氏温标之拓展的绝对温标，其唯一的定标点，水的三相点，为什么会定为273.16 K了。一般中文教科书中论及摄氏温标，只含含糊糊地来一句“标准大气压下冰水混合物的温度定为0 ℃，水的沸点定为100 ℃，此为摄氏温标”，显然漏掉了太多的信息。编书者当年囿于条件不能知道细节可以理解，但根本没注意到定义的不完整就让人不能理解了。早期的来自物质体积变化的、直观的一排刻度，那真是degree，如今的电子式的温度计，显示的就是“一个”数值，则需要符号℃，°F 的提醒才会想起degree来(图3)。

有可视标度的是真degree，纯数字的就靠外加符号的提醒了

Degree 可用作对一般程度的或者干脆就是直观存在的度量。一个圆，其上可以划上刻度，分为360°，那是对每年天数的取整，不具有绝对的意义。在反射光的degree of polarization(偏振度)概念中，degree 反映的是程度，其取值在0到100%之间。Degree 或者grade 还被用来衡量抽象概念的程度，如马克思的《政治经济学批判》一书中有句云：“Der Tauschwert der Waren，so als allgemeine Äquivalenz und zugleich als Grad dieser Äquivalenz in einer spezifischen Ware，oder in einer einzigen Gleichung der Waren mit einer spezifischen Ware ausgedrückt，ist Preis (商品的交换价值，作为一般等价以及在某特定商品中此等价的程度值，或者表达为该商品同某一特定商品的等值关系，是价格)”。在degrees of degeneracy(简并度)，degrees of freedom (自由度)等概念中，degree 是个正整数。简并度，即对应同一能量之不同状态的数目，在德语中简并度的说法为Entartungsgrad，可见degree 就是grade。自由度就是描述体系所需的独立变量数。仔细体会这个定义，“ 描述体系所需的独立变量数”，则自由度的多少取决于如何描述。描述一个粒子在三维空间中的位置需要3个变量，则描述由N(N≥3)个粒子组成的刚体的构型就需要6个独立变量，或者说刚体运动的自由度为6。在热力学—统计力学中有所谓的能量均分定理，谓每一个自由度对比热的贡献都是一个R/2，R是气体普适常数。如果不深入了解这个能量均分定理成立的条件，许多人都难以理解水分子H2O何以有18个自由度，而水(蒸汽)的比热也一直是温度的函数。就比热问题而言，自由度是能量表示涉及的自由度，这包括动能涉及的动量自由度和势能涉及的位置自由度。有趣的是，某些晶体的晶格可看作是两套或多套亚格子(sublattice)套构而成的，这也可以看成是一类自由度。炭单层的六角晶格是由两套三角格子构成的，其中电子的波函数可以比照电子自旋写成两分量的形式。

　　Degree 作为函数或者方程的指标，汉译为次( 次幂) 或者阶。比如，函数

　　是? th-degree Legendre polynomial，汉译? - 阶勒让德多项式。The degree of a monomial，汉译单项式的次幂，是变量指数的和，比如项x2y3的degree 是5。单变量的代数方程(univariate polynomial equation)，以变量的最高次幂命名，简称为一元二次方程(a second degree monic polynomial equation)、三次(third degree)方程等等。当然了，这类方程有专门的、简单的称谓quadratic，cubic，quartic，quintic，sextic polynomial equations，分别为二次、三次、四次、五次和六次代数方程。五次以上的多项式方程不存在代数解(unsolvable by radicals)，对这个问题的理解带来了群论的诞生。群论对物理学的影响，怎样高度评价都不为过。物理学最深刻的学问，所谓的the fearful symmetry(了不起的对称性)，来自对一元代数方程的摆弄。对一元多项式解的探索，是一场惊心动魄的天才的游戏。与解方程有关的还有topological degree theory。如果方程有某个容易得到的解，degree theory 可用来证明其它非平凡解的存在。Degree theory看起来和fixed-point theory(固定点理论)， knot theory( 纽结理论) 有关，具体内容笔者不懂，此处不论。

　　4 Order

Order 简直就是一个充斥数学和物理学领域的一个词汇。Order 的西语本意也是“放成一溜儿(straightrow，regular series)”的意思，可作为名字和动词使用。Order frequently refers to orderliness， a desire for organization。存在总是表现出某种意义上的order，这让认识世界成为可能。Objects should be ordered in order to bring in some order and clarity(为了有序和明晰，应该为对象排序)，这几乎成了科学家的共识。排序、分类是研究的前期准备。

Order 是个用得太多的词，可以想见它的汉译会花样繁多。Order 在物理语境中一般被译成序，如orderparameter (序参量)，topological order(拓扑序)，off-diagonal long-rangeorder (非对角长程有序)，等等。过去分词形式ordered 用作形容词，如晶体就是ordered structure (有序结构)。Order 的对立面是disorder，formless，最无序的存在是chaos (混沌)，指the disorder of formless matter and infinite space (由无形的物质和无限的空间一起构成的无序)。混沌被当作有序之宇宙出现之前的状态，也就是说当前的有序状态是自完全无序中发生的，order out of chaos，哈，多哲学。

Order 出现的语境，更多的还是和排序有关，比如lexicographical ordering (字典编纂采用的排序)，electrons are always added in order of increasing energy(电子按照能量递增的顺序被加进来)，the order of differentiation or integration( 微分、积分的次序)，等。微分、积分以及乘积的顺序有时候没关系(immaterial)，有时候关系重大，结果依赖于顺序的就意味着别样的数学结构和物理，比如非交换代数或者物理里的非对易算符。有时候，有些源自order 的词从我们的角度来看，会以为排序的意思不明显，比如coordinates和ordinate 就给译成了坐标和纵坐标(vertical ordinate)，但请记住这里的关键是这些数值具有排序的含义在里边。有些地方把笛卡尔坐标系的x-轴称为horizontal ordinate(水平坐标)，但其实有时候x-轴的对象不是可排序的量，如职工工资分布图，工资是可排序的，职工则无所谓序。当我们把y-轴理解为ordinate时x-轴有专有名词abscissa，是个标记(锯痕？)而已。此外，如lineardimensions are of the order of L，汉译为线性尺度在L的量级，字面上可看到的意思是若排列的话，该尺度应该可与L 等量齐观的。Order of magnitude，量之大小在序列中的位置，汉译干脆就是数量级。

数字的用法分为ordinal numbers( 序数) 和cardinal number ( 基数)，前者明显与order有关，而后者也不免和order 有关。一个集合的元素数目，是集合的cardinality (集合的势)，而群的元素数，当然也是cardinality，又被称为order of group，汉译“群阶”。与此同时，群元素g 的period (周期)，即使得gm=1 成立的最小整数m，也称为该群元素的order。群阶和元素的阶反映了群的内在结构。大致说来，一个群，其群阶的因子分解越复杂，这个群的结构就越复杂。不仅群和群元素有order 的概念，群的特征标(character)也有order的说法。

Order 在许多场合下有排序的意思，与其连用的数词应是序数词，如second-order differential equation(二阶微分方程)，third-order recurring sequences (二阶递归序列)，first-order approximation (一阶近似)，等等。物理学的方程被限制在(第)二阶(偏)微分方程的层面，学会了解二阶(偏)微分方程，一个纯数学家也许比许多物理学家更象物理学家。量子力学以及后继的发展被有些人频繁以革命誉之，属不通之论，其governing equations 模样可以变得复杂可怕，但属于二阶微分方程却是不变的。

　　5 Rank

中文的秩，序也，次也，可连用为秩序、秩次(官阶的高下)，还有秩叙(次序)、秩然(秩序井然)、秩如等词。秩既然用来表示官阶的高下，相应的标识就有秩服(区别官阶的服饰)、秩俸(分级别的俸禄)等委婉语。秩被用来翻译英文数理概念中的rank，日常表述的rank，如military rank (军阶)还是用阶级加以翻译。中国古代的官员有华丽花哨的秩服，今天各国军队的military rank 则用华丽花哨的徽章(insignia)加以标识。

Rank，与range，arrange 同源，意为to arrange in order，特别是排成行。作为及物和非及物动词用，rank 一般是排序的意思，如to rank third on a list ( 位列第三)， qualitative ranking of various ions toward their ability to precipitate a mixture of hen egg white proteins (根据使得鸡蛋白沉淀的能力把离子定性地加以排序)， Alfred Nobel 在设立诺贝尔奖时将物理学排在第一位(ranked physics as the first one)，等等。Rank 作为名词表示次序，汉语的翻译比较随意，比如people from allranks of life (各阶层人民)，a poet of the first rank ( 一流诗人)，等等。Rank 作为排序的意思强调是排成行，国际象棋棋盘上空格的行与列，英文用的即是rank 与file；相应地，对于矩阵的行与列，英文用的是row与column。

Rank 作为科学概念我们知道有rank of a matrix 矩阵的秩的说法。Rank 是矩阵的一个基本特征。把矩阵的行(列)看成一组矢量，这组矢量中线性无关的矢量的数量即是所谓的rank，也即行(列)矢量所张空间的维度。对于一个矩阵，行和列具有相同的秩，也就是矩阵的秩。考虑到矩阵同线性方程组和线性变换(算符)相联系，因此矩阵A 的秩是线性方程组A·x=c 非简并性的度量，也是线性变换y=A·x 之像空间的维度。

在物理上，我们知道能量是标量(scalar)，动量、位置是矢量(vector)，而角动量L= r? ×p?是贋矢量等等，这些可以用张量(tensor)的语言统一处理。张量是描述张量之间线性关系的几何对象(有点循环定义的味道哈)，张量的rank (也叫order或者degree)就是用来表示张量的数列的维度，也即所需指标的个数。由此可知，能量，动量(位置)和角动量分别是rank-0，rank-1 和rank-2张量。针对某个标量(质量，电荷)的空间分布定义的四极矩张量， Q=∫Ωρ(3rirj - |r|2δij)d3r ，就是无迹的rank-2 张量。电位移D (矢量)对应力张量σ(rank-2张量)的响应，或者应变张量ε(rank-2 张量)对电场E (矢量)的响应，相应的系数就是rank-3张量。

涉及线性行为的代数、变换和算符等概念都会有rank 这个特征，因此有(李)代数的秩，(不可约)张量算符的秩等说法。Module (模式)概念也有秩的说法，比如rank 2 的自由Z-module 不过是Ok = Z ?ωZ 的一种装酷的说法而已，其中ω ∈Ok ，Ok 为一代数整数集合。对椭圆曲线y2=x3+Ax+B 也有rank 这么一个量，比如椭圆曲线y2=x3－2 和y2=x3－4，其Mordell—Weil rank 就是1。这种秩有什么意思，怎么计算，笔者不懂。

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数学进展

定向最后通过渗流和随机矩阵曾杏元,侯振挺数学进展. 2013, 42 (3): 257-278. DOI: 10.11845/sxjz.2011014a ... 阅读全文

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栈

在数学一堆栈或2-sheaf是的，大致说来，一个捆以价值范畴而不是集。栈是用来形式化的一些主要结构血统论，并构建精细模栈时精细的模空间不存在。血统理论关注的是普遍的情况下，几何对象（如向量丛打开（放）拓扑空间）可以被&粘在一起&时，同构（在一个兼容的方式）时，限制在一个空间的一个开覆盖集的十字路口。在更一般的设置的限制与一般的回调所取代，并纤维类形成正确的框... 阅读全文

在数学一堆栈或2-sheaf是的，大致说来，一个捆以价值范畴而不是集。栈是用来形式化的一些主要结构血统论，并构建精细模栈时精细的模空间不存在。

血统理论关注的是普遍的情况下，几何对象（如向量丛打开（放）拓扑空间）可以被“粘在一起”时，同构（在一个兼容的方式）时，限制在一个空间的一个开覆盖集的十字路口。在更一般的设置的限制与一般的回调所取代，并纤维类形成正确的框架来讨论这种粘合的可能性。一堆的直观的意义就在于它是一个纤维范畴，“所有可能的扣工作”。对扣的规范需要定义一个覆盖方面，可以考虑扣。原来，描述这些覆盖物的通用语言是一个Grothendieck拓扑。因此，堆栈是正式作为纤维类的另一个基地类，在基地有一个Grothendieck拓扑和纤维类满足一些公理，确保相对于Grothendieck拓扑和某些扣的存在唯一性。

栈是代数栈的底层结构（也被称为阿廷栈）和涅–芒福德堆栈，从而推广方案和代数空间这是特别有用的研究模空间。有包裹体：方案⊆代数空间⊆涅–芒福德栈⊆代数栈⊆栈。

（2003）Edidin和（2001）fantechi简要介绍账户栈，Góó（2001），奥尔森（2007）和（2005）vistoli给出更详细的介绍，并洛蒙和莫雷贝利（2000）介绍了更先进的理论。

动机和历史

洛杉矶结论检疫àlaquelle Je suis到达éDè的维护，这是阙chaque FOIS阙恩的Vertu德MES的暴击èRES，一变éTéde模块（或译ôT，联合国学校é马德模块）倒拉分类DES的变化（GLOBALES，欧无穷ésimales）德有结构（变éTé的并发症èTES非按每一个èRES，纤维é的vectoriels，等）的对立malgr东北peut，éde女佣假说èSES的陈词滥调，propreté，等非singularitééventuellement，LA存在EN EST seulement l'existence d'automorphismes de la结构魁EMPê车拉技术德迪桑特de行军。

Grothendieck的信塞尔，11月5日1959。

栈的概念起源于定义有效数据在下降（1959）群。在1959封信塞尔，Grothendieck指出，构建良好的模空间的根本障碍是自同构的存在。栈的主要动机是，如果对一些问题的模空间不存在由于自同构的存在，它可能仍然可以构建一个弹性模量堆栈。

芒福德（1965）研究了Picard群椭圆曲线模栈在栈，定义了。栈是最初由吉罗（一千九百六十六，一千九百七十一），和“堆”的介绍德利涅&芒福德（1969）对原法国“冠军”意义的“场”。本文还介绍了涅–芒福德栈，他们称之为代数栈，虽然“代数栈”现在通常指的是更一般的阿廷栈介绍了艺术（一千九百七十四）。

当定义商方案组的行动，为商是一个仍然满足理想的商性能的方案通常是不可能的。例如，如果一个点有非平凡的稳定剂，然后范畴的商将不存在的计划。

以同样的方式，模空间曲线，向量丛，或其他几何对象往往是最好的定义为替代方案栈。模空间的结构常常是首先构造一个更大的空间参数化对象的问题，然后quotienting的一组动作占已在数目上超过自同构的对象。

定义

一类C与一个函子范畴C被称为纤维类在C如果任何态射F从X以Y进入C与任何对象Y对C图像Y，有一个回调F：X→Y对Y由F。这意味着任何态射G：Z→Y图像G=FH可以分解为G=FH一个独特的态射H从Z以X图像H。元素X=F*Y被称为回调对Y沿F和是唯一典型的同构。

类别C被称为叠前在一个范畴C用Grothendieck拓扑如果是纤维在C对于任何对象U对C和对象X，Y对C图像U从对象上，函子U集以F：v→U坎（F*X，F*Y）是一个层。这个术语是不一致的：prestacks滑轮的术语是分离而不是presheaves presheaves类似物。

类别C被称为堆栈在范畴C与Grothendieck拓扑如果是叠前结束C任何下降的数据是有效的。一下降的数据大概包括覆盖对象v对C一个家庭v_I，元素X_I在纤维上v_I，和态射F_吉之间的限制X_I和X_J以v_ij=v_I×_Uv_J满足相容性条件F_王下=F_KJF_吉。下降的数据称为有效如果元素X_I基本上是一个元素的回调X图像U。

一堆被称为堆栈在胚或（2,1）-层如果是纤维在胚，这意味着它的纤维（逆图像对象C）是胚。一些作者使用“栈”是指在群堆的更严格的概念。

一个代数栈或阿廷栈在群栈X在层如图的对角线X是表示和存在光滑满射从（相关的堆栈）一个X射方案Y $栈$ X栈是可表示的如果，每射S $栈$ X从（相关的堆栈）方案的X，纤维制品 Y ×_X S是同构的（相关的堆栈）代数空间。这个纤维制品栈是使用通常的定义通用性，和改变图去要求他们2-commute要求。

一涅–芒福德栈是一个代数栈X这样就从一个方案的é故事满射X。大致说来，–涅芒福德栈可以被认为是代数栈的对象没有无穷小的自同构。

实例

如果一个栈的纤维集（意义范畴的态射的身份映射）然后堆基本上是相同的一套。这表明一个堆栈是一种泛化的一捆，以价值观而不是任意类别设置。
准紧对角的任何方案都是一个代数堆栈（或者更准确地说是一个）。
类别向量丛的V→是叠加在拓扑空间的范畴。从V→态射的→T由对W的连续映射的T和V从对以W（线性纤维）这样明显的广场上。这是一个纤维范畴的条件是因为人可以把向量丛的回调在拓扑空间的连续映射，这一下降的数据是有效的条件是因为我们可以构造一个向量丛的一个空间上的向量丛的粘在一起的一个开放的封面元素。
拟凝聚层方案堆栈（相对于fpqc拓扑弱拓扑）
在基础方案的仿射方案堆栈（再次对fpqc拓扑或微弱）
芒福德（1965）研究了模栈M_1,1椭圆曲线，发现其Picard群是循环12阶。椭圆曲线上的复数相应的栈是一个类似的商上半平面由的行动模块组。
这个代数曲线模空间M_G定义为一个泛家族的光滑曲线的属 G不存在一个代数簇，尤其是有曲线承认非平凡自同构。但是有一个模栈M_G这是一个很好的为不存在的精细模空间的光滑属替代G曲线。通常有一个模栈M_G，N属G曲线N标记点。总的来说这是一个代数叠加，是–涅芒福德栈G≥2或G= 1，N> 0G= 0，N≥3（换句话说，当曲线的自同构群是有限的）。这种弹性模量堆栈组成的稳定曲线模栈完成（对于给定的G和N以上规格是正确的）Z。例如，M_零是bpgl分类堆栈（2）的一般射影线性群。（有一个微妙的定义M_一，作为一个使用代数空间而不是方案施工。）
任何GERBE在群栈；例如琐碎gerbe，分配给每个方案的主G在方案捆绑，一些组G。
如果Y是一个方案G是一个光滑组方案的作用Y，然后有一个商代数栈 Y/G一个方案，以T这群胚G-旋量超过T与G等变映射Y。一个特殊的情况下，这个时候Y是一个点给出分类堆栈BG对一个光滑组方案G。
如果一个是拟凝聚层代数在代数栈X在一个方案的，然后有一堆的规格（一）推广建设的频谱规范（一）一个交换环。一个对象的规格（一）由下式给出的方案对象的T，XX（T），和一个态射的成捆的代数X *（一）的坐标环O（T）的T。
如果一个是拟凝聚层分级代数的代数叠加X在一个方案的，然后有一堆项目（一）推广建设工程投影方案（一）一次环一。
这个主束模量堆栈在代数曲线X还原组的行动G，通常以 $栈$ 。
这个形式群法则模栈分类正式的法律。
Picard栈推广皮卡德品种。

拟凝聚层代数栈

在一个代数栈可以构造一类拟凝聚层类似于准相干一方案的范畴。

拟凝聚层大致是一个看起来像一个模块的局部环上的束。第一个问题是决定什么人所说的“局部”：这涉及一个Grothendieck拓扑结构的选择，还有很多可能的选择，其中有一些问题，没有一个完全令人满意的。Grothendieck拓扑应该强大到足以使栈的局部仿射本拓扑方案局部仿射Zariski拓扑，这是一个好的选择方案三发现，代数空间和涅–芒福德栈是局部仿射在层拓扑所以通常采用层拓扑这些，而代数栈是局部仿射在光滑的拓扑结构，因此可以在这种情况下使用光滑拓扑。对于一般的代数栈层拓扑没有足够的开集：例如，如果G是一个光滑的连接组则只有层覆盖分类堆BG是份BG的工会，这是不足以给quasicoherent滑轮的权利理论。

而不是使用光滑拓扑代数栈一个经常使用它的变形称为LIS等拓扑（对于利瑟层：短利瑟是光滑的法语术语），具有相同的开集为光滑拓扑但开覆盖了层而不是光滑映射。这通常是导致拟凝聚层的一个等价类，但更容易使用：例如，它是更容易与代数空间层拓扑比较。LIS等拓扑结构有一个微妙的技术问题：栈之间的态射一般不给相应的论题之间的态射。（问题是，当一个人可以构造一对伴随函子F_*，F*，作为论题的几何性需要，函子F*一般是不能离开具体。这个问题是由于在发表的论文和书籍臭名昭著的一些错误。^【一]）这意味着射栈下构建一个quasicoherent捆回调需要一些额外的努力。

也可以使用更精细的拓扑结构。最合理的“足够大”Grothendieck拓扑似乎导致拟凝聚层等价类，但更大的一个拓扑结构是很难处理，所以一般都喜欢用小的拓扑结构，只要他们有足够的开集。例如，大FPPF拓扑结构导致实质上的拟凝聚层的同一类别的LIS等拓扑结构，但有一个微妙的问题：自然嵌入拟凝聚层为O_X在这种拓扑结构中的模块是不准确的（不保存内核一般）。

其他类型的栈

微堆和拓扑叠加在一个类似于代数栈的定义，除了仿射方案基本范畴是由光滑流形拓扑空间范畴取代。

通常可以定义的概念，一个n -层或N–1栈，这大约是一种捆值在n–1类。这样做有几个不同的方式。1-sheaves如滑轮一样，和2-sheaves是堆叠相同。

集理论问题

有与栈的理论通常一些小集基础理论问题，因为堆栈通常被定义为一定的仿函数类的集合，因此没有设置。有几种办法来处理这个问题：

一个能与Grothendieck宇宙工作：堆栈则是一些固定的Grothendieck宇宙类之间的函子，所以这些类和堆叠在一个较大的Grothendieck宇宙集。这种方法的缺点是，一个有足够的Grothendieck宇宙的存在，它本质上是一个大基数公理。
一个可以定义堆仿函数的足够大的秩集集，并认真的记下各设置一个队伍使用。这里的问题是，它涉及到一些额外的相当累人的记账。
可以使用反射原理从集合论认为人可以找到的任何有限的片段的ZFC公理的模型表明，一个可以自动找到设置足够接近的所有集合的宇宙近似。
一个可以忽略的问题。这是许多作者所采取的方法。

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折纸几何公理

1991 年，日裔意大利数学家藤田文章（Humiaki Huzita）指出了折纸过程中的 6 种基本操作，也叫做折纸几何公理。假定所有折纸操作均在理想的平面上进行，并且所有折痕都是直线，那么这些公理描述了通过折纸可能达成的所有数学操作： 1. 已知 A 、 B 两点，可以折出一条经过 A 、 B 的折痕 2. 已知 A 、 B 两点，可以把点 ... 阅读全文

1991 年，日裔意大利数学家藤田文章（Humiaki Huzita）指出了折纸过程中的 6 种基本操作，也叫做折纸几何公理。假定所有折纸操作均在理想的平面上进行，并且所有折痕都是直线，那么这些公理描述了通过折纸可能达成的所有数学操作：

1. 已知 A 、 B 两点，可以折出一条经过 A 、 B 的折痕

2. 已知 A 、 B 两点，可以把点 A 折到点 B 上去

3. 已知 a 、 b 两条直线，可以把直线 a 折到直线 b 上去

4. 已知点 A 和直线 a ，可以沿着一条过 A 点的折痕，把 a 折到自身上

5. 已知 A 、 B 两点和直线 a ，可以沿着一条过 B 点的折痕，把 A 折到 a 上

6. 已知 A 、 B 两点和 a 、 b 两直线，可以把 A 、 B 分别折到 a 、 b 上

容易看出，它们实际上对应着不同的几何作图操作。例如，操作 1 实际上相当于连接已知两点，操作 2 实际上相当于作出已知两点的连线的垂直平分线，操作 3 则相当于作出已知线段的夹角的角平分线，操作 4 则相当于过已知点作已知线的垂线。真正强大的则是后面两项操作，它们确定出来的折痕要满足一系列复杂的特征，不是尺规作图一两下能作出来的（有时甚至是作不出来的）。正是这两个操作，让折纸几何有别于尺规作图，折纸这门学问从此处开始变得有趣起来。

更有趣的是，操作 5 的解很可能不止一个。在大多数情况下，过一个点有两条能把点 A 折到直线 a 上的折痕。

操作 6 则更猛：把已知两点分别折到对应的已知两线上，最多可以有三个解！

一组限定条件能同时产生三个解，这让操作 6 变得无比灵活，无比强大。利用一些并不太复杂的解析几何分析，我们能得出操作 6 有三种解的根本原因：满足要求的折痕是一个三次方程的解。也就是说，给出两个已知点和两条对应的已知线后，寻找符合要求的折痕的过程，本质上是在解一个三次方程！

尺规作图到底局限在哪里

相比于折纸的几何操作，尺规作图就显得有些不够“强大”了。不妨让我们先来回顾一下尺规作图里的五个基本操作：

过已知两点作直线给定圆心和圆周上一点作圆寻找直线与直线的交点寻找圆与直线的交点寻找圆与圆的交点

这5项操作看上去变化多端，但前3项操作都是唯一解，后两项操作最多也只能产生两个解。从这个角度来看，尺规作图最多只能解决二次问题，加减乘除和不断开方就已经是尺规作图的极限了。能解决三次问题的折纸规则，势必比尺规作图更加强大。

正因为如此，一些尺规作图无法完成的任务，在折纸几何中却能办到。比如折纸法可以实现作正七边形，而这是无法用尺规作图办到的。

我们有更简单的例子来说明，用折纸法能完成尺规作图办不到的事情。“倍立方体”问题是古希腊三大尺规作图难题之一，它要求把立方体的体积扩大到原来的两倍，本质上是求作 2 的立方根。由于尺规作图最多只能开平方，因而它无法完成“倍立方体”的任务。但是，折纸公理 6 相当于解三次方程，解决“倍立方体”难题似乎是游刃有余。

有意思的是，用纸片折出 2 的立方根比想象中的更加简单。取一张正方形纸片，将它横着划分成三等份（方法有很多，大家不妨自己想想）。然后，将右边界中下面那个三等分点折到正方形内上面那条三等分线上，同时将纸片的右下角顶点折到正方形的左边界。那么，纸片的左边界就被分成了 3√2 : 1 两段。

利用勾股定理和相似三角形建立各线段长度的关系，我们不难证明它的正确性。强烈建议大家自己动笔算一算，来看看三次方程是如何产生的。

第7个折纸公理

本文写到这里，大家或许以为故事就结束了吧。 10 年以后也就是 2001 年，事情又有了转折：数学家羽鳥公士郎（Koshiro Hatori）发现，上述的 6 个折纸公理并不是完整的。他给出了折纸的第 7 个定理。从形式上看，第 7 公理与已有的公理如出一辙，并不出人意料，很难想象这个公理整整十年里竟然一直没被发现。继续阅读之前，大家不妨先自己想想，这个缺失的操作是什么。这段历史背景无疑让它成为了一个非常有趣的思考题。

补充的公理是：

7. 已知点 A 和 a 、 b 两直线，可以沿着一条垂直于 b 的折痕，把 A 折到 a 上。

后来，这 7 条公理就合称为了藤田－羽鳥公理（Huzita–Hatori 公理），你可以在维基百科上读到这个条目。在 2003 年的一篇文章中，世界顶级折纸艺术家罗伯特•朗（Robert J. Lang ）对这些公理进行了一番整理和分析，证明了这 7 条公理已经包含折纸几何中的全部操作了。

看，艺术家都是先搞数学的！

罗伯特•朗注意到，上述 7 项基本操作其实是由一些更基本的操作要素组合而成的，例如“把已知点折到已知线上”、“折痕经过已知点”等等。说得更贴切一些，这些更加基本的操作要素其实是对折痕的“限制条件”。在平面直角坐标系中，折痕完全由斜率和截距确定，它等价于一个包含两个变量的方程。不同的折叠要素对折痕的限制力是不同的，例如“把已知点折到已知点上”就同时要求 x1' = x2 并且 y1' = y2 ，可以建立出两个等量关系，一下子就把折痕的两个变量都限制住了。而“折痕经过已知点”则只能列出一个方程，只能确定一个变量（形式上通常表示为与另一个变量的关系），把折痕的活动范围限制在一个维度里。

不难总结出，基本的折叠限制要素共有 5 个：

(1) 把已知点折到已知点上，确定 2 个变量(2) 把已知点折到已知线上，确定 1 个变量(3) 把已知线折到已知线上，确定 2 个变量(4) 把已知线折到自身上，确定 1 个变量(5) 折痕经过已知点，确定 1 个变量

而折痕本身有 2 个待确定的变量，因此符合要求的折纸操作只有这么几种： (1) ， (2) + (2) ， (3) ， (4) + (4) ， (5) + (5) ， (2)+(4) ， (2) + (5) ， (4) + (5) 。但是，这里面有一种组合需要排除掉： (4) + (4) 。在绝大多数情况下， (4) + (4) 实际上都是不可能实现的。如果给出的两条直线不平行，我们无法折叠纸张使得它们都与自身重合，因为没有同时垂直于它们的直线。

另外 7 种则正好对应了前面 7 个公理，既无重合，又无遗漏。折纸几何至此便有了一套完整的公理。

不过，折纸的学问远远没有到此结束。如果允许单次操作同时包含多处折叠，折纸公理将会更复杂，更强大。折纸的极限究竟在哪里，这无疑是一个非常激动人心的话题。

在这里，简单展示几个折纸几何学的例子，分别是三等分角、黄金比例和正六边形。图片由果壳美术设计师 V晶V 制作

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分子动力学“四大方程”之间的详细推导过程

在学习系统动力学的时候，尤其遇到类似于物理学的分子热运动体系或者生化反应体系时，不可避免地就会遇到标题所指的&四大方程&：切普曼-科尔莫格洛夫方程（Chapman-Kolmogorov equation, C-K equation），主方程（Master equation），福克-普朗克方程（Fokker-Planck equation, F-P equat... 阅读全文

在学习系统动力学的时候，尤其遇到类似于物理学的分子热运动体系或者生化反应体系时，不可避免地就会遇到标题所指的“四大方程”：切普曼-科尔莫格洛夫方程（Chapman-Kolmogorov equation, C-K equation），主方程（Master equation），福克-普朗克方程（Fokker-Planck equation, F-P equation），朗之万方程（Langevin equation）。今天花了点时间，把这四个方程之间的相互关系推导了一遍；主要参考资料为：N.G. van Kampen, Stochastic Processes in Physics and Chemistry. 3rd edition, 2007. Elsevier Publisher. 由于科学网博客数学公式编辑功能有限，所以我在iWork上编写好后贴图到这里。

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曲面扭结

1、极小曲面（Minimal surface）简而言之，极小曲面就是平均曲率为零的曲面。给定一条闭曲线，可以设想蒙在这条闭曲线上的所有曲面中，有一个面积最小者，这个具有最小面积的曲面正是极小曲面。平面是仅有的极小可展曲面。除平面外，旋转极小曲面都是悬链面，直纹极小曲面都是正螺面。下图，螺旋面（Gyroid）是典型的三重周期极小曲面，由Alan Schoen... 阅读全文

1、极小曲面（Minimal surface）

简而言之，极小曲面就是平均曲率为零的曲面。给定一条闭曲线，可以设想蒙在这条闭曲线上的所有曲面中，有一个面积最小者，这个具有最小面积的曲面正是极小曲面。平面是仅有的极小可展曲面。除平面外，旋转极小曲面都是悬链面，直纹极小曲面都是正螺面。

下图，螺旋面（Gyroid）是典型的三重周期极小曲面，由Alan Schoen于1970年发现，它可近似定义为一个简单的等曲面方程cos(x)sin(y) + cos(y)sin(z) + cos(z)sin(x) = 0.